推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法

1、三好高中生（ID：sanhao-youke），為高中生提供名師公開(kāi)課和精品資料。推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法編稿：辛文升 審稿：孫永釗 【考綱要求】1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異4.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)5.了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)6.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】推理與證明歸納推理證明合情推理演

2、繹推理數(shù)學(xué)歸納法綜合法分析法直接證明類(lèi)比間接證明反證法【考點(diǎn)梳理】【高清課堂：推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法407426 知識(shí)要點(diǎn)】考點(diǎn)一：合情推理與演繹推理1推理的概念根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知事實(shí)(或假設(shè))得出一個(gè)判斷，這種思維方式叫做推理從結(jié)構(gòu)上說(shuō)，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(shí)(或假設(shè))叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結(jié)論2合情推理根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理稱(chēng)為合情推理合情推理又具體分為歸納推理和類(lèi)比推理兩類(lèi)：(1)歸納推理：由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的

3、推理簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理，歸納推理簡(jiǎn)稱(chēng)歸納(2)類(lèi)比推理：由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理，簡(jiǎn)言之，類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理，類(lèi)比推理簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比3演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理三段論是演繹推理的一般模式，它包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情況；(3)結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷要點(diǎn)詮釋?zhuān)汉锨橥评砼c演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系（1）從推理模式看：歸納推理是由特殊到一般的推理類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理演繹推理是由一般到特殊的

4、推理（2）從推理的結(jié)論看：合情推理所得的結(jié)論不一定正確，有待證明。演繹推理所得的結(jié)論一定正確。（3）總體來(lái)說(shuō)，從推理的形式和推理的正確性上講，二者有差異；從二者在認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中所發(fā)揮的作用的角度考慮，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的。合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗(yàn)證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過(guò)合情推理獲得的；演繹推理可以驗(yàn)證合情推理的正確性，合情推理可以為演繹推理提供方向和思路.考點(diǎn)二：直接證明與間接證明1綜合法(1)定義：綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中最常用的方法，它是從已知到未知，從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所要求證的命題綜合法

5、是一種由因索果的證明方法，又叫順推法(2)綜合法的思維框圖：用表示已知條件，為定義、定理、公理等，表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：. 2分析法(1) 定義：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判斷一個(gè)明顯成立的條件(已知條件，定理，定義，公理)為止這種證明方法叫做分析法分析法又叫逆推法或執(zhí)果索因法(2)分析法的思維框圖：.得到一個(gè)明顯成立的條件.3反證法 (1)定義：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立這樣的證明方法叫反證法反證法是一種間接證明的方法(2)應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題

6、的一般步驟： 分清命題的條件和結(jié)論 做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè) 由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用演繹推理方法，推出矛盾的結(jié)果 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所做的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明原命題為真考點(diǎn)三：數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟：（1）證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)結(jié)論正確；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論正確，證明時(shí)結(jié)論也正確，由（1）（2）確定對(duì)時(shí)結(jié)論都正確。要點(diǎn)詮釋?zhuān)?.在證明過(guò)程中證明了第一步，就獲得了遞推的基礎(chǔ)，但僅靠這一步還不能說(shuō)明結(jié)論的普遍性.在第一步中，考察結(jié)論成立的最小正整數(shù)就足夠了，沒(méi)有必要再考察幾個(gè)正整數(shù)，即使命題對(duì)這幾個(gè)正整數(shù)都成立，也不能保證命題對(duì)其他正整數(shù)也成立；證

7、明了第二步，就獲得了遞推的依據(jù)，但沒(méi)有第一步就失去了遞推的基礎(chǔ).只有把第一步和第二步結(jié)合在一起，才能獲得普遍性的結(jié)論；2.用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)初始值的選?。撼跏贾稻褪俏覀円C明的命題對(duì)象的最小自然數(shù)。根據(jù)題目不同，初始值不一定從開(kāi)始。如，證明不等式，初始值應(yīng)從開(kāi)始.必須把要把歸納假設(shè)用上一次或者多次：在由假設(shè)時(shí)命題成立，證明時(shí)命題也成立，必須把要把歸納假設(shè)用上一次或者多次。必須把歸納假設(shè)“時(shí)命題成立”作為條件來(lái)推導(dǎo)出“時(shí)命題也成立”是第二步的關(guān)鍵，只有通過(guò)歸納假設(shè)的使用，才達(dá)到由n=k的情況遞推到n=k+1的情況，保證了命題的傳遞性。此處變形的方法較多，要在不同題型中逐步去體會(huì)，如證明整除問(wèn)

8、題、幾何問(wèn)題等?！镜湫屠}】類(lèi)型一：合情推理與演繹推理例1平面內(nèi)的1條直線(xiàn)把平面分成2部分，2條相交直線(xiàn)把平面分成4部分，3條相交但不共點(diǎn)的直線(xiàn)把平面分成7部分，n條彼此相交而無(wú)三條共點(diǎn)的直線(xiàn)，把平面分成多少部分？【思路點(diǎn)撥】可通過(guò)畫(huà)當(dāng)直線(xiàn)條數(shù)n為3，4，5時(shí)，分別計(jì)算出它們將平面分成的區(qū)域數(shù)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再歸納出結(jié)論.【解析】設(shè)平面被n條直線(xiàn)分成部分，則：當(dāng)n=1時(shí)，S1=1+1=2；當(dāng)n=2時(shí)，S2=1+1+2=4；當(dāng)n=3時(shí)，S3=1+1+2+3=7；當(dāng)n=4時(shí)，S4=1+1+2+3+4=11.據(jù)此猜想，得.【總結(jié)升華】本題是由部分到整體的推理，先把部分的情況都寫(xiě)出來(lái)，然后尋找規(guī)律，概

9、括出整體的情況，是典型的歸納推理.舉一反三：【變式1】平面中有n個(gè)圓，每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，每三個(gè)圓都無(wú)公共點(diǎn)，它們將平面分成塊區(qū)域，有，則的表達(dá)式是 .【答案】【變式2】在數(shù)列中，a1=1，且，計(jì)算a2，a3，a4，并猜想的表達(dá)式.【解析】，猜想：.例2證明函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)【思路點(diǎn)撥】證明本題所依據(jù)的大前提是：在某個(gè)區(qū)間（a, b）內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增小前提是的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿(mǎn)足，這是證明本例的關(guān)鍵【證明】. 當(dāng)時(shí)，有，所以. 所以在內(nèi)是增函數(shù)【總結(jié)升華】演繹推理是由一般到特殊的推理從推理所得的結(jié)論來(lái)看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理

10、形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確舉一反三：【變式1】有這樣一段演繹推理：“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)? ) A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤【答案】C【變式2】函數(shù)yf（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關(guān)系是 . 【解析】函數(shù)yf（x）在（0，2）上是增函數(shù)，由0x+22得-2x0函數(shù)y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函數(shù)，又函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2) 在（0，2）上是減函數(shù)由圖象可得f(2.5)>f(1)

11、>f(3.5).類(lèi)型二：直接證明與間接證明例3(2015春 靜寧縣校級(jí)期中)已知，(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求證：【思路點(diǎn)撥】直接利用分析法的證明步驟，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明即可.【證明】要證只需證，只需證：取函數(shù)則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，有即得證.舉一反三：【變式1】(2014春 亭湖區(qū)校級(jí)期中)在三棱錐A-BCD中，E、F、G、H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).(1) 求證：四邊形EFGH是平行四邊形(2) 若AC=BD，求證：四邊形EFGH為菱形.【證明】(1)E、F、G、H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).四邊形EFGH為平行四邊形.(2) 若AC=BD,則EF=EH

12、平行四邊形EFGH為菱形.【變式2】已知a,b,cR,求證：.【證明】a2+b22ab ，2(a2+b2)a2+2ab+b2=(a+b)2 即,兩邊開(kāi)方得 同理可得, 三式相加得：例4已知a3b3=2,求證：a+b2.【思路分析】根據(jù)已知條件a3b3，想到立方和公式。【證明】假設(shè)a+b>2,則b>2-a，b3>(2-a)3 a3b3>a3(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+22,與已知矛盾，a+b2舉一反三：【變式1】設(shè)二次函數(shù)中的、均為奇數(shù)，求證：方程無(wú)整數(shù)根.【證明】假設(shè)方程 有整數(shù)根，則成立，所以.因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以也為奇數(shù)，且與都必須為奇數(shù).因?yàn)橐阎?/p>

13、、為奇數(shù)，又為奇數(shù)，所以為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立.【高清課堂：推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法407426 例5】例5若都為實(shí)數(shù)，且，求證：中至少有一個(gè)大于0.【思路分析】“中至少有一個(gè)大于0”的反面是“都不大于0”?！咀C明】假設(shè)都不大于0，則，所以又.因?yàn)?，所以，所以，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立.【總結(jié)升華】正確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)是正確運(yùn)用反證法的前提，要注意一些常用的“結(jié)論否定形式”，另外，需注意作出的反設(shè)必須包括與結(jié)論相反的所有情況，也只有證明了與結(jié)論相反的所有情況都不成立，才能保證原來(lái)的結(jié)論一定成立舉一反三：【變式1】設(shè)函數(shù)在內(nèi)都有，且恒成立，求證：對(duì)任

14、意都有.【證明】假設(shè)“對(duì)任意都有”不成立，則，有成立，又這與矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立.類(lèi)型三：數(shù)學(xué)歸納法例6用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 對(duì)所有均成立.【思路點(diǎn)撥】在利用歸納假設(shè)論證等式成立時(shí)，注意分析與的兩個(gè)等式的差別.時(shí)，等式左邊增加兩項(xiàng)，右邊增加一項(xiàng)，而且右式的首項(xiàng)由變?yōu)?因此在證明中，右式中的應(yīng)與-合并，才能得到所證式.所以，在論證之前，把時(shí)等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)先作一分析.【證明】（1)當(dāng)時(shí)，左式=，右式=， 左式=右式，等式成立.（2)假設(shè)當(dāng)()時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等式也成立，由（1)（2)可知，等式對(duì)均成立.【總結(jié)升華】數(shù)學(xué)歸納法的第二步是遞推的“依據(jù)”，是論證過(guò)程的關(guān)鍵

15、，在論證時(shí)必須用到時(shí)的假設(shè)結(jié)論，然后通過(guò)恰當(dāng)?shù)耐评砗陀?jì)算來(lái)證明時(shí)命題也成立.數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程中，要把握好兩個(gè)關(guān)鍵之處：一是與的關(guān)系；二是與的關(guān)系.舉一反三：【變式1】在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，且設(shè)，證明：數(shù)列的各項(xiàng)均為3的倍數(shù).【解析】（1) ，當(dāng)時(shí)，為3的倍數(shù)，命題成立.（2)假設(shè)當(dāng) ()時(shí)命題成立，即為3的倍數(shù)，則當(dāng)時(shí)，由假設(shè)知：為3的倍數(shù)，又因?yàn)闉?的倍數(shù)所以為3的倍數(shù)，即當(dāng)時(shí)，等式成立.由（1)（2)可知，數(shù)列的各項(xiàng)均為3的倍數(shù)對(duì)均成立.例7已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，且對(duì)于所有的非零自然數(shù)n, 與2的等差中項(xiàng)等于與2的正的等比中項(xiàng).（1）寫(xiě)出的前三項(xiàng)； （2）求的通項(xiàng)公式；（3）

16、令，求.【思路點(diǎn)撥】歸納-猜想-證明的方法.根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后歸納出其中的規(guī)律，寫(xiě)出其通項(xiàng)【解析】（1）由已知得：， 當(dāng)時(shí)，解得； 當(dāng)時(shí)，即，解得；當(dāng)時(shí)，解得.（2）方法一：， ，又,整理得，即 ()，又,是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，故.方法二：由（1）猜想： ()下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)已成立假設(shè)時(shí)，命題成立.即成立 當(dāng)時(shí)， 又, ,的各項(xiàng)均為正數(shù)即n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.由，可知，對(duì)一切，.（3） .【總結(jié)升華】歸納推理所得到的結(jié)論有可能正確，也有可能錯(cuò)誤，它的正確性需要嚴(yán)格的證明因此在具體問(wèn)題中，常常用歸納推理去猜測(cè)發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而利用演繹推理去驗(yàn)證或證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論這也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一條重要途徑本題考察了與之間的關(guān)系；本題既可以用數(shù)學(xué)歸納法，還可用遞推關(guān)系.在利用歸納假設(shè)進(jìn)行論證這一步中，應(yīng)利用去求Sk，而不是利用求和.舉一反三：【變式1】已知，又?jǐn)?shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足, . (1) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)； (2) 若，試比較與；與；與的大小，猜測(cè)與()的大小關(guān)系并加以證明；【解析】（1）由, 可求得：, ,為等差數(shù)列，且首項(xiàng)，公差，即,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，, .(2)；, ； , . 猜測(cè)：. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：驗(yàn)證,時(shí)成立. 假設(shè)n=k時(shí)，成立. 即成立，等價(jià)于. 則當(dāng)時(shí)， 即時(shí)，成立. 由，可得