抽象代數(shù)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)題

1、群論復(fù)習(xí)題1. 證明: 關(guān)于矩陣的加法構(gòu)成一個群.2.令,證明:關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個群.證明 將記作,并將中其余三個矩陣分別記作.于是,上的乘法表如下:·EABCEEABCAAECBBBCEACCBAE由于矩陣的乘法適合結(jié)合律,上的乘法適合結(jié)合律.從乘法表可知,.所以關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個群.3. 在整數(shù)集中,令,.證明:關(guān)于這樣的乘法構(gòu)成一個群.4.在中,令,.求和.5.令.證明關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個半群.6設(shè)是一個群,證明:,.7.設(shè)是一個群,證明:是交換群的充要條件是,.8 設(shè)是一個群.假設(shè)對于任意的都有,證明:是交換群.9. 設(shè)是數(shù)域上的級一般線性群,是的由全體階可逆的對角

2、矩陣組成的子集,證明:是的子群.10.設(shè)是群的子群,證明:也是的子群(稱為的一個共軛子群).11.設(shè)是交換群,為整數(shù),令,證明:是的子群.12.設(shè)是交換群,證明:的所有階為有限的元素構(gòu)成的集合是的子群.13.設(shè)是群,證明:與具有相同的階.14.設(shè)是群,.假設(shè)的階與的階互素,證明:.15.設(shè)是一個群,都是的子群.假設(shè)不包含于且不包含于,證明: 不是的子群.16.設(shè)是一個群,是的一個子群鏈,證明:是的子群.17.證明:循環(huán)群是交換群.證明 設(shè)是一個循環(huán)群.于是,(參看課本第12頁倒數(shù)第4行).眾所周知,.所以是交換群.18.設(shè)是無限循環(huán)群,證明:有且僅有兩個生成元.證明 由于是無限循環(huán)群,不妨設(shè)是

3、的一個生成元.于是,也是的一個生成元,并且.這就是說,有兩個不同的生成元.其次,假設(shè)是的任意一個生成元.由于,因此存在,使得.由于且,因此存在,使得.由此可見,即或.所以有且僅有兩個生成元.19.證明:循環(huán)群的商群也是循環(huán)群.20.設(shè)是群,是的一族正規(guī)子群,證明:也是的正規(guī)子群.21.設(shè),是群的正規(guī)子群且,證明:對于任意的,都有.22.設(shè)是群的子群且,證明:是的正規(guī)子群.23.設(shè)是群的有限子群,.假設(shè)只有一個階為的子群,證明:是的正規(guī)子群.24.設(shè)是群,和是的子群,(1)證明:是的子群.(2)假設(shè)是的正規(guī)子群,證明:是的子群.(3)假設(shè)和都是的正規(guī)子群,證明:是的正規(guī)子群.25.設(shè)是群,和是的子群且,若有限，求證也有限，且26.設(shè)是群到群的同構(gòu),是群到群的同構(gòu),證明:是群到群的同構(gòu);是群到群的同構(gòu).27.設(shè)是群的子群,是的共軛子群,證明:與同構(gòu).28.分別建立到和到的同態(tài)來證明定理6.11.注 定理6.11的內(nèi)容如下:設(shè)是一個群,是的正規(guī)子群.(1)若是的子群,則;(2)若是的正規(guī)子群且,則