一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第三章一元函數(shù)與數(shù)與微分教學(xué)目的：1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線 的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。3、了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求某些簡單函數(shù)的 n階導(dǎo)數(shù)。4、會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。6、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。7、理解函

2、數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。8、會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。9、掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。10、知道曲率和曲率半徑的概念，會計(jì)算曲率和曲率半徑。11、知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系；2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；3、 、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；4、 高階導(dǎo)數(shù)；5、 隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；6、 羅爾定理、拉格朗日中值定理；7、 函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；

3、8、 函數(shù)圖形的凹凸性；9、 洛必達(dá)法則。教學(xué)難點(diǎn)：10、 合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2 、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3 、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)；5、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用；6、極值的判斷方法；7 、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪；8、洛必達(dá)法則的靈活運(yùn)用。3.1 導(dǎo)數(shù)的引入3.1.1 導(dǎo)數(shù)定義問題引入：一.直線運(yùn)動的速度，切線問題1.直線運(yùn)動的速度先建立坐標(biāo)系：設(shè)某點(diǎn)沿直線運(yùn)動，在直線上引入原點(diǎn)和單位點(diǎn)(即表示實(shí)數(shù) 1的點(diǎn))，使直線成為數(shù)軸. 此外，再取定一個時刻作為測量時間的零點(diǎn)， 設(shè)動點(diǎn)于時刻t在直線上的位置的坐標(biāo)為 s(簡 稱位置)，運(yùn)動完全由位置函數(shù)所確定 .位置函數(shù)

4、：s = f(1)從時刻to到時刻t的一個時間間隔，有平均速度為：s - s0f - f (to )= (2) t -tot -to時間間隔較短，比值在實(shí)踐中可用來說明動點(diǎn)在時刻t0的速度，但動點(diǎn)在時刻 t0的速度的精確概念還得讓tT t0,即： f(t) -f(to)v = lim (3)t *° t - to極限值叫做動點(diǎn)在時刻 t0的(瞬時)速度，給出了求瞬時速度的方法2.曲線的切線建立直角坐標(biāo)系，函數(shù)的圖形為曲線， 分析切線的定義， 就得曲線上任一點(diǎn)處的切線的斜率 為：(4)ktlim "刈一"一沖 x -x0如圖3-1,割線斜率的極限就是切線的斜率二.導(dǎo)

5、數(shù)的定義1 .函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)非勻速直線運(yùn)動的速度和切線的斜率都可以歸為一般數(shù)學(xué)形式:limx及f(x) - “?)(5)x -'x0精彩文檔此處的xX0和f (x)f(Xo)的分別是函數(shù) y = f (x)的自變量的增量 Ax和函數(shù)的增量f(xox) - f(x0)(6)y,式(5)寫成:yy lim - = lim .x-0 ,-：x.x-P由它們在數(shù)量關(guān)系上的共性，就得出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念2 .導(dǎo)數(shù)的定義定義3.1設(shè)函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)xo的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在xo處取得增量xx (點(diǎn)x0 +Ax仍在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量Ay;如果Ay與Ax之

6、比當(dāng)x T o時的極限存在，則稱函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，并稱這個極PM為函數(shù) y = f (x)在點(diǎn)幾處的導(dǎo)數(shù)，記為f (x。)，或者記為ydy x*,dxdf (x) d dxx=x。yf(x。)二明 7rlimof (xo 工x) - f (xo)(7)函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)有時也說成 y = f (x)在點(diǎn)xo具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在.導(dǎo)數(shù)的定義也可取不同的形式，常見的有:f'(Xo)=四f(xoh) - f (xo)(8)f (xo) = lim x Jxof(x) 一 f(xo)x - xo在實(shí)際中，需要討論有不同意義的變量的變化(9)“快慢”問題，在數(shù)

7、學(xué)上就是所謂函數(shù)的變化率問題.導(dǎo)數(shù)概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述3 .函數(shù)在一點(diǎn)處不可導(dǎo)的定義定義3.2如果式(7)的極限不存在，就說函數(shù)在點(diǎn)xo處不可導(dǎo).如果，當(dāng)Axt o時，比值 久一)9 時，就說函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)為無窮 x1_大(此時函數(shù)不可導(dǎo))，如函數(shù)y= 在x=o點(diǎn)處不可導(dǎo).x4.導(dǎo)函數(shù)的定義定義3.3如果函數(shù)y = f(x)在區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)y= f (x)在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo).對任意xe I都對應(yīng)著y = f(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)叫做函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)函數(shù)，記作:y，f(x)4竽 dx dx由式

8、(7)、式(8)得(10): lim f(x /=Hm f(x h)-f(x) . x 0xh 0 h(11)導(dǎo)函數(shù)f(x)簡稱導(dǎo)數(shù)，而£'(%)是£仁)在乂0處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù) f'(x)在點(diǎn)x = x0處的值.三.函數(shù)求導(dǎo)的一般步驟1. 函數(shù)求導(dǎo)的步驟第一步 根據(jù)定義3.3寫出式(11)的形式.第二步把具體函數(shù)帶入進(jìn)行計(jì)算.2.一些簡單函數(shù)的求導(dǎo).例1求f (x)=-的導(dǎo)數(shù) x1 _1解 f (x) =lim f(x h)f(x) =iim x h xh0hh 0 h-h11=lim二-lim二 一-h0 h(x h)xh0(x，h)xx2例2求f (x)

9、=y'x的導(dǎo)數(shù)f (x h) T(x) x h - x 解 f (x) =lim -l =limh 0 hh 0 h=limlim h 0 h(、x hx) h 0 x h ,，x 2，x例3求函數(shù)f (x) sin x的導(dǎo)數(shù),解 f (x) =lim f(x h) f(x)=limsin(x h)sinx h 0 hh 0 h1hh=lim 2 cos(x ) sin h)0 h22.h h sino = lim cos(x )2h Q '2 h=cosx .即(sinx)cos x用類似的方法.可求得(cos x ) ' sin x3.1.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義f (Xo

10、h) - f(xo)由切線問題的討論知，函數(shù) y = f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f xo)在幾何上表示曲線 y = f (x)在點(diǎn)M(xo, f(xo)處的切線的斜率，即f'(xo)=k = !m曲線在點(diǎn)處的切線方程為y - yo = f (x0)(x - xo)曲線在點(diǎn)處的法線方程為y _ yo =f (xo)(x - x0)11 例4求等邊雙曲線y =在點(diǎn)(,2)處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線 x 2方程.解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線的斜率為k1 = y切線方程為1y-2=Y(x-2),4x y -4 = 0.法線的斜率為k2 =k1法線方程為-1 ,1、y -2

11、(x-),422x -8y 15=0.例5求曲線品的通過點(diǎn)(o, -4)的切線方程，解 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X。則切線的斜率為f(xo)市為號士氣孝又,于是所求切線的方程可設(shè)為y-xo Jxo=3dxo(xxo),2根據(jù)題目要求.點(diǎn)(0.4)在切線上.因此3-4 -xo- ；x0 =？ xo(o -xo)解之得X0j,于是所求切線的方程為y 4V4 =|v14(x-4),即 3X-y/田，注：(1).如果f (Xo),則曲線y = f(x)在點(diǎn)M (Xo, f (Xo)處有垂直于x軸的切線X = Xo ;(2) .如果f (Xo) = 0,則曲線y = f(x)在點(diǎn)M (Xo, f (Xo)處有平

12、行于X軸的切線 y = f (xo).3.1.3導(dǎo)數(shù)存在性判定一.單側(cè)導(dǎo)數(shù)根據(jù)函數(shù)f (X)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)f '(Xo)的定義，導(dǎo)數(shù)是一個極限,f(%)=穩(wěn)f (Xoh) - f (Xo)h而極限存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等.由函數(shù)在點(diǎn)xo處的左、右極限得左、右導(dǎo)數(shù)的定義左導(dǎo)數(shù)的定義f'f (Xo h) - f (Xo)f_(Xo)= lim.ho -h右導(dǎo)數(shù)的定義f(Xo h) - f (Xo)f Go)1”h.例6求函數(shù)f(x)=|x在x=o處的導(dǎo)數(shù)解 f eXlimfflMm 兇， xox - o x " x.|x |. X | x| Xlim

13、.J-1 = lim =1, lim ! = lim =-1.x)oX x ° x XQx x0 -X所以lim兇不存在，X Q x即f (x) = x在x = o點(diǎn)不可導(dǎo).函數(shù)f (x)在開區(qū)間函數(shù)在點(diǎn)Xo處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在且相等(a,b)的內(nèi)可導(dǎo)，及f*(a)的f：(b)都存在，就說f(x)在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo).二.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 設(shè)函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),即肥費(fèi) =f'(%)存在,則四夕叩0vxl,xvx=f(x0)0。這就是說.函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)xo處是連續(xù)的,所以.如果函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x處可導(dǎo).則函數(shù)

14、在該點(diǎn)連續(xù),但是一個函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo)例7函數(shù)f (x)=次在區(qū)間(叼 電內(nèi)連續(xù).但在點(diǎn)x 0處不可導(dǎo),這是因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)為無窮大，lim .h 0f(0 h) f(0)3.1.4基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式在初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算中起著重要的作用， 前面我們通過定義已經(jīng) 得到了一些公式，在這里我們再計(jì)算兩個，還有的需要后面的知識推導(dǎo)， 為了熟練地掌握它 們，現(xiàn)將這些公式給出.例8求函數(shù)f(x)a x(a>0.a#1)的導(dǎo)數(shù),解f (x)機(jī)f (x h) f (x)naxlimataaxlimh 0 ht Qloga(1 t)=ax1 =axlna ,

15、logae特別地有(ex)ex .例9求函數(shù)f (x)log a x ( a>0 . a =1)的導(dǎo)數(shù),解 f (x)=網(wǎng)f (x h) T(x)loga(x h) -loga x.1 ,，=lim loga(h0 h號)=him0hloga(1;)= lim log a(1 h)T xh0x特殊地(lnx1=1x1 . 1(logax)(lnx):xln ax基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(C)，= 0； (2) (xN)'=N ,xR； (3) (sin x),=cosx ,(4) (cosx)，= sin x ；2 2(5) (tanx) =sec x； (6) (cot x) =

16、csc x； (7) (secx) = secxtan x ；(8) (cscx)，=cscxcot x ； (9) (ax)=axlna； (10) (ex)' = ex；(11) (log a x)=xln a八、1,.、.1；(12) (ln x) =一； (13) (arcsinx) =-= x.1-x21,、1, 、1(14) (arccosx) =一一d: (15) (arctan x) =2； (16) (arccot x) =2 .1 -x21 x1 x3.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)通過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合得到的，所以要想解決初等函數(shù)的求導(dǎo)問題就必須建立求

17、導(dǎo)運(yùn)算的基本法則和方法3.2.1 求導(dǎo)法則.求導(dǎo)四則運(yùn)算法則定理3.1 如果函數(shù)u=u(x)及v = v(x而點(diǎn)x處具有導(dǎo)數(shù).那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x處具有導(dǎo)數(shù).并且u x -V x =u x v x ,u x V x =u x_vx+ux_Vx,u(x) u (x)v(x) - u(x)v (x)_v(x)V2(x)(2)證僅證明公式(2)u(x) v(x) =umh 0u(x h)v(x h) -u(x)v(x)h=lim 1u(x h)v(x h) -u(x)v(x h) u(x)v(x h) 一u(x)v(x) h0 h=im 產(chǎn)Lkx+h (x)v(x+h

18、)-v(x)iu(x h) -u(x)v(x h) -v(x)=limlim v(x h) u(x) lim 'h_0hh J0h 0 h=u'(x) v(x) u(x) u'(x).法則(2)可簡單地表示為uW =u » + u|_p .注：法則(1)、(2)可推廣到有限可導(dǎo)函數(shù)的情形,例 1 f (x) =x3 +4 cosx -sin ：.求 f '(x)及 f (微)，解 f (x) =(x3) (4cosx) _(sin -1) =3x2 _4sin x .f 份)=4 二 2-4 ,例 2 y = tan x .求 y1解y =(tanx)

19、=(皿)JsW型空皿螭丸 cosxcos2x= cos2x sin2x= 二sec2xcos2 xcos2 x2 即 tan x =sec x .例 3 y =secx ,求 y 11 、 (1) cosx -1 (cosx) sin x用牛 y =(secx) =(-!-) =-s s =sec x tan x .cosxcos2xcos2 xF 即(secx)=secxtan x.用類似方法.還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：cscx i = cscxcotx , cotx := icsc2 x.反函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.2如果函數(shù)x=f(y )在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f <y)#

20、0 ,那么它的反函數(shù)y = f -1 (x/對應(yīng)區(qū)間Ix=xx=f(y)yWIy內(nèi)也可導(dǎo).并且f 二=dy 1.或=丁，dx dxdy簡要證明：由于x = f ( y )在I y內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(從而連續(xù)).所以x = f ( y)的反函數(shù)y = f -1 (x盧在.且f -1( x)在Ix內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)任取x w I x,給x以增量Ax(Ax于0,x + Axw I x )，由y = f-1( x )的單調(diào)性可知ii八y = f x lx - f x = 0 ,于是豈二1 ,x lxy因?yàn)閥= f-1(x )連續(xù).故lim . y =0x )0從而f,(x) = lim = lim - =-1.

21、xPlxy0 _jx f (y)豆上述結(jié)論可簡單地說成：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例4 設(shè)x = sin y, y w -二，為直接函數(shù).則y = arcsin x是它的反函數(shù)，函數(shù) 22x=siny在開區(qū)間(-, 金內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo).且F(sin y )=cos y >0 .(arcsinx)=1(sin y)因此.由反函數(shù)的求導(dǎo)法則.在對應(yīng)區(qū)間Ix=(-1,1 )內(nèi)有1=1=1cosy . 1 -sin2 y 1-x2類似地有 ：(arccosx)'=一111 -x2例5 設(shè)*=12門丫，yW(, )為直接函數(shù) .則y = arctanx是它的反函數(shù)22x = tan

22、y在區(qū)間(內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo).且,2-tan y = sec y = 0因此.由反函數(shù)的求導(dǎo)法則.在對應(yīng)區(qū)間Ix = (-8 ,1 )內(nèi)有(arctan x)(tan y)二 1 二 1 二 1sed y 1 tan2 y 1 x2類似地有(arccot x) =-1：1 x2例6設(shè)x =ay (a >0,a 01)為直接函數(shù).則y = log a x是它的反函數(shù)，函數(shù)x = ay在區(qū)間1y =(-,1)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo).且ay = ayln a = 0 .因此.由反函數(shù)的求導(dǎo)法則.在對應(yīng)區(qū)間Ix =(0,oO )內(nèi)有111(lOgaX)=的=0-=砥,到目前為止.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們基本都求出

23、來了.那么由基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)ln tan x、ex3的導(dǎo)數(shù)怎樣求？三.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則數(shù)定理3.3如果u=g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo).函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=g(x)可導(dǎo).則復(fù)合函數(shù)y=fg(x) 在點(diǎn)x可導(dǎo).且其導(dǎo)數(shù)為dy = f(u)g(x葭dy=dy du .dxdx du dx證 當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時.y=f(x)也是常數(shù).此時導(dǎo)數(shù)為零.結(jié)論自然成當(dāng)u =g( x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時.u#0 .此時有7 二 fg(x x)-fg(x)二 fg(x x)-fg(x) g(x . ：x)g(x)xxg(x lx) -g(x)xf (u

24、 Lu)-f (u) g(x Lx) -g (x)川Lx亞=lim=1而 f(u ：u)-f(u) jim g(x ：x)g(x)= f ( g «),dx .xT/x . u.0. u.x jox簡要證明dy y y uy u=lim = lim = lim -lim=f (u)g (x).dx x 0 Lx. x 0 Lulx u 0 Lux 0LX例7已知y Fx3 .求dy .dx解函數(shù)y=ex3可看作是由y=eu. u=x3復(fù)合而成的.因此或二業(yè)辿二e 3x24x2ex3.dx du dx例8已知y =sin 2x .求dy .1 x2dx解 函數(shù)y =sin 巴 是由ys

25、in u . u = 2x復(fù)合而成的.1 x21 x2因此 dy 必 du -Su 2(1 x2)孑x)2 二叮 co白dx du dx(1 x2)2(1 x2)21 x2對復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后.就不必再寫出中間變量.例 9 已知 y = lnsin x .求 dy .dxdy=(lnsinx) = 1 (sinx) cosx =cotx dxsin xsin x例 10 已知 y=3/TZ2x2 求 dydx11,2解 dy 4(1 2x2)3(1 2x2尸(1 _2x2) j Sxdx 13* (1 .2x2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個中間變量的情形則,例如.設(shè) y=f(u) ,

26、 u=(v) , v3(x).dy dy du dy du dvdx du dx du dv dx例 11 已知 y = In cos(ex )，求 dy .解 dy -ln cos(ex) = -1 cos(ex)dxcos(ex)二十sin(ex)yxtan(ex)12已知y=e嘰求生 dx1. 1. 1dy , sinsin1、. sin(e x) -e x (sin ) =e x dxx1 cosx,111 sin 1()=一一2 e x cos,xx2x例13設(shè)x>0 .證明哥函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (xN'nNx', 解因?yàn)閤N = (elnxy=e即x.所以口-ln

27、 xJnxIn x.1-.1x = e- ): =e ：Llnx)：=elxx例14 求雙曲正弦函數(shù)sh x的導(dǎo)數(shù).解因?yàn)閟h x =1(ex_e、).所以(sh x) =2-(ex -e -)二2(ex e *):ch x .F即 sh x =chx .類似地.有(ch x ) =shx.3.2.2含參變量函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)一.含參變量函數(shù)求導(dǎo)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程個寸?確定的.則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參y 二 一數(shù)方程所確定的函數(shù)在實(shí)際問題中.需要計(jì)算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).但從參數(shù)方程中消去參數(shù)t有時會有困難，因此.我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的

28、導(dǎo)數(shù),設(shè)x =中(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù) t =中,(x ).且此反函數(shù)能與函數(shù) y=w (t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=V 1 (x )1 .若x=。(t )和y=V (t)都可導(dǎo).則dy =dy dt =dy 1 二(t) dx =dt dx =dt dx =百dtdydy_不或業(yè)=_d1dx 一(t)受 dx 一5, dt若x =邛(t /口 y= (t)都可導(dǎo),則dy (t)dx 一 ： (t),例15求橢圓Jx=ac0st在相應(yīng)于t=三點(diǎn)處的切線方程 j=bsint4dy (bsint)' bcost _b 8tt dx -(acost) - -asint - a所求切線的斜率為dyt

29、-=bdx t=4a切點(diǎn)的坐標(biāo)為二 2. .,2xo =acos 4 =a 2 - yo =bsin 4 =b 2切線方程為y_b二=-b(x-a 2 abx ay - , 2ab = 0 .x =v1t例16拋體運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為1 2求拋體在時刻t的運(yùn)動速度的大小和方向y=v2t-2 gt2解先求速度的大小,速度的水平分量與鉛直分量分別為x t )=v1,y t )=v -gt所以拋射體在時刻t的運(yùn)動速度的大小為v=Jx(t)2 y2v12 (V2=gt)2 .再求速度的方向設(shè)口是切線的傾角.則軌道的切線方向?yàn)閠an： =dy =詡=心dx x(t) v隱函數(shù)求導(dǎo)基本方法1. 顯函數(shù)與隱

30、函數(shù).例如 y = sin x, y = ln x+ ex .由方程 F (x, y )= 0所確形如y = f (x )的函數(shù)稱為顯函數(shù)定的函數(shù)稱為隱函數(shù)，例如.方程x+ y3-1 = 0確定的隱函數(shù)為y, y=3仁,如果在方程F (x,y )=0中.當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時 .相應(yīng)地總有滿足這方程的唯 一的y值存在.那么就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù)把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù).叫做隱函數(shù)的顯化，隱函數(shù)的顯化有時是有困難的.甚至是不可能的2. 隱函數(shù)求導(dǎo)在實(shí)際問題中.有時需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此.我們希望有一種方法.不管隱函數(shù)能否顯化.都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)

31、數(shù)來例17求由方程ey4xy-e=0 所確定的隱函數(shù) y的導(dǎo)數(shù),解把方程兩邊的每一項(xiàng)對 x求導(dǎo)可得(ey) (xy) ye)他.即 e y y yxy : =0從而 y - - y (x ey -0).'x ey ()57-例18 求由萬程y 42yx_3x =0 所確定的隱函數(shù) y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)yl xj解 把方程兩邊分別對 x求導(dǎo)可得5 y y *-2y M -21x 6=0.由此得1 21x6 5y4 2 1因?yàn)楫?dāng)x力時.從原方程得1 21x65y4 2|x 0 -1例19求橢圓著+容=1在(2,橫處的切線方程解 把橢圓方程的兩邊分別對x求導(dǎo).得從而9xy :一兩,當(dāng)

32、x=2時.y=1_73 .代入上式得所求切線的斜率k=yg = 44所求的切線方程為y、,3 =-3(x-2).即 J3x+4y-8p13=0 ,三.對數(shù)求導(dǎo)法.所謂對數(shù)求導(dǎo)法為了解決哥指函數(shù)或復(fù)雜的積、商函數(shù)求導(dǎo)問題，我們引人對數(shù)求導(dǎo)方法 是先在y = f (x )的兩邊取對數(shù).然后再求出y的導(dǎo)數(shù).設(shè)y = f (x ).兩邊取對數(shù).得ln y = ln f (x ),方程兩邊對 x 求導(dǎo).得(yTln f(x)'. y'= f (xn f(x)1 例20求y =xsinx(x A0)的導(dǎo)數(shù).解1兩邊取對數(shù).得ln y = ln x|_Sin x .上式兩邊對 x 求導(dǎo).得工

33、y'=cosx Inx+sinx 1 .y =y(cosx In x sin x 1) =xsinx(cosx Inx sinx),xx這種哥指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求sin x sin x , In xy=x仝y =esinx 1nx門 x In x) =xs1nx(cosx In x -sln-x)x例21 求函數(shù)y =(x-1)(x-2) (x-3)(x-4)(x a4)的導(dǎo)數(shù),解先在兩邊取對數(shù).得Iny=1ln( x-1) ln( x-2) -ln( x-3) -ln( x-4).上式兩邊對x求導(dǎo).得工y1=l('V 2 x-1 x-2 x-3 x-41 J 1)x

34、 - 4于是 y=y(x.1x -2x -3x-1 x-2 J 2 x-3 x-4 x -1x-2x 3 x -'4).3.2.3高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.高階導(dǎo)數(shù)基本概念ds在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動的速度 v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即：v=,而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導(dǎo)數(shù):c dv d ds /a =I,或出 出dta =(s' )，這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)且去出dt叫做sXt的二階導(dǎo)數(shù)卜面我們給出它的數(shù)學(xué)定義:函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)數(shù)y'=f'(x)仍然是x的函數(shù).我們把y'= f'(x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的

35、二階導(dǎo)數(shù)，記作y”或dy,即：y'=(y')或9_y=_d dyl |'.類似地，二階導(dǎo) dxdx dx dx(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)3V數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作：y”'，y(4 ), y(n威 ?dx,4 ，dxdxn,這樣我們給出數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，一般地了高階導(dǎo)數(shù)的定義.二.高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算一般思路就是按照定義，連續(xù)利用一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則n次即可.除此之外我們再介紹兩個計(jì)算函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式.u ±V=u士v(n).'''''

36、;''''_ ''''(2) 設(shè) y = uv ,則 y =u v + uv ； y = (u V + uv ) = U V + 2u V + UV ；'''''''''''''''''''''y = u v 2u v uv = u v 3u v 3u v uv .依此類推，我們可由數(shù)學(xué)歸納法證可得萊布尼茨公式(結(jié)果與二項(xiàng)式e+v y展開式極為相似)：(n),(n)

37、 (0) . n1,(nJ) (1)k (n 3) (k) . nnJ (1) (nJ) .(o)、，(n)(uv) =u vCnuv Cnu v Cn u v u vN=Z C：u(nA)v(k), (其中 u(0)=u, V(0)=V)K =02. 利用法則求函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)例22 求對數(shù)函數(shù)y=2ln (1 +x )的n階導(dǎo)數(shù).2221_24212 力.斛 y = " y =-2； y =3； y =4；;1+x1+x1+x1+x般地，可得y(n=(-1廠'n ?.例23求哥函數(shù)y =xn(n w N»的n階導(dǎo)數(shù).解 y =(xn)=nxn.；y =(nxn )

38、= n(n -1)xn ；y = (n(n1)xn" ) =n(n1)(n2)xn* ；;y(n山=n(n -1)(n 2)2x ; y=n(n 1)(n 2)2 1 = n!；yM =y(5 =0.例24求函數(shù)y =eax（ a為常數(shù)）的n階導(dǎo)數(shù).' axax ''ax=(e ) = ae ； y = (ae )2 ax '''2 ax=a e ； y = (a e )3 axa e ；(n) nJ axn ax,y a e = a e (n N ).例25 求三角函數(shù)y = sin x與y = cos x的n階導(dǎo)數(shù).y = (sin

39、 x ) =cosx =sin x +''y=(cosx ) = _sin x =sin僅 + n )=sin x +2 1； <2 J“'y=( - sin x )=cosx =sin x +3n、. ci = sin x + 3 2 J <:21'(4) y一 cosx =sinx= sin(x+2n )=sin x + 4 一 ；<2)般地，sin x (n)= sin x+n，一,類似可得,<2 J(cosx=cos x上面是常用函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算的例子，下面是運(yùn)用萊布尼茨公式公式進(jìn)行高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算的例子.k>k=01*n);例

40、26 求函數(shù)y = ex COSX的5階導(dǎo)數(shù).解 丫 (ex=ex,(cosx )(k) =cos(x +,由萊布尼茨公式得:5(5)-、/ x、(5-k)(k)'=、C5 (e ) (cosx)k=0_ 0 x_ 1 x、 ：- r 2 x_ 3 x、'c C5e cosx C5e cos(x ) C5 e cos(x 2 ) C5e cos(x 3 )C；excos(x 4 ) C；excos(x 5 )=ex cosx -5exsin x -10eXcosx 10exsin x 5eXcosx - ex sin x= 4ex(sinx -cosx).上面介紹了基本初等函數(shù)

41、的高階導(dǎo)數(shù)，下面介紹一個分段函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法例27 研究函數(shù)f（X）=22八X ,X >0 A 2 的高階導(dǎo)數(shù).-X ,x <02x解 f (x) =< 0-2xf f(x)-f(0)f (0)= lim -x w x -0ff(x)-f(0)f (0); lim -一 T -x-0X2 -0 n =lim = 0X w x - 0-X2 - 0v lim二 0x-；°- x -0, ''f (X)2=不存在-2X 0X = 0X : 0f (X) - f (0)x -0= lim2XT X - 0f（k）（X）=不存在f：(0)叫小中X-0-X

42、 -0= limqX-0- X -0k _3 .含參變量函數(shù)和隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算1.參變量函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)我們知道平面曲線C一般的表達(dá)形式是參變量方程:(a <t - -)(1)這樣，對于一般直角坐標(biāo)下的函數(shù)方程求導(dǎo)公式就不再適合 公式.必須給出參數(shù)方程相應(yīng)的求導(dǎo)設(shè)1=片對應(yīng)曲線C上的點(diǎn)P,如果在點(diǎn)P有切線，那么切線的斜率可由割線的斜率取極限而得，為此設(shè)邛W在點(diǎn)t0可導(dǎo)，且x'。）#。.若t0+占對應(yīng)C上的點(diǎn)Q （圖3-3）,害U線PQ圖3-3汕.(to).1-(tot)(to)lim于是曲線C在點(diǎn)P的切線斜率是：tana =lim ”=生0溪. t %x' (to)F其

43、中a為切線與X軸正向夾角若絲(to)=O,但中'(to)/O,同樣可得cot 二=1tmoyto) (to)若qZ在a, P上都存在連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且 中'2+中2 # o,這時稱c為光滑曲線.其特點(diǎn)是在曲線C上不僅每一點(diǎn)都有切線，且切線與 X軸正向的夾角a(t)是t的連續(xù)函數(shù)若x=%t)具有反函數(shù)t =邛(乂)，那么它與y =中(t)構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)y= Q(x).這時只要函數(shù) 邛,中可導(dǎo)，中'(t)#o (因而當(dāng)Axt o時，也有AtT o和Ayr。)，就可由復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法則得到dydy dtdy , dx'(t)/dxdt dxdt dt'

44、(t)d2ydx2_d_ dy _ dx dx1 dy '_dx出 dx dt(2)(3)例28試求由擺線參量方程/"a"sint)所確定的函數(shù)y = y(x)的二階導(dǎo)數(shù).、y =a(1 cost)解 由(2)式可得含參量方程求導(dǎo)法則的：曳=a(1 -cost): = asint = cot工；dx b(t-sint)a(1-cost) 2x = a(t。sin t)再對參量方程dy t 應(yīng)用(3)式含參量方程求導(dǎo)法，則有:一 =cot ,dx 2d2yt cot ,2cscdx2l-a(t - sin t) 1a(1 - cost)4acsc 一 .對于隱函數(shù)的二

45、階導(dǎo)數(shù)，就是對一階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，但由于是隱函數(shù)，因此計(jì)算有一定難度，下面簡介它的求法的.例 29 已知 x2 +y2 xy =1,求 y".解 此方程不易顯化，故用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊同時對x進(jìn)行求導(dǎo)可得，9(x2 +y2 xy )=4l ) = 0, 2x+2yy'-( y + xy')=0,故曳=y'= y 2x.dxdxdx 2 y - xy=d4 dxd y -2x (y*-2(2y-x)-(2y*-1 Jy-2x)二2dx、2y-xj(2y-x)i y-2x -、- C y -2x .、_-2 (2y-x)- 2-1 (y-2x)I2y-x；I 2y-x

46、 ；_ 3x-3y23 .2y-x2y-x3.2,4 *相關(guān)變化率設(shè)x = x（t ）及y = y（t ）都是可導(dǎo)函數(shù).而變量x與y間存在某種關(guān)系.從而變化率 等dy間也存在一定關(guān)系,這兩個相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率,相關(guān)變化率問題就是研dt究這兩個變化率之間的關(guān)系.以便從其中一個變化率求出另一個變化率例30 一氣球從離開觀察員 500米處離地面鉛直上升.其速度為140米/分.當(dāng)氣球高度為500 米時.觀察員視線的仰角增加率是多少？解 設(shè)氣球上升t（秒）后.其高度為h .觀察員視線的仰角為 a .則tan 二二h500其中a及h都是時間t的函數(shù),上式兩邊對t求導(dǎo).得sec2 二 ddt_

47、1 dh一500 dt已知 曲=140（米/秒）.又當(dāng)h =500（米）時.tana =1,sec% =2，代入上式得 dt2” _ 1dt -500所以股0_ =0,14（弧度/秒），dt 500即觀察員視線的仰角增加率是每秒0.14弧度，3.3 一元微分及其應(yīng)用3.4.1 一元微分定義1 .微分的定義引例函數(shù)增量的計(jì)算及增量的構(gòu)成,一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響.其邊長由X0變到X0+AX，問此薄片的面積改變了多少？設(shè)此正方形的邊長為 x .面積為A .則A是X的函數(shù)：A=x2 ,金屬薄片的面積改變量為222-A= Xo :-X j I： Xo = 2X0 -X : : -X.2幾何態(tài)

48、義：2x°Ax表示兩個長為Xo寬為Ax的長方形面積；(Ax)表示邊長為Ax的正方形的面積.,、，一、，_,22數(shù)學(xué)息乂 ：:當(dāng)Axt 0時.(Ax )是比Ax高階的無窮小.即(Ax) =o( Ax) ; 2x0Ax是x的線性函數(shù).是AA的主要部分.可以近似地代替 AA .定義3.4 設(shè)函數(shù)y=f(x )在某區(qū)間內(nèi)有定義.X0及x0+Ax在這區(qū)間內(nèi).如果函數(shù)的增量y 二 f Xox - f Xo可表不為y=A x o x .其中A是不依賴于 Ax的常數(shù).那么稱函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)是可微的.而Aix叫做函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)xo相應(yīng)于自變量增量 Ax的微分.記作dy .即dy =

49、A x .2 .可微與可導(dǎo)的關(guān)系函數(shù)可微的條件：函數(shù)f(X )在點(diǎn)xo可微的充分必要條件是函數(shù)f(X而點(diǎn)可導(dǎo).且當(dāng)函數(shù)f(X近點(diǎn)Xo可微時.其微分-一定是dy = f Xo x .證 設(shè)函數(shù)f(X/點(diǎn)小可微.則按定義有y 二 Ax o x上式兩邊除以Ax .得A =A o(雙)X攻,于是.當(dāng)AXT 0時.由上式就得到AUmoTyX "f(Xo)'一方面 川=人取+0()=垓=人+0= 燈 £ = f (Xo)=A另一方面 lim ,y =f(Xo)= X f f (xo) :=. ；：y = f (x0)LX > x當(dāng)f'(xo產(chǎn)0時有燈新嗎展氣燈祟d

50、 Ay = dy + og).因此.如果函數(shù)f ( X心點(diǎn)Xo可微.則f(X )在點(diǎn)Xo也一定可導(dǎo).且A = f '(Xo ).反之.如 果f(X )在點(diǎn)可導(dǎo).即蝎tXnft%)存在.根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系.上式可寫成£ = f (Xo)也.其中 OCT o(當(dāng) Axt o)toA = f'(Xo)是常數(shù).0(Ax = o(Ax),由 此又有Ay=f(ox)XxrHAx因而f <xo )不依賴于Ax.故上式相當(dāng)于y =AAx+o(Ax).所以f(x )在點(diǎn)X。也是可導(dǎo)的.在(x。)。的條件下.以微分dy = f '(Xo世x近似代替增量Ay = f(Xo

51、 + Ax) f(Xo )時.其誤差為o(dy),因此.在| Ax很小時.有近似等式Ay定dy .函數(shù)y = f (x )在任意點(diǎn)X的微分.稱為函數(shù)的微分.記作dy或df(X ).即 dy = f'(x)dx . X*例如 dcosx = cosx x =-sinx xpe、= exx = ex x .特別地：當(dāng)y =x時.dy =dx=(x)'Ax=Ax .所以通常把自變量 x的增量Ax稱為自變量的微分.記作dx .即dx=Ax ,于是函數(shù)y = f(X)的微分又可記作dy = f'(x)dx ,從而有 dy = f (x). dx這就是說.函數(shù)的微分dy與自變量的微

52、分 dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此.導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”例1求函數(shù)y = x2在*=1和*=3處的微分,解 函數(shù)y =X2在X =1處的微分為.2dy=(x )|xAx=2Ax,函數(shù)y = x2在x = 3處的微分為dy =Wx2 x=3 x =6 x .3例2求函數(shù)y = x當(dāng)x=2. Ax = 0.02時的微分,解先求函數(shù)在任意點(diǎn) x的微分dy = x3x = 3x2 x ,再求函數(shù)當(dāng)x = 2 . Ax =0.02時的微分2_2dy x-2,-0,02 3x Ax|x32gz0,02 =3*2 *0.02 =0.24 ,三.微分的幾何意義 函數(shù)y = f (x)的圖形是一條曲線,圖3-2當(dāng)Ay是曲線y = f (x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時.dy