測量誤差及不確定度分析的基礎知識

1、測量誤差及不確定度分析的基礎知識物理實驗是以測量為基礎的。測量可分為直接測量與間接測量，直接測量指無需對被測的量與其它實測的量進行函數關系的輔助計算而可直接得到被測量值的測量，間接測量指利用直接測量的量與被測量之間的已知函數關系經過計算從而得到被測量值的測量。由于測量儀器、測量方法、測量環(huán)境、人員的觀察力等種種因素的局限，測量是不能無限精確的，測量結果與客觀存在的真值之間總是存在一定的差異，即存在測量誤差。因此分析測量中產生的各種誤差，盡量消除或減小其影響，并對測量結果中未能消除的誤差作出估計，給出測量結果的不確定度就是物理實驗和科學實驗中必不可少的工作。為此我們必須了解誤差的概念、特性、產生

2、的原因及測量結果的不確定度的概念與估算方法等的有關知識。 誤差的定義、分類及其處理方法一.誤差的定義： 測量結果與被測量的真值（或約定真值）之差叫做誤差，記為: 被測值的真值是一個理想的概念，一般說來真值是不知道的。在實際測量中常用準確度高的實際值來作為約定真值，才能計算誤差。二.誤差的分類及其處理方法：誤差主要分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差。系統(tǒng)誤差：（1）定義：在同一被測量的多次測量過程中，絕對值和符號保持恒定或以可預知的方式變化的測量誤差的分量。（2）產生原因： 儀器本身的缺陷或沒按規(guī)定條件使用儀器而引起的誤差（又稱作儀器誤差）例：電表的刻度不均勻-示值誤差等臂天平的兩臂實際不等-機構誤差指針式

3、電表使用前沒調零-零位誤差大氣壓強計未在標定條件下使用引起的系統(tǒng)誤差等測量所依據的理論公式本身的近似性、或實驗條件不能達到理論公式的要求、或測量方法所帶來的系統(tǒng)誤差（又稱作理論誤差或方法誤差）。例：單擺運動方程小角度近似解引起的誤差、伏安法測電阻時電表內阻引起的測量誤差。(3)分類及處理方法：根據誤差的符號、絕對值確定與否分類如下： 已定系統(tǒng)誤差-絕對值和符號已經確定的系統(tǒng)誤差分量，如零位誤差  、大氣壓強計室溫下使用引起的誤差、伏安法測電阻時電流表內接或外接引起的誤差等；這類誤差分量一般都要修正。 未定系統(tǒng)誤差-絕對值和符號未定的系統(tǒng)誤差；對這類誤差一般要估計出其分布范圍

4、（大致對應于不確定度估計中的）。實驗中可以通過方案選擇、參數設計、計量器具校準、環(huán)境條件控制等環(huán)節(jié)來減小未定系統(tǒng)誤差的限值.隨機誤差：（1）定義： 在同一量的多次重復測量中絕對值和符號以不可預知方式變化的測量誤差分量。（2）產生原因： 實驗條件和環(huán)境因素無規(guī)則的起伏變化，引起測量值圍繞真值發(fā)生漲落的變化，如：電表軸承的摩擦力變動、螺旋測微計測力在一定范圍內隨機變化、操作讀數時的視差影響、 數字儀表末位取整數時的隨機舍入過程等，都會產生一定的隨機誤差分量。（3）特點：        小誤差出現的幾率比大誤差出現的幾率大；

5、60;       大小相等符號相反的誤差出現的幾率相等，即多次測量時隨機誤差的分布具有抵償性，所以可以取多次測量的平均值來作為被測量的最佳估計值以消除隨機誤差的影響。（4）隨機變量的分布：由于隨機誤差的存在，實驗數據會圍繞真值有所起伏，對某一次測量，這種起伏是不可預測的，若進行多次測量，就會發(fā)現，實驗數據常滿足一定的統(tǒng)計分布規(guī)律，可用一定的分布函數來描述。物理實驗中遇到的典型分布有正態(tài)分布和 t 分布。在實驗中若影響測量結果的因素很多很細微且相互獨立，則當測量次數無限時，實驗數據服從正態(tài)分布, 當測量次數有限時，實驗數據服從 t 分

6、布。（5）隨機誤差的處理方法： 假定對一個量進行了次測量，測得的值為，可用下述方法求被測量的最佳估計值并評定測得值的分散性。 用多次測量的算術平均值作為被測量的最佳估計值 用樣本的標準偏差表示測得值的分散性， 按貝塞耳公式求出：大，表示測得值很分散，隨機誤差分布范圍寬，測量的精密度低；小，表示測得值很密集，隨機誤差分布范圍窄，測量的精密度高；可由帶統(tǒng)計功能的計算器直接求出6）例：用50分度的游標卡尺測某一圓棒長度，6次測量結果如下（單位mm）：250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10。則：測得值的最佳估計值為 測量列的標準偏差測量結果的表示和不確

7、定度估計 完整的測量結果應表示為 ， 其中代表測量對象，是被測量值，為不確定度，有單位時還應給出單位(如電橋法測某一電阻的結果表示為： R=910.3±1.4。)表示：測量的真值落在（ y - , y + ）范圍內的概率很大，的取值與一定的概率相聯系。我校物理實驗教學中不確定度一律采用總不確定度，這樣表示真值落在（ y - , y + ）范圍內的概率約等于或大于95%，總不確定度以下也簡稱為不確定度。一.不確定度的概念：不確定度是指由于測量誤差的存在而對被測量值不能確定的程度，表征被測量的真值所處的量值范圍的評定。不確定度反映了可能存在的誤差分布范圍，即隨機誤差分量和未定系統(tǒng)誤差分量

8、的聯合分布范圍。由于真值的不可知，誤差一般是不能計算的，它可正、可負也可能十分接近零；而不確定度總是不為零的正值，是可以具體評定的。二.直接測量結果的表示和不確定度估計方法： 1.直接測量結果中，取多次測量值的平均值。特殊情況：若存在已定系統(tǒng)誤差時，取(修正已定系統(tǒng)誤差)。 2.不確定度的估計方法：依據國內外規(guī)范，在物理實驗中采用以下的不確定度簡化評定方法： 總不確定度從評定方法上分為兩類分類：A類分量A-多次重復測量時用統(tǒng)計學方法估算的分量；B類分量B-用其他方法（非統(tǒng)計學方法）評定的分量；這兩類分量在相同置信概率下用方和根方法合成總不確定度： 由重復測量時樣本的標準偏差乘以因子（相當于樣本

9、平均值的標準偏差乘以因子）來求得：，表示t分布時由于隨機誤差的影響，真值包含于(y -A ，y +A)之間的概率約為95%。由貝塞耳公式求出，因子可根據下表查出：n234567891015208.982.481.591.241.050.930.840.770.720.550.47教學實驗中一般測量次數， 1，可進一步簡化：。的估計：在許多直接測量中近似取計量器具的誤差極限值，即認為主要由計量器具的誤差特性決定。關于儀器誤差限的討論一般取基本誤差限或示值誤差限。普通物理實驗中，計量器具主要包括計量儀器(儀表)，也包括量具和計量裝置等，所以也常叫儀器誤差限。教學中的儀器誤差限一般簡單地取計量器具的

10、示值誤差限或基本誤差限，它們可參照計量器具的有關標準，由準確度等級或允許誤差范圍得出; 或者由工廠的產品說明書給出; 有時也由實驗室結合具體情況，給出近似的約定值。大多數情況下把簡化地當做。儀器誤差限是教學中的一種簡化表示，許多器具誤差的成因分析和各分量限值的計算大多超出了本課程的要求范圍。對同一量多次測量的絕大多數實驗中，隨機誤差限顯著地小于器具的基本誤差限(示值誤差限)；另外，一些器具在實際使用時，很難保證在相同條件下操作、或在規(guī)定的正常條件下測量，測量誤差除基本誤差 (或示值誤差)外，還包含一些附加誤差分量；因此教學中必須作適當簡化。我們約定，在大多數情況下把簡化地直接當作總不確定度的B

11、類分量。依據以上說明，對某一量進行多次直接測量時，不確定度可按下式估計： 3單次測量時，簡化處理：取測得值已定系統(tǒng)誤差，且可粗略地以來估算不確定度（這并不說明只測一次時的值變小，而是因無法用統(tǒng)計方法求 A ）。4.直接測量數據的處理過程： 求測量數據列的平均值； 修正已定系統(tǒng)誤差，得出被測量值 ； 用貝塞耳公式求樣本的標準偏差 ； 樣本的標準偏差乘以因子來求得 ； 根據使用儀器得出 ； 由、合成總不確定度 ； 給出直接測量的最后結果： 。5.例：用螺旋測微計測某一鋼絲的直徑，6次測量值分別為：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250；同時讀得螺旋測微計的

12、零位為：0.004, 單位mm，已知螺旋測微計的儀器誤差為=0.004mm，請給出完整的測量結果。解：測得值的最佳估計值為 測量列的標準偏差測量次數，可近似認為1有則：測量結果為三.間接測量結果的不確定度合成：間接測量的結果是由直接測量結果根據一定的數學公式計算而來，直接測量結果的不確定度必然會影響到間接測量結果，這種影響的大小也可由相應的數學式子來反映。設間接量與各相互獨立的直接量 xi ( i =1,2n )間的函數關系為：,根據微分推導，各直接量的不確定度對的貢獻為,對的貢獻為 考慮不確定度合成的統(tǒng)計性質，各個量的貢獻按方和根形式合成間接量的不確定度，則間接量 Y 的總不確定度或相對不確定度可由以下方程求得：（主要適用于和差形式的函數）或（主要適用于積商形式的函數）下表列出一些常用函數不確定度傳遞的公式：函數表達式不確定度傳遞（合成）公式間接測量量的不確定度