微分方程的基本概念（教案）

1、9.1微分方程的基本概念教學(xué)目的通過本次課的教學(xué)使學(xué)生理解并掌握微分方程的概念，即什么是微分方程、微分方程的階、微分方程的解、微分方程的通解、微分方程的特解、初始條件等.教學(xué)重點(diǎn)微分方程的概念教學(xué)難點(diǎn)微分方程概念的建立教學(xué)過程1. 導(dǎo)入新課函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映，利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究因此如何尋求函數(shù)關(guān)系，在實(shí)踐中具有重要意義但是在許多問題中，不能直接找到所需的函數(shù)關(guān)系，卻可根據(jù)問題所提供的情況，列出含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式，這樣的關(guān)系式稱為微分方程.下面我們通過具體例題來說明微分方程的基本概念例1 求過（1，2）點(diǎn)，且在曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率

2、等于的曲線方程.解 設(shè)所求曲線的方程為.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有或 （1）由于曲線過點(diǎn)（1，2），因此未知函數(shù)還須滿足條件 （2）對(duì)（1）式兩端積分，得 （為任意常數(shù)） （3）把（2）式代入（3）式，得.所以，所求曲線的方程為 上例中的方程(1)含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）.對(duì)于這類方程，給出下面的定義2.講授新課2.1微分方程的定義定義1 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階.因此，方程（1）是微分方程.又如，方程 （4） （5） （6） （7）等都是微分方程.并且方程（1）、（4）、（5）是一階微分方程，（6）是二階微分方程，（

3、7）是四階微分方程.在微分方程中，可以不含有自變量或未知函數(shù)，但必須含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，方程兩端恒等，則此函數(shù)稱為微分方程的解.從微分方程確定未知函數(shù)的過程就是解微分方程.2.2微分方程的通解、特解定義.2 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，則這樣的解叫做微分方程的通解在通解中任意常數(shù)被確定后的解稱為微分方程的特解.例如，在例1中的函數(shù)（為任意常數(shù)）和都是微分方程(1)的解.其中（為任意常數(shù)）是方程(1)的通解，是方程(1)的特解.我們將確定通解中任意常數(shù)的附加條件稱為初始條件（如例(1)中的）例2 驗(yàn)證：函數(shù)是方程

4、的解.解 分別求函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)得，將代入原方程的左邊，有，即函數(shù)滿足原方程，因此該函數(shù)是所給二階微分方程的解.例3 驗(yàn)證方程 的通解為（為任意常數(shù)），并求滿足初始條件的特解.解 由得，將、代入原方程的左邊，有，所以函數(shù)滿足原方程，又因?yàn)樵摵瘮?shù)含有一個(gè)任意常數(shù)，所以函數(shù)是一階微分方程的通解.將初始條件代入通解，得，因此，所求特解為.3.小結(jié)(1) 微分方程、微分方程的階：凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階(2) 微分方程的解、通解、特解：如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，方程兩端恒等，則此函數(shù)稱為微分方程的解.如果微分方程的解中含

5、有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，則這樣的解叫做微分方程的通解在通解中任意常數(shù)被確定后的解稱為微分方程的特解.4.布置習(xí)題(略)9.2可分離變量的微分方程(一)教學(xué)目的通過本次課的教學(xué)使學(xué)生識(shí)別可分離變量的微分方程，掌握可分離變量的微分方程的解法 教學(xué)重點(diǎn)可分離變量的微分方程的解法教學(xué)難點(diǎn)分離變量教學(xué)過程1.復(fù)習(xí)1.1微分方程、微分方程的階(略)1.2微分方程的解、通解、特解(略)1.3作業(yè)中的問題(略)2.講授新課可分離變量的微分方程形如 的方程()，可變形為，稱為可分離變量的微分方程.通常我們采用兩邊積分的方法求解.具體求解步驟如下：(1)分離變量 ；(2)兩邊積分

6、；(3)求出積分得通解 ，設(shè)和依次是和的一個(gè)原函數(shù).例1 求微分方程的通解.解 此方程是可分離變量的微分方程，分離變量得 ，兩邊積分，得 ，從而其通解為 .例2 求微分方程的通解.解 分離變量，得 ，兩端積分，得 ，即其通解為 （=是任意常數(shù)）.例3 試求微分方程滿足初始條件的特解解 分離變量，得，兩邊積分，得，即其通解為 (是任意常數(shù)).將初始條件代入，得因此，所給方程的特解為3.小結(jié) 形如 的方程()，可變形為，稱為可分離變量的微分方程. 可分離變量的微分方程通常我們采用兩邊積分的方法求解.具體求解步驟如下：.分離變量 ；.兩邊積分 ；.求出積分得通解 ，設(shè)和依次是和的一個(gè)原函數(shù).4.布置

7、習(xí)題(略)9.2可分離變量的微分方程(二) 教學(xué)目的通過本次課的教學(xué)使學(xué)生識(shí)別齊次微分方程及一些常見的可化為可分離變量的微分方程.掌握可化為可分離變量的微分方程的解法.教學(xué)重點(diǎn)可化為可分離變量的微分方程的解法.教學(xué)難點(diǎn) 將方程化為可分離變量的微分方程.教學(xué)過程1.復(fù)習(xí)可分離變量的微分方程及其解法(略)1.2作業(yè)中的問題(略)2.講授新課2.1齊次方程形如的方程稱為齊次方程令代入原方程，得 于是將原方程化為可分離變量的微分方程求出方程(1)的通解后，再將代入即可例1 試求微分方程的通解.解 此方程為齊次方程，令，即，得，將代入原方程中得 ，即 兩邊積分，得， ()，將代入上式，得原方程的通解為(

8、2)其它類型例2 解方程解 作變換，令 ，則代入原方程，得 ，將它分離變量 ，兩邊積分，得 ，原方程的通解為 例3 解方程 解 作變換，令則代入原方程并化簡(jiǎn)后，得 兩邊積分，得 于是，原方程的隱式解為： 3.小結(jié)(1) 齊次方程及其解法(略)(2) 其它類型解法(略)4.布置習(xí)題(略)9.3一階線性微分方程教學(xué)目的通過本次課的教學(xué)使學(xué)生識(shí)別一階線性微分方程，理解線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，了解常數(shù)變易法這一線性方程的解法，會(huì)用公式或常數(shù)變易法解一階線性微分方程.教學(xué)重點(diǎn)一階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)及解法 教學(xué)難點(diǎn) 常數(shù)變易法教學(xué)過程1.復(fù)習(xí)1.1齊次方程及其解法(略)1.2作業(yè)中的問題(略)2.講授新課

9、一階線性微分方程定義 形如 ()的方程稱為一階線性微分方程，其中及為已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，方程()稱為一階齊次線性微分方程；當(dāng)時(shí)，方程(9.3.1)稱為一階非齊次線性微分方程先求一階齊次線性微分方程 ()的通解.由于方程（）是可分離變量的微分方程，分離變量后，得，兩邊積分，得 ，則一階齊次線性微分方程的通解為 .下面我們用“常數(shù)變易法”求方程()的通解(其中).將方程()的通解中的常數(shù)換成的未知函數(shù)，要求使得. (）是方程()的解.為此，把（9.3.3）代入方程(9.3.1)后得，即 ，兩邊積分，有 ，代入方程（）得一階非齊次線性微分方程的通解公式為 . ()上式也可寫成 右邊第一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的齊次線性微

10、分方程的通解，第二項(xiàng)是非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，這就得到一階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)如下： 一階非齊次線性微分方程的通解等于它的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解之和.公式()可直接使用來求一階非齊次線性微分方程的通解.例1 求一階線性微分方程的通解.解法一 使用“常數(shù)變易法”求解.所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 ，將方程分離變量，得 ，兩邊積分，得 ，即 或 記，得對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 （是任意常數(shù)）用常數(shù)變易法，設(shè)是非齊次方程的通解，代入原方程，得，即 ，所以 從而得到非齊次微分方程的通解 （是任意常數(shù)）.解法二 用通解公式求解.由于所給方程中，則通解為例2 求方程，滿足初值條件的特解