高考數(shù)學(xué)江蘇專(zhuān)用應(yīng)用題中的瓶頸題講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第3講應(yīng)用問(wèn)題中的“瓶頸題”數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題是高考中常見(jiàn)題型之一,是能否鎖定128分的重要突破口.常見(jiàn)的應(yīng)用題有:(1) 函數(shù)與不等式模型;(2) 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模型;(3) 三角函數(shù)模型;(4) 數(shù)列模型.解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟:(1) 閱讀題目,理解題意;(2) 設(shè)置變量,建立函數(shù)關(guān)系;(3) 應(yīng)用函數(shù)知識(shí)或數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題;(4) 檢驗(yàn),作答.解應(yīng)用題的一般思路可表示如下:分類(lèi)解密專(zhuān)題突破函數(shù)與不等式模型的應(yīng)用題例1某工廠有工人214名,現(xiàn)要生產(chǎn)1500件產(chǎn)品,每件產(chǎn)品由3個(gè)A型零件和1個(gè)B型零件配套組成,每個(gè)工人加工5個(gè)A型零件與加工3個(gè)B型零件所需的時(shí)間相同.現(xiàn)將工

2、人分成兩組,分別加工一種零件,同時(shí)開(kāi)始加工.設(shè)加工A型零件的工人有x人,在單位時(shí)間里每一個(gè)工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需時(shí)間為g(x),加工完B型零件所需時(shí)間為h(x).(1) 比較g(x)與h(x)的大小,并寫(xiě)出完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間f(x)的解析式;(2) 應(yīng)怎樣分組,才能使完成任務(wù)用時(shí)最少?練習(xí)如圖,已知矩形油畫(huà)的長(zhǎng)為a,寬為b.在該矩形油畫(huà)的四邊鑲金箔,四個(gè)角(圖中斜線區(qū)域)裝飾矩形木雕,制成一幅矩形壁畫(huà).設(shè)壁畫(huà)左右兩邊金箔的寬為x,上下兩邊金箔的寬為y,壁畫(huà)的總面積為S.(1) 用x,y,a,b表示S;(2) 若S為定值,為節(jié)約金箔用量,應(yīng)使四個(gè)矩形木雕的總面積最大,求四個(gè)矩形

3、木雕總面積的最大值及對(duì)應(yīng)的x,y的值.(練習(xí))函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模型的應(yīng)用題例1某建筑公司要在一塊如圖所示的矩形地面上進(jìn)行開(kāi)發(fā)建設(shè),陰影部分為一公共設(shè)施,不能開(kāi)發(fā),且要求用欄柵隔開(kāi)(欄柵要求在一直線上),公共設(shè)施邊界為曲線f(x)=1-ax2(a>0)的一部分,欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點(diǎn)M,N,交曲線于點(diǎn)P,設(shè)P(t,f(t).(1) 將OMN(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S表示成t的函數(shù)S(t);(2) 若在t=處,S(t)取得最小值,求此時(shí)a的值及S(t)的最小值.(例1)練習(xí)在某次水下考古活動(dòng)中,需要潛水員潛入水深為30m的水底進(jìn)行作業(yè).其用氧量包含3個(gè)方面:下潛時(shí),平均速度為v(米/單位時(shí)間),

4、單位時(shí)間內(nèi)用氧量為cv2(c為正常數(shù));在水底作業(yè)需5個(gè)單位時(shí)間,每個(gè)單位時(shí)間用氧量為0.4;返回水面時(shí),平均速度為(米/單位時(shí)間),單位時(shí)間用氧量為0.2.記該潛水員在此次考古活動(dòng)中,總用氧量為y.(1) 求出y關(guān)于v的函數(shù)解析式;(2) 設(shè)0<v5,試確定下潛速度v,使總的用氧量最少.三角形與三角函數(shù)模型例1如圖,某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,ABC外的地方種草,ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池,其余的地方種花,若BC=a,ABC=,設(shè)ABC的面積為S1,正方形PQRS的面積為S2.(1) 用a,表示S1和S2;(2) 當(dāng)a固定,變化時(shí),求的最小值.(例1)練習(xí)(2

5、014·淮安中學(xué))如圖所示,某市政府決定在以政府大樓O為中心,正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個(gè)圖書(shū)館.為了充分利用這塊土地,并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào),設(shè)計(jì)要求該圖書(shū)館底面矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都要在邊界上,圖書(shū)館的正面要朝市政府大樓.設(shè)扇形的半徑OM=R,MOP=45°,OB與OM之間的夾角為.(1) 將圖書(shū)館底面矩形ABCD的面積S表示成的函數(shù).(2) 求當(dāng)矩形ABCD的面積S最大時(shí),的值,并求最大值.(用含R的式子表示)(練習(xí))解析幾何模型例1一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào):臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西80km處,受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為r(r>

6、0)km的圓形區(qū)域.輪船的航行方向?yàn)槲髌?5°且不改變航線,假設(shè)臺(tái)風(fēng)中心不移動(dòng).(1) r在什么范圍內(nèi),輪船在航行途中不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?(2) 當(dāng)r=60時(shí),輪船在航行途中受到影響的航程是多少千米?練習(xí)(2014·江蘇卷)如圖,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直,保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m.經(jīng)測(cè)量,點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸),tanBCO=.(1) 求新橋BC的長(zhǎng);(2) 當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),

7、圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?(練習(xí))數(shù)列模型例1商學(xué)院為推進(jìn)后勤社會(huì)化改革,與桃園新區(qū)商定:由該區(qū)向建設(shè)銀行貸款500萬(wàn)元在桃園新區(qū)為學(xué)院建一棟可容納1000人的學(xué)生公寓,工程于2012年年初動(dòng)工,年底竣工并交付使用,公寓管理處采用收費(fèi)還貸償還建行貸款(年利率5%,按復(fù)利計(jì)算),公寓所收費(fèi)用除去物業(yè)管理費(fèi)和水電費(fèi)18萬(wàn)元.其余部分全部在年底還建行貸款.(1) 若公寓收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)定為每名學(xué)生每年800元,問(wèn):到哪一年可還清建行全部貸款?(2) 若公寓管理處要在2020年底把貸款全部還清,則每名學(xué)生每年的最低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是多少元?(精確到元,參考數(shù)據(jù):lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,

8、1.058=1.4774)練習(xí)某企業(yè)投入81萬(wàn)元經(jīng)銷(xiāo)某產(chǎn)品,經(jīng)銷(xiāo)時(shí)間共60個(gè)月,市場(chǎng)調(diào)研表明,該企業(yè)在經(jīng)銷(xiāo)這個(gè)產(chǎn)品期間第x個(gè)月的利潤(rùn)函數(shù)f(x)=(單位:萬(wàn)元).為了獲得更多的利潤(rùn),企業(yè)將每月獲得的利潤(rùn)再投入到次月的經(jīng)營(yíng)中.記第x個(gè)月的利潤(rùn)率為g(x)=,例如,g(3)=.(1) 求g(10);(2) 求第x個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率;(3) 該企業(yè)經(jīng)銷(xiāo)此產(chǎn)品期間,哪一個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率最大?并求出該月的當(dāng)月利潤(rùn)率.立體幾何體模型例1某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度,長(zhǎng)度單位:m),其中容器的中間為圓柱形,高為l,左右兩端均為半球形,半徑為r,按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為 m3,且l2r.假設(shè)該容器的建造

9、費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.(1) 求y關(guān)于r的函數(shù)解析式,并求該函數(shù)的定義域;(2) 求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)半徑r的值.(例1)【歸納提升】常見(jiàn)應(yīng)用問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型及其處理:1. 優(yōu)化問(wèn)題:實(shí)際問(wèn)題中的“優(yōu)選”、“控制”等問(wèn)題,常需建立“不等式模型”和“線性規(guī)劃”問(wèn)題解決.2. 預(yù)測(cè)問(wèn)題:經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、市場(chǎng)預(yù)測(cè)這類(lèi)問(wèn)題通常設(shè)計(jì)成“數(shù)列模型”來(lái)解決.3. 最(極)值問(wèn)題:工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設(shè)及實(shí)際生活中的極限問(wèn)題,常設(shè)計(jì)成“函數(shù)模型”,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.4. 等量關(guān)系問(wèn)題:建立“方程模型

10、”解決.5. 測(cè)量問(wèn)題:可設(shè)計(jì)成“圖形模型”利用幾何知識(shí)解決.總之,解應(yīng)用題關(guān)鍵是將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,常借助畫(huà)圖法抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題,并注意解模后的驗(yàn)證.考點(diǎn)1函數(shù)與不等式模型的應(yīng)用題【例1】【分析】根據(jù)題設(shè)條件分別求出g(x)和h(x),然后通過(guò)作差找出分界點(diǎn),得到一個(gè)分段函數(shù).【解答】由題設(shè),每個(gè)工人在單位時(shí)間內(nèi)加工5k個(gè)A型零件,所以x個(gè)工人在單位時(shí)間內(nèi)加工5k·x個(gè)A型零件.總共需要1500×3個(gè)A型零件,所以g(x)=.單位時(shí)間內(nèi)加工B型零件的個(gè)數(shù)為3k,所以h(x)=.(1) g(x)-h(x)=-=,因?yàn)?x<214,xN,所以:當(dāng)1x137時(shí),g(x

11、)>h(x);當(dāng)138x213時(shí),g(x)<h(x);即當(dāng)x137時(shí),加工A型這一組所用的時(shí)間多;當(dāng)x138時(shí),加工B型這一組所用的時(shí)間多.要完成任務(wù)必須使兩組全完成才能完成任務(wù),故完成總?cè)蝿?wù)時(shí)間是:f(x)=(2) 要使任務(wù)完成最快,|g(x)-h(x)|應(yīng)最小,令g(x)-h(x)=0,得x=137.因?yàn)閤N,所以需比較x=137和138時(shí),|g(x)-h(x)|的大小.經(jīng)比較,加工A型零件有137人,加工B型零件有77人時(shí),完成任務(wù)的用時(shí)最少.另外可以這樣考慮,要使任務(wù)完成最快,即求函數(shù)f(x)的最小值.當(dāng)1x137,xN時(shí),f(x)=,顯然x=137時(shí),f(x)最小.當(dāng)13

12、8x213,xN時(shí),f(x)=,顯然x=138時(shí),f(x)最小,比較x=137和x=138時(shí)f(x)的大小,可知當(dāng)x=137時(shí),f(x)最小.【練習(xí)】【解答】(1) 由題意知S=2bx+2ay+4xy+ab(x,y>0).(2) 因?yàn)閤,y>0,所以2bx+2ay2,當(dāng)且僅當(dāng)bx=ay時(shí),等號(hào)成立.從而S4+4xy+ab,(*)令t=,則t>0,上述不等式(*)可化為4t2+4t+ab-S0,解得t,因?yàn)閠>0,所以0<t,從而xy.由解得(負(fù)根舍去).所以當(dāng)x=,y=時(shí),四個(gè)矩形木雕的總面積最大,最大值為ab+S-2.考點(diǎn)2函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模型的應(yīng)用題【例1】【解答】

13、(1) 由f(x)=1-ax2(a>0)可得f'(x)=-2ax,P(t,f(t).直線MN的斜率k=f'(t)=-2at,則直線MN的方程為y-1+at2=-2at(x-t),令y=0,可得xM=t+,可得M;令x=0,可得yM=1+at2,可得N(0,1+at2),所以S(t)=SOMN=×(1+at2)×=.(2) 當(dāng)t=時(shí),S(t)取得最小值,S'(t)=,由題意知S'=0,即12a2×-4a=0,解得a=,此時(shí)S(t)的最小值為S=.【練習(xí)】【分析】構(gòu)建函數(shù)模型,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【解答】(1) 潛

14、入水底用時(shí)單位時(shí)間,用氧量為×cv2=30cv;水底作業(yè)時(shí)用氧量為5×0.4=2;返回水面用時(shí)單位時(shí)間,用氧量為×0.2=.所以y=30cv+2+(v>0).(2) y=30cv+2+2+2=2+12.當(dāng)且僅當(dāng)30cv=,即v=時(shí)取等號(hào).當(dāng)5,即c時(shí),v=時(shí),y的最小值為2+12.當(dāng)>5,即c<時(shí),y'=30c-=<0,因此函數(shù)y=30cv+2+在(0,5上為減函數(shù),所以當(dāng)v=5時(shí),y的最小值為150c+.綜上,當(dāng)c時(shí),下潛速度為時(shí),用氧量最小為2+12;當(dāng)0<c<時(shí),下潛速度為5時(shí),用氧量最小為150c+.考點(diǎn)3三角形

15、與三角函數(shù)模型【例1】【分析】用a,表示S1和S2,a固定時(shí)是關(guān)于的函數(shù),然后可以利用換元法或求導(dǎo)來(lái)研究其單調(diào)性從而求出最小值.【解答】(1) S1=asin·acos=a2sin2,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,則BQ=,RC=xtan,所以+xtan+x=a,所以x=,所以S2=.(2) 當(dāng)a固定,變化時(shí),=,令sin2=t,則=(0<t1),利用單調(diào)性求得t=1時(shí),=.【練習(xí)】【解答】(1) 由題意可知,點(diǎn)M為的中點(diǎn),所以O(shè)MAD.設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F,則BC=2Rsin,OF=Rcos.AB=OF-AD=Rcos-Rsin.所以S=AB·BC=2Rsin(Rcos-Rs

16、in)=R2(2sincos-2sin2)=R2(sin2-1+cos2)=R2sin-R2,.(2) 因?yàn)?則2+,所以當(dāng)2+=,即=時(shí),S有最大值,Smax=(-1)R2.故當(dāng)=時(shí),矩形ABCD的面積S有最大值(-1)R2.考點(diǎn)4解析幾何模型【例1】【分析】建立平面直線坐標(biāo)系,求出圓心到直線的距離d,通過(guò)弦心距和半徑作比較進(jìn)行判斷.【解答】如圖,以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy.(1) 由圖可知輪船在直線l:x+y-80=0上移動(dòng),原點(diǎn)到直線l的距離d=40.(例5)所以0<r<40時(shí),輪船在途中不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響.(2) 因?yàn)?0>40,所以輪船會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響.航

17、程為2=40km,所以當(dāng)r=60km時(shí),輪船在航行途中受到影響的航程是40km.【點(diǎn)評(píng)】此類(lèi)問(wèn)題實(shí)際上就是判斷直線與圓的位置關(guān)系,該類(lèi)問(wèn)題的解決有代數(shù)法和幾何法兩種方法.【練習(xí)】【解答】方法一:(1) 如圖(1)所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.由條件知A(0,60),C(170,0),直線BC的斜率kBC=-tanBCO=-.又因?yàn)锳BBC,所以直線AB的斜率kAB=.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b),則kBC=-,kAB=,解得a=80,b=120,所以BC=150(m).因此新橋BC的長(zhǎng)是150m.(練習(xí)(1)(2) 設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為rm,OM=dm(

18、0d60).由條件知,直線BC的方程為y=-(x-170),即4x+3y-680=0.由于圓M與直線BC相切,故點(diǎn)M(0,d)到直線BC的距離是r,即r=.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m,所以即解得10d35.故當(dāng)d=10時(shí),r=最大,即圓面積最大,所以當(dāng)OM=10m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.方法二:(練習(xí)(2)(1) 如圖(2)所示,延長(zhǎng)OA,CB交于點(diǎn)F.因?yàn)閠anFCO=,所以sinFCO=,cosFCO=.因?yàn)镺A=60,OC=170,所以O(shè)F=OCtanFCO=,CF=,從而AF=OF-OA=.因?yàn)镺AOC,所以cosAFB=sinFCO=.又因?yàn)锳BBC,所以BF=

19、AFcosAFB=,從而B(niǎo)C=CF-BF=150.因此新橋BC的長(zhǎng)是150m.(2) 設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D,連接MD,則MDBC,且MD是圓M的半徑,并設(shè)MD=r m,OM=dm(0d60).因?yàn)镺AOC,所以sinCFO=cosFCO.故由(1)知sinCFO=,所以r=.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m,所以即解得10d35.故當(dāng)d=10時(shí),r=最大,即圓面積最大,所以當(dāng)OM=10m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.考點(diǎn)5數(shù)列模型【例1】【分析】將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和問(wèn)題.利率問(wèn)題有兩種:單利問(wèn)題:如零存整取儲(chǔ)蓄(單利)本利和計(jì)算模型.若每期存入本金p元,每期利率為

20、r,則n期后本利和為Sn=p(1+r)+p(1+2r)+p(1+nr)=p(等差數(shù)列問(wèn)題).復(fù)利問(wèn)題:按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型.若貸款(向銀行借款)p元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分n期還清.如果每期利率為r(按復(fù)利),那么每期等額還款x元應(yīng)滿足:p(1+r)n=x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+x(1+r)+x(等比數(shù)列問(wèn)題).【解答】依題意,公寓2012年底建成,2013年開(kāi)始使用.(1) 設(shè)公寓投入使用后n年可償還全部貸款,則公寓每年收費(fèi)總額為1000×800=80(萬(wàn)元),扣除18萬(wàn)元,可償還貸款62萬(wàn)元.依

21、題意有621+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)n-1500(1+5%)n+1,化簡(jiǎn)得62(1.05n-1)25×1.05n+1.所以1.05n1.7343,兩邊取對(duì)數(shù)整理得n=11.28,所以取n=12.所以到2024年年底可還清全部貸款.(2) 設(shè)每名學(xué)生和每年的最低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為x元,因?yàn)榈?020年底公寓共使用了8年,依題意有1+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)7500(1+5%)9,化簡(jiǎn)得(0.1x-18)500×1.059,所以x10=10=10×(18+81.2)=992.故每名學(xué)生每年的最低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為992元.【點(diǎn)評(píng)】在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中,如

22、增長(zhǎng)率、降低率、存款復(fù)利、分期付款等與年(月)份有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,大多可歸結(jié)為數(shù)列問(wèn)題,即通過(guò)建立相應(yīng)的數(shù)列模型來(lái)解決.在解應(yīng)用題時(shí),是否是數(shù)列問(wèn)題,一是看自變量是否與正整數(shù)有關(guān);二是看是否符合一定的規(guī)律,可先從特殊的情形入手,再尋找一般的規(guī)律.【練習(xí)】【解答】(1) 依題意得f(1)=f(2)=f(3)=f(9)=1,所以g(10)=.(2) 當(dāng)x=1時(shí),g(1)=.當(dāng)1<x20時(shí),f(1)=f(2)=f(x-1)=f(x)=1,則g(x)=,經(jīng)驗(yàn)證x=1也符合上式,故當(dāng)1x20時(shí),g(x)=.當(dāng)21x60時(shí),g(x)=,所以第x個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率為g(x)=(3) 當(dāng)1<x20時(shí),g(x)=是減函數(shù),此時(shí)g(x)的最大值為g(1)=.當(dāng)21x60時(shí),g(