向量減法運算及其幾何意義doc

1、2.2.2 向量減法運算及其幾何意義一、教學(xué)分析 向量減法運算是加法的逆運算.學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算.因此,類比數(shù)的減法(減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)),首先引進(jìn)相反向量的概念,然后引入向量的減法(減去一個向量,等于加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結(jié)合一定數(shù)量的例題,深刻理解向量的減法運算.通過闡述向量的減法運算,可以轉(zhuǎn)化為向量加法運算,滲透化歸的數(shù)學(xué)思想,使學(xué)生理解事物之間的相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辨證思想,同時由于向量的運算能反映出一些物理規(guī)律,從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系,提高學(xué)生的應(yīng)用意識.二、教學(xué)目

2、標(biāo)：1、知識與技能：了解相反向量的概念；掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義。2、過程與方法：通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量減法運算及其幾何意義，并會用它們進(jìn)行向量計算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法。3、情感態(tài)度與價值觀：通過闡述向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想。三、重點難點教學(xué)重點:向量的減法運算及其幾何意義.教學(xué)難點:對向量減法定義的理解.四、學(xué)法指導(dǎo)減法運算是加法運算的逆運算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量。五、教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課 思路1.(問題導(dǎo)入

3、)上節(jié)課,我們定義了向量的加法概念,并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運算自然聯(lián)想到向量的減法運算:減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).向量的減法是否也有類似的法則呢?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究,由此展開新課. 思路2.(直接導(dǎo)入)數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算.本節(jié)課,我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運算減法.引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn).（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題向量是否有減法？向量進(jìn)行減法運算,必須先引進(jìn)一個什么樣的新概念？如何理解向量的減法？向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則？ 活動:數(shù)的減法運算是數(shù)的加法運算的逆運算,數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上

4、這個數(shù)的相反數(shù),因此定義數(shù)的減法運算,必須先引進(jìn)一個相反數(shù)的概念.類似地,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算.可類比數(shù)的減法運算,我們定義向量的減法運算,也應(yīng)引進(jìn)一個新的概念,這個概念又該如何定義?引導(dǎo)學(xué)生思考,相反向量有哪些性質(zhì)?由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.于是-(-a)=a.我們規(guī)定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則圖1如圖1,設(shè)向量=b,=a,則=-b,由向量減法的定義,知=a+(-b)=a-b

5、.又b+=a,所以=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則如圖2,已知a、b,在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,則=a-b,即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結(jié)果:向量也有減法運算.定義向量減法運算之前,應(yīng)先引進(jìn)相反向量.與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似,我們規(guī)定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.向量減法的定義.我們定義a-b=a+(-b),即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.規(guī)定:零向量的相反向量是零向量.向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運算的幾何意義所在,是數(shù)形結(jié)合思想的重要

6、體現(xiàn).提出問題上圖中,如果從a的終點到b的終點作向量,那么所得向量是什么?改變上圖中向量a、b的方向使ab,怎樣作出a-b呢?討論結(jié)果:=b-a.略.（三）應(yīng)用示例如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.圖3 活動:教師讓學(xué)生親自動手操作,引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作,為以后解題打下良好基礎(chǔ);點撥學(xué)生根據(jù)向量減法的三角形法則,需要選點平移作出兩個同起點的向量.作法:如圖3(2),在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,=c,=d.則=a-b,=c-d.變式訓(xùn)練 (2006上海高考) 在ABCD中,下列結(jié)論中錯誤的是( )A.= B.AD+= C.-AD=BD D.AD+=0分析:A顯然

7、正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,-=錯誤,D中,+=+=0正確.答案:C例2 如圖4,ABCD中, =a,=b,你能用a、b表示向量、嗎?圖4 活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎(chǔ).要多注意這方面的訓(xùn)練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道=a+b,同樣,由向量的減法,知=-=a-b.變式訓(xùn)練1.(2005高考模擬) 已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,則向量等于( )A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c圖5解析:如圖5,點O到平行

8、四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,結(jié)合圖形有=+=+=+-=a-b+c.答案:B2.若=a+b,=a-b.當(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b與a-b垂直？當(dāng)a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|？當(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b平分a與b所夾的角 ？a+b與a-b可能是相等向量嗎？圖6解析:如圖6,用向量構(gòu)建平行四邊形,其中向量、恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得=a+b,=-=a-b.由此問題就可轉(zhuǎn)換為:當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線平分

9、內(nèi)角？(a、b相等)a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因為對角線方向不同) 點評:靈活的構(gòu)想,獨特巧妙,數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn).由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形,轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,這就是數(shù)形結(jié)合解題的威力與魅力,教師引導(dǎo)學(xué)生注意領(lǐng)悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)ABC中,必有+=0.(3)若+=0,則A、B、C三點是一個三角形的三頂點.(4)|a+b|a-b|.活動:根據(jù)向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,

10、則有可能a與b互為相反向量,此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則+=,與CA是互為相反向量,所以有上述結(jié)論.(3)因為當(dāng)A、B、C三點共線時也有+=0,而此時構(gòu)不成三角形.(4)當(dāng)a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.當(dāng)a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|>|a-b|,異向則有|a+b|<|a-b|;當(dāng)a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|=8,|=5,則|的取值范圍是( )A.3,8 B.(3,8) C.3,13 D.(3,13)解析:=-.(1)當(dāng)、同向時,|=8-5=3;(2)當(dāng)、反向時,|=8+5=13;(3)當(dāng)、不共線時,3<|<13.綜上,可知3|13.答案:C點評:此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì)|a|-|b|a+b|a|+|b|求解.變式訓(xùn)練 已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a0,b0,c0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作=a,=b,則由假設(shè)=c,另一方面a+b=+=.由于與是一對相反向量,有+=0,故有a+b+c=0.(2)充分性:作