拉格朗日插值法

1、5.2拉格朗日（Lagrange）插值可對插值函數(shù)選擇多種不同的函數(shù)類型，由于代數(shù)多項(xiàng)式具有簡單和一些良好的特性，例如，多項(xiàng)式是無窮光滑的，容易計(jì)算它的導(dǎo)數(shù)和積分，故常選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)。5.2.1 線性插值問題5.1 給定兩個(gè)插值點(diǎn)其中，怎樣做通過這兩點(diǎn)的一次插值函數(shù)？過兩點(diǎn)作一條直線，這條直線就是通過這兩點(diǎn)的一次多項(xiàng)式插值函數(shù)，簡稱線性插值。如圖5.1所示。圖5.1 線性插值函數(shù)在初等數(shù)學(xué)中，可用兩點(diǎn)式、點(diǎn)斜式或截距式構(gòu)造通過兩點(diǎn)的一條直線。下面先用待定系數(shù)法構(gòu)造插值直線。設(shè)直線方程為，將分別代入直線方程得：當(dāng)時(shí)，因，所以方程組有解，而且解是唯一的。這也表明，平面上兩個(gè)點(diǎn)，有且僅有

2、一條直線通過。用待定系數(shù)法構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法簡單直觀，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一個(gè)方程組才能得到插值函數(shù)的系數(shù)，因工作量較大和不便向高階推廣，故這種構(gòu)造方法通常不宜采用。當(dāng)時(shí)，若用兩點(diǎn)式表示這條直線，則有： （5.1）這種形式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式。，稱為插值基函數(shù)，計(jì)算，的值，易見 （5.2）在拉格朗日插值多項(xiàng)式中可將看做兩條直線，的疊加，并可看到兩個(gè)插值點(diǎn)的作用和地位都是平等的。拉格朗日插值多項(xiàng)式型式免除了解方程組的計(jì)算，易于向高次插值多項(xiàng)式型式推廣。線性插值誤差定理5.1 記為以為插值點(diǎn)的插值函數(shù)，。這里，設(shè) 一階連續(xù)可導(dǎo)， 在上存在，則對任意給定的，至少存在一點(diǎn) ，使 （5

3、.3）證明令，因是的根，所以可設(shè)對任何一個(gè)固定的點(diǎn)，引進(jìn)輔助函數(shù)：則。由定義可得，這樣至少有3個(gè)零點(diǎn)，不失一般性，假定，分別在和上應(yīng)用洛爾定理，可知在每個(gè)區(qū)間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，不妨記為和，即和，對在上應(yīng)用洛爾定理，得到在上至少有一個(gè)零點(diǎn)，?，F(xiàn)在對求二次導(dǎo)數(shù)，其中的線性函數(shù))，故有代入，得 所以 即 5.2.2 二次插值問題5.2 給定三個(gè)插值點(diǎn) ，,其中互不相等，怎樣構(gòu)造函數(shù)的二次的（拋物線）插值多項(xiàng)式？平面上的三個(gè)點(diǎn)能確定一條次曲線，如圖5.2所示。圖5.2 三個(gè)插值點(diǎn)的二次插值仿造線性插值的拉格朗日插值，即用插值基函數(shù)的方法構(gòu)造插值多項(xiàng)式。設(shè) 每個(gè)基函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，對來說，要求是它的零

4、點(diǎn)，因此可設(shè)同理，也相對應(yīng)的形式，得將代入，得同理將代入得到和的值，以及和的表達(dá)式。 也容易驗(yàn)證：插值基函數(shù)仍然滿足：二次插值函數(shù)誤差：上式證明完全類似于線性插值誤差的證明，故省略。插值作為函數(shù)逼近方法，常用來作函數(shù)的近似計(jì)算。當(dāng)計(jì)算點(diǎn)落在插值點(diǎn)區(qū)間之內(nèi)時(shí)叫做內(nèi)插，否則叫做外插。內(nèi)插的效果一般優(yōu)于外插。例5.1 給定。構(gòu)造線性插值函數(shù)并用插值函數(shù)計(jì)算和解：構(gòu)造線性插值函數(shù)：分別將代入上式，得，準(zhǔn)確值，準(zhǔn)確值例5.2 給定。構(gòu)造二次插值函數(shù)并計(jì)算。解：，準(zhǔn)確值例5.3 要制做三角函數(shù)的函數(shù) 值表，已知表值有四位小數(shù)，要求用線性插值引起的截?cái)嗾`差不超過表值的舍入誤差，試決定其最大允許步長。解：設(shè)最

5、大允許步長5.2.3 次拉格朗日插值多項(xiàng)式問題5.3 給定平面上兩個(gè)互不相同的插值點(diǎn) ，有且僅有一條通過這兩點(diǎn)的直線；給定平面上三個(gè)互不相同的插值點(diǎn)，有且僅有一條通過這三個(gè)點(diǎn)的二次曲線；給定平面上個(gè)互不相同的插值點(diǎn)，互不相同是指互不相等，是否有且僅有一條不高于次的插值多項(xiàng)式曲線，如果曲線存在，那么如何簡單地作出這條次插值多項(xiàng)式曲線？分析：次多項(xiàng)式，它完全由個(gè)系數(shù)決定。若曲線通過給定平面上個(gè)互不相同的插值點(diǎn)，則應(yīng)滿足，事實(shí)上一個(gè)插值點(diǎn)就是一個(gè)插值條件。將依次代入中得到線性方程組： （5.4）方程組的系數(shù)行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式：當(dāng)互異時(shí)，所以方程組（5.4）的解存在且惟一。

6、即問題5.3的解存在而且惟一。通過求解（5.4）得到插值多項(xiàng)式 ，因其計(jì)算量太大而不可取，仿照線性以及二次插值多項(xiàng)式的拉格朗日形式，我們可構(gòu)造次拉格朗日插值多項(xiàng)式。對于個(gè)互不相同的插值節(jié)點(diǎn)，由次插值多項(xiàng)式的惟一性，可對每個(gè)插值節(jié)點(diǎn)作出相應(yīng)的次插值基函數(shù)。要求是，的零點(diǎn)，因此可設(shè)由將代入，得到（5.5）作其組合： （5.6）那么不高于次且滿足，故就是關(guān)于插值點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，這種插值形式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式。稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的拉格朗日基函數(shù)。例5.4 給出下列插值節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，做三次拉格朗日插值多項(xiàng)式，并計(jì)算（0.6）。-2.000.001.002.0017.001.002.0017.00解：拉格朗日插

7、值基函數(shù)為：三次拉格朗日插值多項(xiàng)式： n次插值多項(xiàng)式的誤差定理5.2 設(shè)是上過的次插值多項(xiàng)式，互不相等，當(dāng)時(shí)，則插值多項(xiàng)式的誤差： 其中(5.7)證明*：記。由于，因而是的根，于是可設(shè)下面的目標(biāo)是算出，為此引入變量為的函數(shù)： （5.8）令，得令，由定義即至少有個(gè)零點(diǎn)，由于，由洛爾定理，在相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)零點(diǎn)，即至少有個(gè)零點(diǎn)。同理再對應(yīng)用洛爾定理，即至少有個(gè)零點(diǎn)，反復(fù)應(yīng)用洛爾定理得到至少有一個(gè)零點(diǎn)。另一方面，對求階導(dǎo)數(shù)，有令，有 得到 （5.9）由于的零點(diǎn)與的零點(diǎn)有關(guān)，因而為的函數(shù)。若|可表示為 （5.10）由（5.9）式可以看到，當(dāng) 是不高于次的多項(xiàng)式時(shí)，即。對于函數(shù)，關(guān)于節(jié)點(diǎn)的拉

8、格朗日插值多項(xiàng)式就是其本身，故拉格朗日基函數(shù)滿足令，得到。定理5.2給出了當(dāng)被插函數(shù)充分光滑時(shí)的插值誤差或稱插值余項(xiàng)表達(dá)式，但是，在實(shí)際計(jì)算中，并不知道的具體表示，難以得到的形式或較精確的界限，因此也難以得到界。在實(shí)際計(jì)算中，可對誤差運(yùn)用下面的事后估計(jì)方法。給出個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，任選其中的個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，不妨取，構(gòu)造一個(gè)次插值多項(xiàng)式，記為。在個(gè)插值節(jié)點(diǎn)中另選個(gè)插值點(diǎn)，不妨取，構(gòu)造一個(gè)次插值多項(xiàng)式，記為。由定理2可得到 （5.11） （5.12）設(shè)在插值區(qū)間內(nèi)連續(xù)而且變化不大，有，則從而可得到 （5.13） （5.14）拉格朗日插值多項(xiàng)式的算法下面用偽碼描述拉格朗日插值多項(xiàng)式的算法。1：輸入：插值節(jié)點(diǎn)控制數(shù)，插