同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分

1、*第五章定積分教學(xué)目的：1、 理解定積分的概念。2、 掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。3、 理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓萊布尼茨公式。4、 了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。教學(xué)重點：1、定積分的性質(zhì)及定積分中值定理2、定積分的換元積分法與分部積分法。3、牛頓萊布尼茨公式。教學(xué)難點：1、定積分的概念2、積分中值定理3、定積分的換元積分法分部積分法。4、變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。§5 1定積分概念與性質(zhì)一、定積分問題舉例1曲邊梯形的面積曲邊梯形 設(shè)函數(shù)y f(x)在區(qū)間a b上非負(fù)、連續(xù) 由直線x a、x b、y 0及曲線y f

2、(x)所圍成 的圖形稱為曲邊梯形其中曲線弧稱為曲邊求曲邊梯形的面積的近似值將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形每個小曲邊梯形都用一個等寬的小矩形代替每個小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值具體方法是在區(qū)間a b中任意插入若干個分點a xo x1 x2xn 1 xn b把a(bǔ) b分成n個小區(qū)間xo x x1 x2 x2 x3xn 1 xn 它們的長度依次為x1x1xox2x2 x1xnxnxn1經(jīng)過每一個分點作平行于 y軸的直線段把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形在每個小區(qū)間xi 1 xi上任取一點i以xi1 xi為底、f ( i)為高的窄矩形近似替代第i個窄

3、曲邊梯形(i 1 2n)把這樣得到的n個窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值即nA f ( 1)x1 f ( 2)x2f ( n) xnf(i) xi 1求曲邊梯形的面積的精確值顯然分點越多、每個小曲邊梯形越窄所求得的曲邊梯形面積 A的近似值就越接近曲邊梯形面積A的精確值因此要求曲邊梯形面積 A的精確值只需無限地增加分點使每個小曲邊max xi x2xn 于是0所以曲邊梯形的面積為梯形的寬度趨于零 記相當(dāng)于令上述增加分點使每個小曲邊梯形的寬度趨于零nA lim f( i) xi0i i2變速直線運動的路程v v是時間間隔T i T 2上t的連續(xù)函數(shù)且v0計算在這設(shè)物體作直線運動已知速

4、度段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S求近似路程我們把時間間隔T i T 2分成n個小的時間間隔ti在每個小的時間間隔ti內(nèi) 物體運動看成是均速的其速度近似為物體在時間間隔ti內(nèi)某點i的速度v(i)物體在時間間隔ti內(nèi)運動的距離近似為Si v( i) ti把物體在每一小的時間間隔ti內(nèi)運動的距離加起來作為物體在時間間隔T 1T 2內(nèi)所經(jīng)過的路程 S的近似值具體做法是在時間間隔T i T 2內(nèi)任意插入若干個分點T 1 t 0 t 1 t 2把T 1 T 2分成n個小段t 0 t 1 t 1 t 2各小段時間的長依次為t 1 t 1 t 0 t 2 t 2 t 1相應(yīng)地在各段時間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為S 1

5、S 2在時間間隔ti 1 t i上任取一個時刻i (ti 1 i個時刻的速度得到部分路程Si的近似值 即Si v( i) ti (i于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運動路程tn 1 tn T2t n 1 t nt n t n t n 1S nti)以i時刻的速度v( i)來代替ti1 t i上各1 2 n)S的近似值即求精確值記 max t 1 t 2 tn當(dāng)nS v( i) ti 10時取上述和式的極限即得變速直線運動的路程nS lim。v( i) ti設(shè)函數(shù)y f(x)在區(qū)間a b上非負(fù)、連續(xù) 及曲線y f(x)所圍成的曲邊梯形的面積求直線x a、x b、y 0(1)用分點a

6、 xo xi X2xn i xn b把區(qū)間a b分成n個小區(qū)間xo xi xix2x2x3xn1xn 記 xixixi1 (i 1 2 n)(2)任取i xi 1 xi以xi 1 xi為底的小曲邊梯形的面積可近似為f( i) x (i 1 2 n)所求曲邊梯形面積 A的近似值為 nA f( i) i 1(3)記 max x1x2xn所以曲邊梯形面積的精確值為nA lim0f( i) xi0 i 1設(shè)物體作直線運動 已知速度v v(t)是時間間隔T 1 T 2上t的連續(xù)函數(shù)且v(t) 0計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S(1)用分點T1 to t1 t2 tn 1 tn T2把時間間隔T 1 T

7、 2分成n個小時間 段tot1t1t2tn 1tn記tititi1 (i 1 2 n)(2)任取i ti 1 ti在時間段ti 1 ti內(nèi)物體所經(jīng)過的路程可近似為v( i) ti(i 1 2 n)所求路程S的近似值為nS v( i) ti i 1記 max t1 t2tn所求路程的精確值為nS lim0V( i) ti、定積分定義就抽象出下拋開上述問題的具體意義抓住它們在數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括述定積分的定義定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上有界 在a b中任意插入若干個分點 a xo x1 x2xn 1 xn b把區(qū)間a b分成n個小區(qū)間xo xi xi X2xn 1 xn各小段區(qū)間的

8、長依次為xixixoxx2xixnxnxn1在每個小區(qū)間xi i xi上任取一個點i (xi i i xi)作函數(shù)值f ( i)與小區(qū)間長度 xi的乘積f ( i) xi (i i 2 n) 并作出和 nS f( i) xii i記 maxxix2xn如果不論對a b怎樣分法也不論在小區(qū)間xiixi上點i怎樣取法 只要當(dāng) 0時 和S總趨于確定的極限I這時我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的定積分記作abf(x)dx即bf(x)dx lim f( i) xiaoi i其中f (x)叫做被積函數(shù)f (x)dx叫做被積表達(dá)式x叫做積分變量a叫做積分下限b叫做積分上限a b叫做積分區(qū)間定義

9、設(shè)函數(shù)f(x)在a b上有界 用分點a xo xi x2xn i xn b把a(bǔ) b分成n個小區(qū)同xoxixix2xnixn記xixixii(i i 2 n)任 i xi i xi (i i 2 n)作和nS f( i) xii i記 max xi x2xn如果當(dāng) 0時 上述和式的極限存在且極限值與區(qū)間a b的b分法和i的取法無關(guān)則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的定積分記作 f(x)dxabf (x)dxnlim。f( i) ki ib根據(jù)定積分的定義曲邊梯形的面積為 A af(x)dxT2變速直線運動的路程為S T2v(t)dtTi說明定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)而與積分變量的

10、記法無關(guān)bbbf(x)dx f (t)dt f(u)du aaan (2)和 f( i) Xi通常稱為f (x)的積分和 i 1(3)如果函數(shù)f (x)在a b上的定積分存在我們就說f (x)在區(qū)間a b上可積函數(shù)f(x)在a b上滿足什么條件時f (x)在a b上可積呢？定理1設(shè)f (x)在區(qū)間a b上連續(xù) 則f (x)在a b上可積定理2 設(shè)f (x)在區(qū)間a b上有界 且只有有限個間斷點 則f (x)在a b上可積 定積分的幾何意義在區(qū)間a b上 當(dāng)f(x) 0時 積分bf(x)dx在幾何上表示由曲線y f (x)、兩條直線x a、x b與ax軸所圍成的曲邊梯形的面積當(dāng)f(x)。時 由曲

11、線y f (x)、兩條直線x a、x b與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值bnnbf(x)dx lim f( i) x lim f( i) xa f(x)dx當(dāng)f (x)既取得正值又取得負(fù)值時 的下方如果我們對面積賦以正負(fù)號a0i i0i ia函數(shù)f(x)的圖形某些部分在 x軸的上方而其它部分在x軸在x軸上方的圖形面積賦以正號 在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號則在一般情形下定積分ba f (x)dx的幾何意義為 a它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x a、x b之間的各部分面積的代數(shù)和用定積分的定義計算定積分1例1.利用定義計算定積分0x2dx解

12、把區(qū)間0 1分成n等份 分點為和小區(qū)間長度為x -(i 1 2 n 1) x 1(i 1 2 n) nn取i ；(i 1 2 n)作積分和 n n nf( i) xi2 xiJ)2i 1i 1i 1 n nn i2 4Mn 1)(2n 1) 1(1 -1)(2 1)n3 i 1n3 66 nn一， 1,. ，因為 1當(dāng)。時n 所以0x2dxnlim f( J Xi0i i111nim i(1 n)(2 n利定積分的幾何意義求積分1例2用定積分的幾何意義求0(1 x)dx解：函數(shù)y 1 x在區(qū)間0 1上的定積分是以y 1 x為曲邊以區(qū)間0 1為底的曲邊梯形的面 積 因為以y 1 x為曲邊 以區(qū)間

13、0 1為底的曲邊梯形是一直角三角形其底邊長及高均為1所以1 11<1x)dx11 11022三、定積分的性質(zhì)兩點規(guī)定當(dāng) a b 時 bf(x)dx 0 a(2)當(dāng) a b 時 :f(x)dx : f (x)dx性質(zhì)1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即bbba【f(x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx aaaxibn證明：a/(x) g(x)dx lim f( i) g( i) a0i 1nlim f (0i 1i)lim0ing( i)1*bba f(x)dx ag(x)dx aa性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面即bba kf (x)dx k a f

14、(x)dx這是因為 akf (x)dx lim kf( i) xa0i 1klim f ( i)0i 1xibk a f(x)dx性質(zhì)如果將積分區(qū)間分成兩部分 和即則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dx aac這個性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性值得注意的是不論 a b c的相對位置如何總有等式bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dx aac成立例如當(dāng)a<b<c時由于cbcaf(x)dx af(x)dx bf(x)dx于是有bcccba f(x)dxa f(x)dxbf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx性質(zhì)4如果

15、在區(qū)間a b± f (x) 1則bb1dx dx b a aa性質(zhì)5如果在區(qū)間a b上f (x) 0則ba f(x)dx 0(a b)推論1如果在區(qū)間a b上f (x) g(x)則bbf(x)dx g(x)dx(a b) aa這是因為g (x) f (x) 0從而bbbg(x)dx af(x)dx g(x) f(x)dx 0 aaa所以bbf(x)dx ag(x)dx aabb推論 2 | a f(x)dx| al f(x)|dx(a b)這是因為|f (x)| f (x) |f (x)|所以bbba|f(x)|dxa f (x)dxa|f(x)|dxbb即 |af(x)dx| a|

16、f(x)|dx|性質(zhì)6設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的最大值及最小值則bm(b a) f(x)dx M (b a) (a b) a證明 因為m f (x) M 所以bbbamdx af(x)dx aMdx從而b則在積分區(qū)間a b上至少m(b a) a f (x)dx M (b a)性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù)存在一個點使下式成立ba f(x)dx f( )(b a)這個公式叫做積分中值公式證明由性質(zhì)6bm(b a) f (x)dx M (b a) a各項除以b a得1 b .m f (x)dx M baa再由連續(xù)函數(shù)的介值定理在a b上至少存在一點使f

17、()f (x)dx于是兩端乘以b a得中值公式f (x)dx f( )(b a)積分中值公式的幾何解釋應(yīng)注意不論a<b還是a>b積分中值公式都成立§5 2微積分基本公式一、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)物體從某定點開始作直線運動在t時刻所經(jīng)過的路程為S速度為v v(t) S(t)(v(t) 0)則在時間間隔Ti T2內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為T2S(T2)S(Ti)及 T v(t)dt11To即t v(t)dt S(T2) S(T1)T1上式表明速度函數(shù)v(t)在區(qū)間Ti T2上的定積分等于 v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間Ti T2上的增量.這個特殊問題中

18、得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上連續(xù) 并且設(shè)x為a b上的一點 我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間a x 上的定積分xaf(x)dx稱為積分上限的函數(shù)它是區(qū)間a b上的函數(shù)記為xx(x) f (x)dx 或(x) f(t)dtaa定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上連續(xù) 則函數(shù)x(x) af(x)dx在a b上具有導(dǎo)數(shù) 并且它的導(dǎo)數(shù)為(x)dx af(t)dtf (x)(a x<b)簡要證明若x (a b)取x使x x (a b)x xx(x x) (x) f(t)dt f(t)dt aaxx xxaf(t)dt * f(t)dt af(t)d

19、tx xx f(t)dt f( ) x應(yīng)用積分中值定理有 f ( ) x其中在x與x x之間 x 0時 x于是(x) lim x 0 xlim f ( ) lim f ( ) f (x) x 0x若x a取x>0則同理可證(x) f(a)若 x b取x<0則同理可證(x) f(b)定理2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上連續(xù) 則函數(shù)x(x) af(x)dx就是f (x)在a b上的一個原函數(shù)另一方面初步地揭示了積分學(xué)定理的重要意義一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系三、牛頓 萊布尼茨公式定理3如果函數(shù)F (x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的一個原函數(shù)則

20、baf(x)dx F(b) F(a)此公式稱為牛頓萊布尼茨公式也稱為微積分基本公式x這是因為F(x)和(x) af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)所以存在常數(shù)C使F(x) (x) C (C為某一常數(shù))由 F(a) (a) C 及(a) 0 得 C F(a) F(x) (x) F(a)由 F(b) (b) F(a)得(b) F(b) F(a)即 b af(x)dx F(b) F(a)證明已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù) 又根據(jù)定理2積分上限函數(shù) x(x) af(t)dt a也是f(x)的一個原函數(shù)于是有一常數(shù)C使F(x) (x) C (a x b)當(dāng) x a 時 有 F(a) (a)

21、 C 而(a) 0 所以 C F(a)當(dāng) x b 時 F(b) (b) F(a) 所以(b) F(b) F(a)即baf(x)dx F(b) F(a)為了方便起見可把F(b) F(a)記成F(x)4 于是baf(x)dx F(x)b F(b) F(a) a進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系 1 9例1.計算0x2dx解由于1x3是x2的一個原函數(shù)所以 3：x2dx 1x30 113 1 03 1030 3333 dx例2計算i/ x131dx2 arctanx'3解由于arctan x是土的一個原函數(shù)所以arctan、.3 arctan( 1) ( ) -7341

22、2一 一 11例3.計算21dx 2x.F 111_解 1dx ln |x| 2 1n 1 ln 2 In 2 2 x例4.計算正弦曲線y sin x在0 上與x軸所圍成的平面圖形的面積解這圖形是曲邊梯形的一個特例它的面積A 0 sinxdx cosxo( 1) ( 1) 2例5.汽車以每小時36km速度行駛到某處需要減速停車設(shè)汽車以等加速度 a 5m/s2剎車 問從開始剎車到停車汽車走了多少距離？解 從開始剎車到停車所需的時間當(dāng)t 0時汽車速度36 1000vo 36km/h3600 m/s 10m/s剎車后t時刻汽車的速度為v(t) V0 at 10 5t當(dāng)汽車停止時速度v(t) 0從v(

23、t) 10 5t 0得 t 2(s)于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離為221s 0V(t)dt 0(10 5t)dt 10t 5丁2 10(m)即在剎車后汽車需走過10m才能停住x例6.設(shè)f(x)在0,)內(nèi)連續(xù)且f(x)>0證明函數(shù)F(x)0xtf (t)dt0 f (t)dt在(0)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)證明 dx0xtf(t)dt xf(x)ddxx0 f (t)dt f(x)故F(x)xf(x) 0 f (t)dt f(x)0tf(t)dtx2(0 f(t)dt)2xf(x)0(x t)f(t)dtx2(0f(t)dt)2按假設(shè)x0 f (t)dtx00(x t)f(t)dt 0當(dāng)

24、0 t x 時 f (t)>0 (x t)f (t) 0 所以從而F (x)>0 (x>0)這就證明了 F (x)在(0)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)1 t2e t dt 例7.求lim3二一 x 0x2解這是一個零比零型未定式由羅必達(dá)法則e t dt lim -cosF- lim x 0 x2 x 0cosx1 et2dtlim sinxecos2x -1x 0 2x 2e提示設(shè)(x)x 2一1 e t dt 則cosx t2(cosx) 1 e t dtd cosx dx 1 et2dt-d- (cos x) dx-d- (u) du e u2 ( sinx) sinx e cos2

25、x dudx§5 3定積分的換元法和分部積分法一、換元積分法定理 假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上連續(xù) 函數(shù)x(t)滿足條件(1)( ) a ( ) b(2)(t)在(或)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且其值域不越出a b則有baf(x)dX f (t) (t)dt這個公式叫做定積分的換元公式證明由假設(shè)知f(x)在區(qū)間a b上是連續(xù)因而是可積的f (t) (t)在區(qū)間(或)上也是連續(xù)的因而是可積的假設(shè)F(x)是f (x)的一個原函數(shù)則ba f (x)dx F(b) F(a) a另一方面因為F (t) F 從而(t) (t) f (t) (t)所以 F(5是£ (t) (t)的一個原函數(shù)f (

26、t)(t)dt F ( ) F ( ) F(b) F(a)因此baf(x)dxf (t) (t)dt例 1 計算:Ja cos5xsin xdx x2dx(a>0)m 3 n o令x a sin t角牛 0、a2 x2dxJ acost acostdta2 2cos2 tdt 7 (1 cos2t)dt 02 oa2t 2sin2t0! 1 a2提示Ja2 x2 Ja2 a2sin2t a cost dx a cos t 當(dāng) x 0 時 t 0 當(dāng) x a 時 t 一2例 2 計算 02 cos5xsinxdx解令t cos x則2 cos5xsin xdx02 cos5 xd cosx

27、0令 cosx t01t5dt0t5dt 京1。i提示當(dāng)x0時t1當(dāng)x,時t02 cos5 xd cosx06cos6xl2icos6iicos60 6例 3 計算 0 Jsin0x sin5 xdx3解 0 、,sin3x sin5xdx ° sin2 x|cosx|dx32 2 2e0 sin2 xcosxdx_302sin2 xdsin x3sin2 xcosxdx23sin2 xd sinx225K 25222sin2x0 尸% 5 ( -)提示 、sin3x sin5x, sin3x(1 sin2 x)3sin2 x|cosx|在0,2上 |cos x| cos x 在,上

28、 |cos x|cos x例4計算：-M=dx0、2x 1圣2(t23)dt392彳-2tdt1 t1 1 33 1 2712223t3ti 2(T 9) (3 3) 1提示 xdx tdt當(dāng)x。時t 1當(dāng)x 4時t 3 2例5證明 若f (x)在a a上連續(xù)且為偶函數(shù)則aaaf(x)dx 20 f (x)dxa0a證明 因為 a f (x)dx a f(x)dx 0 f (x)dx.0令 x t 0aa而 af(x)dx af(t)dt 0 f( t)dt 0 f(x)dxaaa所以 a f (x)dx 0 f ( x)dx 0 f (x)dx aaa0f(x) f(x)dx a2f(x)d

29、x 20f(x)dx討論a右f(x)在a a上連續(xù)且為奇函數(shù)問a f(x)dx ?提示 若f (x)為奇函數(shù)則f ( x) f (x) 0從而aaaf(x)dx 0f( x) f(x)dx 0例6若f (x)在0 1上連續(xù)證明(1) 02 f (sin x)dx 02 f (cosx)dx(2) 0 xf (sin x)dx 0 f (sin x)dx證明(1)令x t則 2-02 f(sin x)dx fsin( t)dt02202 fsin(- t)dt 02 f(cosx)dx(2)令x t則00 xf (sin x)dx ( t)fsin( t)dt0( t)fsin( t)dt 0(

30、 t)f(sint)dt0 f (sint)dt 0 tf (sint)dt0 f(sinx)dx 0 xf (sin x)dx所以 0 xf (sin x)dx 0 f (sin x)dxxe x2x 04例7設(shè)函數(shù)f (x)1計算d f (x 2)dx1-1 x 011 cosx解設(shè)x 2 t則42012 t24 f(x 2)dx 4 f(t)dt 1 dtte t dt111 1 cost 0tn 0 a t22 tan1 1e 4 1tan 2 1 2e 0 tan2 2e 2提示 設(shè)x 2 t則dx dt當(dāng)x 1時t 1當(dāng)x 4時t 2二、分部積分法設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間a

31、b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) u (x)、v (x)由(uv) uv uv得uv uvuv 式兩端在區(qū)間a b上積分得bbb、bbbauvdxuvaauvdx或audvuvaavdu這就是定積分的分部積分公式分部積分過程bbbbbudv uvavdu uvau vdxaaabauvdx例1計算12arcsinxdx o1解 02aginxdx xaenx12xd arcsinx o12 1 寧7d(1 x2)12 J x202行V 1一 ，1 一例2計算Qe'xdx解令x t則11 +0e xdx 2 0ettdt1 t20 tdett 11 t2©。2°etdt2e Net：

32、 2例3設(shè)I n 02sinnxdx證明(1)當(dāng)n為正偶數(shù)時(2)當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時證明 2sinn xdx 2sinn1xdcosxn 00cos xsinn 1 x -2 ,cosxdsinn 1 x(n 1) 02 cos2xsinn 2xdx (n 1) 02(sinn 2x sinnx)dx (n 1) 02 sinn 2xdx (n 1) 02sinnxdx(n 1)I n 2 (n 1)I n由此得nn_JIn n 22m2m 12m 32m 531I02m2m 22m 4422m2m2 2m 44212m1 2m1 2m1 2m 35113 1而 I002dx 萬 I102

33、sinxdx 1因此, 2m 1 2m 32m 5 3 1 I12m 一 一 一 一一 一2m 2m 2 2m 4 4 2 2. 2m 2m 2 2m 4 4 2 2m 1 2m 12m 12m 3 5 3例3設(shè)1n 02sinnxdx（n為正整數(shù)）證明2m 12m 3 2m 5 3 J. _2m 2m 2 2m 4 4 2 22m 2m 2 2m 4 4 22m 1 2m 1 2m 3 5 3證明 In02sinnxdx02sinn 1 xd cosxcosxsinn 1x(2 (n 1) 2 cos2xsinn 2xdx(n 1) 02(sinn 2x sinnx)dx(n 1) 02si

34、nn 2xdx (n 1) 02sinnxdx(n 1)I n 2 (n 1)I n由此得In In 2I 2m 12m 3 2m 5 3 1 I 2m 2m 2m 2 2m 4 4 2I 2m 2m 2 2m 4 4 2I2m 1 2m 1 2m 1 2m 3 5 3特別地 I03 dxI1Jsin xdx10o210因此2m2m2m2m3 2m 52m 2 2m 4I2m 12m2m2m 2 2m 42m 1 2m 3§5 4反常積分取b>a如果極限baf (x)dx一、無窮限的反常積分定義1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a )上連續(xù))上的反常積分記彳a f(x)dx即limbbli

35、m f (x)dxb a存在則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間aa f(x)dx這時也稱反常積分f(x)dx收斂a如果上述極限不存在函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a)上的反常積分° f(x)dx就沒有意義此時a稱反常積分a f(x)dx發(fā)散類似地 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間( b 上連續(xù) 如果極限blim f(x)dx(a<b)a a存在則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(b 上的反常積分記作b f(x)dx即bbf (x)dx lim f (x)dxa a這時也稱反常積分b f(x)dx收斂 如果上述極限不存在則稱反常積分b f(x)dx發(fā)散設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間()上連續(xù)如果反常積分0f

36、(x)dx 和 0 f (x)dx都收斂則稱上述兩個反常積分的和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間()上的反常積分記作f (x)dx 即0f(x)dx f(x)dx o f(x)dxlima0ba f (x)dx Jim 0 f (x)dx這時也稱反常積分 f (x)dx收斂如果上式右端有一個反常積分發(fā)散定義1 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間aa則稱反常積分f (x)dx發(fā)散)上的反常積分定義為bf (x)dx lim f (x)dxb a在反常積分的定義式中如果極限存在則稱此反常積分收斂否則稱此反常積分發(fā)散類似地 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(b上和在區(qū)間()上的反常積分定義為bbf (x)dx lim a f (

37、x)dxf (x)dx lim 0f (x)dx lim :f(x)dxa ab 0反常積分的計算如果F(x)是f(x)的原函數(shù)則bf (x)dx lim a f (x)dx lim F(x)a ab ablim F(b) F(a) lim F(x) F(a) bx可采用如下簡記形式a f(x)dx F(x)alim F(x) F(a)ax類似地 b f (x)dx F(x)b F(b) lim F(x) xf(x)dx F(x)lim F(x) lim F(x) xx例1計算反常積分fdx1 x2解-2 dx arctan x1 x2lim arctanx lim arctanx xx例2計

38、算反常積分0 teptdt （p是常數(shù) 且p>0）解。te ptdt te ptdt0 -1 tde pt00p1te pt 1 e ptdt0pp1te pt 4e pt0pp1 pt 1 c pt 11lim te2 e 22t p p2 p2p2提木 lim te pt lim - lim5f 0 tt ep t pep例3討論反常積分工dx（a>0）的斂散性a xp解當(dāng) p 1 時 4dx 1dx ln xa a xpa x當(dāng) p<1 時 aJ?1 paa xp1 p當(dāng) p>1 時-1dx -x1 pa'a1二a xp1 pp 1因此當(dāng)p>1時此反常積分收斂其值為當(dāng)p 1時此反常積分發(fā)散p 二、無界函數(shù)的反常積分定義2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a b上連續(xù) 而在點a的右鄰域內(nèi)無界取0如果極限blim . f (x)dxt a t存在則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a b上的反常積分仍然記作：f(x)dx即bbf (x)dx lim f (x)dxat a t這時也稱反常積分bf (x)dx收斂a如果上述極限不存在就稱反常積分:f(x)dx