計算方法第6章常微分方程數(shù)值解法

1、第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法第第6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 1 引言引言 2 歐拉法和改進(jìn)的歐拉法歐拉法和改進(jìn)的歐拉法3 龍格庫塔法龍格庫塔法4 阿達(dá)姆斯方法阿達(dá)姆斯方法5 二階線性常微分方程邊值問題的數(shù)值解二階線性常微分方程邊值問題的數(shù)值解第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法微分的方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程微分的方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程 微分方程的解是微分方程的解是xoy平面上的一平面上的一簇積分曲線，這簇積分曲線上任意點簇積分曲線，這簇積分曲線上任意點(x，y)的斜率為的斜率為 即即 f (

2、x，y)。 確定一條特定的積分曲線就是解確定一條特定的積分曲線就是解微分方程的初值問題。微分方程的初值問題。xyy第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法1 引言引言 00( , )()dyf x ydxy xy 能夠確定通解中某一定值的條件叫定解條件，常見的定解條件為初能夠確定通解中某一定值的條件叫定解條件，常見的定解條件為初值條件，滿足初值條件的特解，成為積分的初值問題。表示為：值條件，滿足初值條件的特解，成為積分的初值問題。表示為：第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法,.)2 , 1 , 0()( nyxynn 微分方程的解析解是指解出微分

3、方程的解析解是指解出y (x)，即：要解出，即：要解出所有所有x點上的準(zhǔn)確函數(shù)值點上的準(zhǔn)確函數(shù)值y (x)。 方程的數(shù)值解是指通過某種方法去獲得解析解方程的數(shù)值解是指通過某種方法去獲得解析解y (x)在點在點xi上的近似值上的近似值yi，即用，即用yi近似代替近似代替y (xi) ，表，表示為：示為：第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法2 歐拉法和改進(jìn)的歐拉法歐拉法和改進(jìn)的歐拉法 2.1 歐拉法歐拉法(折線法折線法) 若將函數(shù)若將函數(shù)y(x)在點在點xi處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)y (xi)用差商來表示，用差商來表示，即即111()()()()()iiiiiiiy xy xy

4、xxxy xy xh第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法用用yi近似地代替近似地代替y (xi)，則：，則：00( , )()dyf x ydxy xy100( ,)()0,1,2,iiiiyyhf x yyy xi歐拉公式有很明顯的幾何意義。歐拉公式有很明顯的幾何意義。1()( )( )iiiy xy xy xh就是歐拉公式就是歐拉公式 第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法例例 用歐拉法求初值問題用歐拉法求初值問題2(0)0yxyy的數(shù)值解的數(shù)值解(取取h=0.1)。2100.1 ()0,0,1,2,iiiiyyxyyi2( , )(0)0

5、,0.1f x yxyyh由歐拉計算公式有：由歐拉計算公式有：解解 因為因為11( ,) ()iiiiiiyyfx yxx第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法 歐拉法雖然形式簡單，計算方便，但比較粗糙，精歐拉法雖然形式簡單，計算方便，但比較粗糙，精度也低。特別當(dāng)度也低。特別當(dāng)y=y(x)的曲線曲率較大時，歐拉法的效果的曲線曲率較大時，歐拉法的效果更差。更差。 改進(jìn)的歐拉法：改進(jìn)的歐拉法： 將在一點將在一點(xi，yi)的切線斜率的切線斜率f (xi，yi)用兩個點的平均用兩個點的平均斜率來代替，即斜率來代替

6、，即 111( ,) ( ,)(,)2iiiiiif x yf x yf xy2.2 改進(jìn)的歐拉法改進(jìn)的歐拉法第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法改進(jìn)的歐拉公式：改進(jìn)的歐拉公式：11100 ( ,)(,)2()iiiiiihyyf x yf xyy xy100( ,)()0,1,2,iiiiyyhf x yyy xi隱式隱式第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法(0)100(1)( )111( ,)() ( ,)(,)20,1,2,iiiikkiiiiiiyyhf x yyy xhyyf x yf xyk用迭代法求解改進(jìn)的歐拉公式。用迭代法求解

7、改進(jìn)的歐拉公式。具體做法是：先用歐拉公式求出一個具體做法是：先用歐拉公式求出一個 作為初始近似值，作為初始近似值，再用改進(jìn)的歐拉公式進(jìn)行迭代求解，即：再用改進(jìn)的歐拉公式進(jìn)行迭代求解，即：(0)1iy第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法改進(jìn)的歐拉公式在實際計算時需多次迭代，計算量較大。改進(jìn)的歐拉公式在實際計算時需多次迭代，計算量較大。預(yù)估校正法：就是先算出預(yù)估校正法：就是先算出yi+1的預(yù)估值的預(yù)估值y(p)i+1，然，然后再用式進(jìn)行一次迭代得到校正值后再用式進(jìn)行一次迭代得到校正值y(c)i+1，即：，即：( )1( )( )111( ,) ( ,)(,)2piiiic

8、piiiiiiyyhf x yhyyf x yf xy預(yù)估：預(yù)估： 校正：校正： 取取( )11ciiyy2.3 預(yù)估校正法預(yù)估校正法第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法 每迭代一次，都因進(jìn)行了預(yù)先估計，使得精度有較大的每迭代一次，都因進(jìn)行了預(yù)先估計，使得精度有較大的提高。提高。 在實際計算時，對預(yù)估校正法時常作下列變換：在實際計算時，對預(yù)估校正法時常作下列變換： 121112( ,)(,)()20,1,2,iiiiiikf x ykf xh yhkhyykki()1( )()111( ,) ( ,)(,)2piiiicpiiiiiiyyhf x yhyyf x yf

9、 xyk1k2第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法3 龍格庫塔法龍格庫塔法 12111 122( ,)(,)()(0,1,2,.)iiiiiikf x ykf xh yhkyyhkki12適當(dāng)選擇參數(shù)， ， ，可使精度提高121112( ,)(,)()20,1,2,iiiiiikf x ykf xh yhkhyykki進(jìn)一步對預(yù)估校正法進(jìn)行擴展：進(jìn)一步對預(yù)估校正法進(jìn)行擴展：第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法)(),(),(),(),()(),(),(),(),(:Taylor22112hOyxfyxfyxfhyxfhOyxfhkyxf hy

10、xfhkyhxfkiiyiiiixiiiiyiixiiii展開式由二元函數(shù))(),(),(),(),()()(3222211hOyxfyxfyxfhyxhfxyyiiyiiiixiiii于是第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法利用泰勒級數(shù)展開求2311222( ) ()( ,)( ,)( ,)( ,)()iiiixiiiiyiiyy xhf x yhf x yf x y f x yO h23123()( )( )( )()2( )( , ( )( , ( )( , ( )( , ( )()2iiiiiiixiiiiyiihy xy xhy xyxO hhy xhf x

11、 y xfx y xf x y xfx y xO h1()iy x第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法一。自由參數(shù)，即解答不唯程，因此有一個由于四個參數(shù)，三個方展式相比較得與21211:Taylor2221第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法1212111211(1),1,22( ,)(,)()2Euleriiiiiikf x ykf xh yhkhyykk取可得此時算式為這是改進(jìn)的方法。第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法12121121(2)0,1,2( ,)1h(,)22R-K.iiiiiikf x ykf x

12、h ykyyhk取可得此時算式為這是二階方法第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法12121112132(3),443( ,)22(,)333)4R-Kiiiiiikf x ykf xh yhkhyykk取可得又有算式（這也是二階方法。第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法第第1章章 誤差誤差1 計算方法的概念、意義及特點計算方法的概念、意義及特點2 誤差誤差3 算術(shù)運算結(jié)果的誤差算術(shù)運算結(jié)果的誤差4 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性誤差定義、種類、絕對誤差、誤差定義、種類、絕對誤差、相對誤差、誤差限、有效數(shù)字、相對誤差、誤差限、有效數(shù)字、兩者關(guān)

13、系兩者關(guān)系避免方法和注意事項避免方法和注意事項第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法第2章 一元線性方程的解法1 二分法二分法2 迭代法迭代法3 切線法切線法(牛頓法牛頓法)4 弦截法弦截法5 加速迭代法加速迭代法停止條件、二分次數(shù)等停止條件、二分次數(shù)等求根步驟求根步驟收斂條件：李普希茨條件、迭代函數(shù)導(dǎo)數(shù)小于收斂條件：李普希茨條件、迭代函數(shù)導(dǎo)數(shù)小于1第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法第第3章章 線性代數(shù)計算方法線性代數(shù)計算方法 1 高斯消去法高斯消去法 4 矩陣的三角分解矩陣的三角分解7 迭代法的收斂性迭代法的收斂性8 矩陣的特征值與特征向量

14、的計算矩陣的特征值與特征向量的計算2 高斯高斯約當(dāng)消去法約當(dāng)消去法6 迭代法迭代法 消去過程、上三角、下三角、消去過程、上三角、下三角、列主元、全主元列主元、全主元LU分解、杜利特爾分解、分解、杜利特爾分解、克勞特分解克勞特分解雅可比（雅可比（Jacobi）迭代、賽德爾（）迭代、賽德爾（Seidel）迭代）迭代范數(shù)定義、迭代收斂條件范數(shù)定義、迭代收斂條件乘冪法乘冪法*第第6 6章章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 計算方法第第4章章 插值法插值法 1 插值問題插值問題2 線性插值與二次插值線性插值與二次插值3 代數(shù)多項式插值的存在唯一性代數(shù)多項式插值的存在唯一性4 代數(shù)多項式的余項代數(shù)多項式的余項5 拉格朗日插值多項式拉格朗