全國數(shù)學2卷2020屆高三第二次模擬試題(文科)以及答案

1、絕密啟用前2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學試題卷（全國2卷）（第二次模擬考試）注意事項：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2 .作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 .已知 A =l,則 A B 的元素個數(shù)為A . 0B. 2C. 3D. 52 .復數(shù)zJ2L(i為虛數(shù)單位)，則|匚|= iA. 5 BC .25 D .再23 .函數(shù)f (x) =sin2x 2cos x+1的最小正

2、周期為A.兀B. 2兀C. 3兀 D. 4 兀4 .已知向量 a = ( 1,2) , b = (3,1) , c =(x,4 ,若(a -b) _Lc ,則 x =相倒視圖A. 1 B . 2 C . 3 D .4 225 .若雙曲線xT-yT=1的一條漸近線方程為y = 0，則z =4x-3y的最小值為 y-0A. 0-1C. -2D. -318 .已知 x=ln 兀，y= log 52,夏，則z=eA. xvyvz B . zvxvyC. zvyvxD . yvzvx9.在數(shù)學解題中，常會碰到形如“x yy”的結(jié)構(gòu),1 - xy這時可類比正切的和角公式.如：設(shè)a,b是非零實數(shù)，且滿足A.

3、 4 B15 C10.我國古代名著莊子？天下篇.HIIasin bcosn . . Ji acos- -bsin= tan生 15中有一句名言“一尺之棒,日取其半，萬世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠都截不完.現(xiàn)將該木棍依此規(guī)律截取，如圖所示的程序框圖的功能就是計算截取20天后所剩木棍的長度(單位:尺)，則處可分別填入的是A. i：:20,S-1B. i 0)的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M與其準線相交于點N 若 |FM|：I MN = 1 :。5 ,則a的值為1A. 4二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分.13 .已知函數(shù)f (x) =2x sin x ,當xb

4、時，函數(shù)y=f(x)的最大值為114 .已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當x0時，f(x)=lgx,則f(f()的值為 10015 .已知直三棱柱 ABC A1BG的6個頂點都在球。的球面上，若AB=J6 , AC=/T0 , AB _L AC ,AAi =25,則球。的表面積為16 .在 ABC43,已知（a+b） ： （ c+a） ： （ b+c） =6 ： 5 ： 4,給出下列結(jié)論：由已知條件，這個三角形被唯一確定；* ABC-定是鈍角三角形；sin A ： sin B - sin C= 7 ： 5 ： 3;15、3若b+c=8,則 ABC的面積是 2 .其中正確結(jié)論的序號是 .三、解答題：共

5、70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答 .（一）必考題：（共60分）17 . （12 分）已知等差數(shù)列中，a3a7=-16, a4+a6=0（1）求& J的通項公式an ；（2）求3的前n項和Sn.s18 . （12 分）如圖所示，四棱錐 S-ABCD43, SA_L底面ABCD： VAB/CD , AD =AC =AB =3, SA = CD =4, P為線段AB上一點，AP =2PB, SQ=QC .（1）證明：PQ平面 SAD;口 C（2）求四面體C-DPQ的體積.19 . （12 分）某餐廳

6、通過查閱了最近 5次食品交易會參會人數(shù) x（萬人）與餐廳所用原材料數(shù)量 y（袋），得到如下統(tǒng)計表：安次第二次第三次第四次第五次參會人數(shù)x（萬人）13981012原材料y（袋）3223182428（1）根據(jù)所給5組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=?x+a?；（2）已知購買原材料的費用C （元）與數(shù)量t（袋）的關(guān)系為C=400t 20,0 t 36(t 亡 N ) 投入380t ,t - 36(t N)又使用的每袋原材料相應(yīng)的銷售收入為700元，多余的原材料只能無償返還，據(jù)悉本次交易大會大約有15萬人參加.根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程，預(yù)測餐廳應(yīng)購買多少袋原材料，才能獲得最大利潤，最大利潤是

7、多少？(注：利潤L =銷售收入原材料費用)nn” (Xi x)(yi y) “ Xiyi nxy參考公式：i?=衛(wèi),?-y-b?X.22一2v (Xi -X) Xi -nx i 1i -1555參考數(shù)據(jù)：為.=1343, 2x2 =558, y2 =3237 . i 1i 1i 120 . (12 分)22已知橢圓 二+L=1的右焦點為F,設(shè)直線l : x=5與 54x軸的交點為E,過點F且斜率為k的直線11與橢圓交于A, B兩點，M為線段EF的中點.兀(1)若直線11的傾斜角為 了，求|AB的值；(2)設(shè)直線Ag直線1于點N,證明：直線 BNL 1 .21 . (12 分)已知函數(shù) f (x

8、) = x -a ln(x 1).(1)當a =2日,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當a=1時，關(guān)于x的不等式kx2之f(x)在0,十比)上恒成立，求k的取值范圍(二)選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22 .選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程(10分)以直角坐標系原點 O為極點，五軸正方向為極軸，已知曲線的方程為(x-1)2 + y2 =1 ,七；的 方程為x + y = 3 , C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線.(1)求。與G的極坐標方程；(2)若C.與C；的一個公共點為 a (異于點O) ,與C；的一個公共點為 b,求oa -joB的取

9、值范圍.23 .選彳4 5:不等式選講(10分)111(1)已知 a, b,c= R+且a +b+c =1,證明 一 + 十之9；a b c111(2)已知 a,b,cw R中且abc =1,證明 4a + Jb + Vc W + 十 a b c全國2卷2020屆高三第二次模擬數(shù)學（文科）試題答案.選擇題:123456789101112BAAABBCDDDCD二.填空題：213. 2 sinl14, lg2 15 S球=4#=36冗.16 17解：設(shè)an的公差為d,則(a 2d)(a1 6d) = -16, ai 3d ai 5d = 0,即卜 PA 4.5 所以四面體 C-DPQ的體積Vc-

10、dpq= 3 X SLdcpX 2 = 3十響+12d2=-16,解彳1nai=-8,或!ai=8, a1 -4d.d=2 d =-2.(1) an = 2n-10, an= 2n+10.(2) S = 8n + n( n 1) = n( n 9),或 S= 8n n( n 1) = n( n 9). 18解析：s2 (1)證明：由已知得 AP = -AB = 2.3如圖，取DS的中點連接AT, TQ,1 由 N 為 PC 中點知 TQ / DC, TQ = 2DC = 2.又 AB/ DC,故 TQLAP, 一m MN /AT,又 AT u 平面 SAD, 從而證得PQ平面SAD ;(2)因

11、為SAL平面ABCD, Q為SC的中點，所以Q到平面ABCD的距離為2SA.如圖，取DC的中點E,連接AE.由 AD = AC = 3 得 AE，DC ,則 AE = 5. 1 一 一故 S BCP=2X4X 5=2 5.19【答案】(1) y=2.5x1； (2)餐廳應(yīng)該購買36袋原材料，才能使利潤獲得最大，最大利潤為11520 元.【解析】(1)由所給數(shù)據(jù)可得:13 9 8 10 12x =10.45，32 23 18 24 28八5: Xiyi -5xy i 45_2Z X2 -5xi 1y=25,2分a =y bX = 252.5x10.4 = 1 ,1343 -5 10.4 252

12、=2.5 ,558 -5 10.4則y關(guān)于x的線性回歸方程為 y =2.5x -1(2)由(1)中求出的線性回歸方程知，當x=15時，y=36.5,即預(yù)計需要原材料 36.5袋,，400t -20,0 :二t 36,t N 因為C =.380t,t _36,t N所以當 t 4+ 5k2 - 5k=xi3=0.直線 BN/ x 軸,即 BNL l .2i.解：(i)當 a=2 時，f( x) = x2ln(x+1),2 x -1f ( x ) =1 一=,當 xW (一1,1 酎,f (x) o, f(x)是增函數(shù)函數(shù)；所以，f (x)的減區(qū)間為(1,1 )增區(qū)間為1,依)(i)當a =i時，

13、f (x) = xln(x+i), kx2 至 f(x),即 kx2x+ln(x+i)至 0.設(shè)g(x) =kx2 x+|n(x+i), x 0,則只需g(x)之 環(huán)0,十)恒成立即可.一.1 x2k (x +1 1 x易知 g( 0) =0, g ( x) =2kx -1 +=,因為 x 0以,所以0.xTxTxT當k0時，g(x)0,此時g(x)在0,+s)上單調(diào)遞減，所以g(x) g(0) =0,與題設(shè)矛盾；.1 ,.ii 一 ,當 0k0,當 x=(0,1+ 一)時，g(x)0,此時g(x)在(0,-1 +工)上單調(diào)遞減，所以，當 x W(0, -1+工)時, 2k2k2kg(x) g

14、(0) =0,與題設(shè)矛盾；1 .當k之一時，g(x)之0,故g(x)在0,+R)上單調(diào)遞增，所以g(x)之g(0) = 0恒成立. 21綜上，k -1.22.解：(1)曲線C的方程為(x1)2+y2=1, C1的極坐標方程為 P=2cose3二的方程為x + y = 3,其極坐標方程為P =cos 二 sin 二(2) C；是一條過原點且斜率為正值的直線，的極坐標方程為8=%聯(lián)立Ci與C3的極坐標方程，P=2cos日 石-“I,得 P = 2 cosa ,即 OA = 2 cosot 6 =a聯(lián)立Ci與C2的極坐標方程一 3 cos+sin8,得 P =,cosL sin-.9=a即OB =3cos： - sin ：-冗1 cos、工,4所以 OA -7-3-r 22cosa -cosa -sina = 41OB3OB(-1,1)23.證明:(1)因為111 a b c a b c a b cr r r r abc abcc+ ab a b c a c、,1