定積分與微積分基本定理

1、東北師大附中20112012學年高三數(shù)學（理科）第一輪復(fù)習導(dǎo)學案016定積分與微積分基本定理 編寫教師：馮維麗 審稿教師：高長玉一、知識梳理 （請閱讀教材選修2-2第3867頁后再完成本學案）1. 定積分概念一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上任取一點，作和式：，如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限接近某個常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分. 記為：其中叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，區(qū)間叫做積分區(qū)間，積分上限，積分下限，叫做被積式.2定積分的幾何意義 從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線，（），和曲線所圍成的

2、曲邊梯形的面積（如右圖）.說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線，之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積取負號 3定積分性質(zhì)（1）； （定積分的線性性質(zhì)）（2） （定積分的線性性質(zhì)）（3） （定積分對積分區(qū)間的可加性）4微積分基本定理一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么 .這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茲公式.（1）為了方便起見，還常用表示，即.（2）微積分基本定理表明，計算定積分的關(guān)鍵是找到滿足的函數(shù)，通常我們可以運用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則從反方向上求出.5常見求定積分的公式（1）（2）（C為常數(shù)）（3）（

3、4）（5）（6）（7）6. 幾種典型的曲邊梯形面積的計算方法（1）由三條直線、（）、軸，一條曲線所圍成的曲邊梯形的面積：；（2）由三條直線、（）、軸，一條曲線所圍成的曲邊梯形的面積：；（3）由兩條直線、（）、兩條曲線、所圍成的曲邊梯形的面積：.二、題型探究探究一：定積分的計算題型計算常見函數(shù)的定積分例1 計算下列定積分：（1）；（2）；（3）.分析：對于（1）、（2），根據(jù)微積分基本定理，須由求導(dǎo)公式找出導(dǎo)數(shù)為，的函數(shù)，這就要求對基本求導(dǎo)公式非常熟悉. 對于（3），我們要直接求的原函數(shù)比較困難，但我們可以將先變式化為，再求積分，利用上述公式就較容易求得結(jié)果，方法簡便易行.解：（1），且，.（2

4、），.（3） .點評：簡單的定積分計算只需熟記公式即可；較復(fù)雜函數(shù)的積分，往往難以直接找到原函數(shù)，常常需先化簡、變式、換元變成基本初等函數(shù)的四則運算后，再求定積分.例2 已知，求函數(shù)的最小值. 分析：這里函數(shù)、都是以積分形式給出的，我們可以先用牛頓萊布尼茲公式求出與，再求出的最小值.解： ， ，當時，.點評：這是一道把積分上限函數(shù)、二次函數(shù)最值、參數(shù)混合在一起的綜合題，重點是要分清各變量關(guān)系. 積分、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值、解析式交匯出題是近幾年高考命題熱點，把它們之間的相互關(guān)系弄清是我們解此類問題的關(guān)鍵.題型計算分段函數(shù)定積分例3 求.解：首先是通過絕對值表示的分段函數(shù)，同時又是函數(shù)復(fù)合函數(shù)

5、與的運算式，所以我們在計算時必須先把積分區(qū)間分段，再換元積分或湊變量完成.解：，.，.點評：若被積函數(shù)含絕對值，往往化成分段函數(shù)分段積分，注意本題中，這實際是一種湊變量的思想，復(fù)合函數(shù)的積分通常可以湊變量完成，也可以換元完成.探究二：定積分的應(yīng)用題型求平面區(qū)域的面積例4 求在上，由軸及正弦曲線圍成的圖形的面積.分析：因為在上，其圖象在軸上方；在上，其圖象在軸下方，此時定積分為圖形面積的相反數(shù)，應(yīng)加絕對值才表示面積.解xy0p2p：作出在上的圖象如右，與軸交于0、，所求面積.點評：利用定積分求平面圖形的面積的步驟如下：第一步：畫出圖形，確定圖形范圍；第二步：解方程組求出圖形交點坐標，確定積分上、

6、下限；第三步：確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置；第四步：計算定積分，求出平面圖形面積.題型定積分在物理方面的應(yīng)用例5 汽車以的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等減速度剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少公里？分析：汽車剎車過程是一個減速運動過程，我們可以利用定積分算出汽車在這個過程中所走過的路程，計算之前應(yīng)先算出這一過程所耗費的時間和減速運動變化式.解：由題意，令得，即5秒時，汽車停車.所以汽車由剎車到停車所行駛的路程為公里.答：汽車走了0.0375公里.tvaboV=v(t)點評：若作變速直線運動的物體的速度關(guān)于時間的函數(shù)為，由定積分的物理意義可知，作變速運動物體在時間內(nèi)的

7、路程s是曲邊梯形（陰影部分）的面積，即路程；如果時，則路程.三、方法提升1. 用定義求定積分的一般方法：（1）分割：等分區(qū)間；（2）近似代替：取點；（3）求和：；（4）取極限：.2. 定積分的幾何意義、物理意義；3. 利用微積分基本定理求定積分；4. 變速直線運動問題：若作變速直線運動的物體的速度關(guān)于時間的函數(shù)為，由定積分的物理意義可知，作變速運動物體在時間內(nèi)的路程s是曲邊梯形（陰影部分）的面積，即路程；如果時，則路程；5. 變力做功問題：物體在變力的作用下，沿與力相同方向從到所作的功為.四、反思感悟 五、課時作業(yè)（一）選擇題（1）設(shè)，則（C）（A） （B） （C） （D）不存在解：.（2）已

8、知為偶函數(shù)且，則等于（D）（A）0 （B）4 （C）8 （D）16解：原式，原函數(shù)為偶函數(shù)，在軸兩側(cè)的圖象對稱，對應(yīng)的面積相等，即. （3）計算的結(jié)果是（A） （B） （C） （D）解：表示曲線與兩坐標軸圍成的陰影部分的面積，有圖知該面積為.（4）如圖，函數(shù) 與相交形成一個閉合圖形（圖中的陰影部分），則該閉合圖形的面積是（B）（A）1 （B） （C） （D）2解：函數(shù)與的兩個交點為和，所以閉合圖形的面積等于.（5）一質(zhì)點運動時速度與時間的關(guān)系為，質(zhì)點作直線運動，則此物體在時間內(nèi)的位移為（A）（A） （B） （C） （D）解：.（6）若的力能使彈簧伸長1cm，現(xiàn)在要使彈簧伸長10cm，則需要花費

9、的功為（B）（A）0.05J （B）0.5J （C）0.25 J （D）1J解：設(shè)力(k是比例系數(shù))，當時，可解得，則，所以W.（7）若，則y的最大值是（B）（A）1 （B）2 （C） （D）0解： .（8）若是一次函數(shù)，且，那么的值是（B）（A） （B） （C） （D）解：是一次函數(shù)，設(shè)，由，得， 由，得，即， 解得：，于是.（二）填空題（9） 解：原式（10）已知函數(shù)與的圖象所圍成的陰影部分(如圖所示)的面積為，則_.解：直線方程與拋物線方程聯(lián)立先求出積分區(qū)間為，再由 ，求得.（11）如圖，設(shè)點從原點沿曲線向點移動，記直線與曲線所圍成的面積、它們與直線所圍成的面積分別記為S1、S2，若S1

10、S2，則點的坐標為_解：設(shè)直線的方程為，點的坐標為，則=，即，所以，解得，即直線的方程為，所以點的坐標為（三）解答題（12）已知，若，求的值解：分和兩種情況討論：當時，整理得：，即，又，舍去當時，即或綜上所述，或（13）求曲線，及所圍成的平面圖形的面積.分析：圖形由兩部分構(gòu)成，第一部分在區(qū)間上，由，及圍成；第二部分在上，由與圍成，所以所求面積應(yīng)為兩部分面積之和.y=x2y=2xy解：作出，及的圖如右：B(2,4)解方程組，得或；A(1,1)y=x21xo解方程組，得或.所求面積 .答：此平面圖形的面積為.（14）設(shè)是二次函數(shù)，方程有兩個相等的實根，且.（）求的表達式；（）求的圖象與兩坐標軸所圍成的平面圖形的面積；（）若直線把的圖象與兩坐標軸所圍成的圖形的面積二等分，求的值.解：（）設(shè)，則.已知，.又方程有兩個相等實根，判別式，即.故.（）依題意，所求面積.（）依題意