習(xí)題72定積分的基本性質(zhì)

1、習(xí) 題 7.2 定積分的基本性質(zhì)1 設(shè)在上可積，在上定義，且在中除了有限個(gè)點(diǎn)之外，都有，證明在上也可積，并且有。證 設(shè)僅在處。對(duì)區(qū)間作劃分：，任取，則，其中表示僅對(duì)含有中點(diǎn)的小區(qū)間（至多個(gè)）求和。 記, 取，則當(dāng) 時(shí), ,所以由可積, 可知也可積, 且成立 。2設(shè)和在上都可積，請(qǐng)舉例說(shuō)明一般有 。解 例如，則，,所以 。3 證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，只要，和都存在，就成立。 證 如設(shè)，則 ，于是 =。 其他情形可類推。4判斷下列積分的大?。?和 ； 和 ； 和 ； 和 。解（1）當(dāng)時(shí)，所以 >。 （2）當(dāng)時(shí)，所以 。 （3）當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，由積分第一中值定理，可得 。 （4）當(dāng)時(shí)，所以 。5設(shè)在上

2、連續(xù)，但不恒為0，證明。證 證明一：不妨設(shè)。由，存在與，使得當(dāng)時(shí)，成立。于是。,或的情況可類似證明。證明二：用反證法。若，則。由于在上可導(dǎo)，且，所以有，與題設(shè)矛盾，從而必定成立。6設(shè)在上連續(xù)，且，證明在上恒為0。證 由在上連續(xù)，可知在上連續(xù)，且。由上題即可得到結(jié)論。7設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足。證明：存在，使得。證 由積分第一中值定理， 使得，再對(duì)在上應(yīng)用Rolle定理，使得。8設(shè)在上連續(xù)，在上二階可導(dǎo)，且。證明。證 將區(qū)間作劃分：，記。由于下凸，由Jensen不等式（第5.1節(jié)習(xí)題24）,得到 ，令，上述不等式就轉(zhuǎn)化為 。9設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)減少，證明對(duì)任意，成立。證 證明一：?jiǎn)栴}等價(jià)

3、于證明對(duì)任意，成立。對(duì)不等式兩端應(yīng)用積分第一中值定理，則存在及，使得=及。由于顯然有，所以得到。證明二：設(shè)，則。由積分第一中值定理，使得，即。由于單調(diào)減少，所以當(dāng)時(shí)，即單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，即單調(diào)減少。由，即可得到成立 。 證明三：當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立。當(dāng)時(shí)，令，利用單調(diào)減少，就得到。10（Young不等式）設(shè)是上嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，且，記它的反函數(shù)為。證明 （）。證 先證當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。將區(qū)間作劃分：，記，則 ，再記 ，于是 ，記 ，當(dāng)時(shí)，的極限為 ，這就證明了當(dāng)時(shí)， 。在一般情況下，設(shè)，則 。記，可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，所以在處取到最小值。由上面的討論，可知最小值，從而，這就是所要證明的。注 當(dāng)時(shí)，的結(jié)論也可直接從幾何圖形上看出。11 證明定積分的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)和在上可積，則有。證 由于在上可積，可知存在，使得在上可積。設(shè)。由于在上可積，存在對(duì)區(qū)間等分的劃分，使得當(dāng)時(shí)，成立 ，其中。另外，當(dāng)時(shí)，記分別是在區(qū)間和上的振幅，則，。因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，由，可知，其中，從而有，于是 ，所以。12設(shè)和在上都可積，證明不等式(1) （Schwarz不等式）；(2) （Minkowski不等式）。 證（1）由于對(duì)任意的，積分，即所以其判別式恒為非正的，也就是成立 ；（2）由，得到，即，兩邊開(kāi)平方，即得到 。13設(shè)和在上連續(xù)，且，證明。證 因?yàn)樵谏?，所以有。記，不妨設(shè)（因