例談《等比數(shù)列》情境的創(chuàng)設(shè)

1、例談等比數(shù)列情境的創(chuàng)設(shè)西周中學(xué) 王仁亮現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是在頭腦中建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，是主體的一種自主行為。教師在教學(xué)活動(dòng)中就要注意展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想發(fā)展的脈絡(luò)，注重創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建構(gòu)的過程。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，全方位地參與，關(guān)鍵是思維上的參與。而思維上的參與要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化、數(shù)學(xué)技能的形成、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、思想、觀念的獲得等各個(gè)方面。教師的主導(dǎo)作用主要體現(xiàn)在引導(dǎo)學(xué)生思維的參與、問題情境的創(chuàng)設(shè)、非智力因素的激發(fā)等方面，這些已成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教研的重要課題。 本文就等比數(shù)列教學(xué)中的幾個(gè)片斷為例，談?wù)?/p>

2、通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)的一些做法和體會(huì)。 1、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。 興趣是最好的老師，興趣是學(xué)習(xí)的源泉，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，不僅能使學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，而且使他們會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)。 例1：等比數(shù)列求和公式的引入。 從故事入手：傳說，波斯國王第一次玩國際象棋就給深深地迷住了，他下令要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，并讓受獎(jiǎng)?wù)咦约禾岢霆?jiǎng)些什么。發(fā)明者指著國際象棋的棋盤對國王說，令人滿意的賞賜是在棋盤的第一格內(nèi)放上一粒麥子，在第二格內(nèi)放兩粒麥子，第三格內(nèi)放4粒，第四格內(nèi)放8米，按這樣的規(guī)律放滿64格棋盤格。國王反對說，這么一點(diǎn)點(diǎn)麥子算不上什么賞賜，但發(fā)明者認(rèn)為如此就足夠

3、了。結(jié)果是弄得國王傾盡國家財(cái)力還不夠支付。同學(xué)們，這幾粒麥子，怎能會(huì)讓國王賠上整個(gè)國家的財(cái)力？ 此問一出，立即引起學(xué)生的極大興趣，麥子多不多，關(guān)鍵就在于計(jì)算麥粒的總數(shù)。很明顯，這是一個(gè)以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列前64項(xiàng)和的問題，即如何計(jì)算1+2+22+263？ 教師通過創(chuàng)設(shè)這一問題情境，引起了學(xué)生的認(rèn)知與事實(shí)沖突，誘發(fā)了學(xué)生求知的熱情及濃厚的興趣，激發(fā)了思維的積極性，增強(qiáng)了再發(fā)現(xiàn)的內(nèi)驅(qū)力，而且對發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的求和公式起到自然的引導(dǎo)作用。 2、創(chuàng)設(shè)問題情境，提高合情推理能力。 波利亞認(rèn)為：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面。一個(gè)是歐幾里得式的科學(xué)的數(shù)學(xué)，用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)看來像一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但

4、在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！庇捎跀?shù)學(xué)教材是按照數(shù)學(xué)理論的邏輯體系來編寫的，而這種邏輯體系中的知識(shí)呈現(xiàn)順序與數(shù)學(xué)理論的真實(shí)發(fā)現(xiàn)過程往往是相反的（真實(shí)發(fā)現(xiàn)過程常常采用分析法，而邏輯體系則采用演繹法）。因此，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)教材順序所進(jìn)行的教學(xué)往往是“反思想過程”的活動(dòng)，過分強(qiáng)調(diào)邏輯推理，把數(shù)學(xué)當(dāng)成“邏輯推理”的一種形式來學(xué)習(xí)，而獲得數(shù)學(xué)理論時(shí)的那種直覺、試驗(yàn)、類比、歸納、猜想等等“合情推理”都被忽視了。這樣，學(xué)生感到數(shù)學(xué)是抽象的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是枯躁乏味的，學(xué)習(xí)過程中難以滿足成為探索者發(fā)現(xiàn)者的心理需求，逐步產(chǎn)生畏難情緒，喪失學(xué)習(xí)積極性。為此。數(shù)學(xué)教學(xué)就應(yīng)該努力貫徹邏輯推理

5、與合情推理能力的培養(yǎng)，才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)是生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)，是充滿激情的數(shù)學(xué)，是隱含理性美的數(shù)學(xué)！合情推理包括類比推理和歸納推理。類比推理是一種橫向思維，是借助于兩個(gè)系統(tǒng)在某些部分的一致性來推測另一部分上的一致性。歸納推理是從特殊事物的性質(zhì)推得一般對象的性質(zhì)，是一種縱向思維。正如法國著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉普拉斯所說：“即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！痹诮虒W(xué)中適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用合情推理的思想方法，進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)、解決問題，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)真理的樂趣，提高學(xué)習(xí)積極性。 2.1 創(chuàng)設(shè)類比性的問題情境 不同的事物，往往具有一些相同或者相似的屬性，數(shù)學(xué)也是如此。新知識(shí)的學(xué)習(xí)總是在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行

6、的，而新知識(shí)又是舊知識(shí)的自然延續(xù)或升華，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。以新舊知識(shí)類比的方法探索新知識(shí)，既較好地體現(xiàn)了知識(shí)的發(fā)生與遷移過程，又有利于學(xué)生“內(nèi)化”，便于將新知識(shí)納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使其得到充分發(fā)展。 例2：等比數(shù)列定義 筆者經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐和反思，認(rèn)為采用創(chuàng)設(shè)如下的類比性問題情境，引導(dǎo)學(xué)生再發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列定義，效果較好。 師：（在黑板上寫出以下3個(gè)等比數(shù)列）請同學(xué)們填空： 數(shù)列1：1，2，4，16，32。 數(shù)列2：1， 數(shù)列3：， 生：分別為8，。 師：請同學(xué)們根據(jù)上述各個(gè)數(shù)列的項(xiàng)的變化規(guī)律，結(jié)合以前的所學(xué)知識(shí)，給出這些數(shù)列一個(gè)統(tǒng)一的名稱。 生：等比數(shù)列（也有說：等商數(shù)列、等倍數(shù)列） 師：同學(xué)們說

7、得都很對，我們將這些數(shù)列的名稱統(tǒng)一約定為等比數(shù)列，這是我們今天要研究的內(nèi)容。請同學(xué)們思考，如何給等比數(shù)列下一個(gè)準(zhǔn)確定義？（“等倍”與“等比”有區(qū)別，這時(shí)不作分辨） 生：（議論）與等差數(shù)列相似，從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)。 師：很好。（板書等比數(shù)列定義）等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上有很多相似之處，這使我們想起有這樣的數(shù)列，它既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列？如果有，它的一般形式是什么？ 生：有。如2，2，2，一般形式是，。 師：反過來，形如，的數(shù)列一定既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列嗎？ 生：（議論）當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列。 師：對。（強(qiáng)調(diào)）在等比數(shù)列中，那么公比的值是否

8、有限制？ 生：。 師：對。（強(qiáng)調(diào)）等比數(shù)列中的公比。我們在使用等比數(shù)列定義時(shí)，往往需要符號(hào)化、等式化。如何用符號(hào)語言，寫成等式的形式簡潔地表示它？ 生：（也有說）。 師：都很好。根據(jù)我們學(xué)習(xí)等差數(shù)列的經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)等式可起什么作用？ 生：判斷是否等比數(shù)列。 等比數(shù)列通項(xiàng)公式的發(fā)現(xiàn)及證明，同樣可采用這種方法進(jìn)行教學(xué)。實(shí)際上適合于創(chuàng)設(shè)類比性的問題情境進(jìn)行教學(xué)的內(nèi)容很多。例如正切函數(shù)圖象性質(zhì)可與正弦函數(shù)圖象性質(zhì)類比，雙曲線及拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)可與橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)類比，立體幾何中的平面、四面體可與平面幾何中的直線、三角形類比等等。 在課堂中，把等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式的探索、發(fā)現(xiàn)

9、、創(chuàng)新等思維過程的暴露，知識(shí)形成過程的揭示，作為教學(xué)重點(diǎn)。同時(shí)采用啟發(fā)式、談話式的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比推理，促使學(xué)生不知不覺地參與教學(xué)的全過程，為學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)營造了良好的氛圍，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生合情推理能力、邏輯推理能力、科學(xué)的思維方式及勇于探索的創(chuàng)新意識(shí)等個(gè)性品質(zhì)。 需要指出的是：教師如果忽視學(xué)生內(nèi)在的知識(shí)結(jié)構(gòu)和新舊知識(shí)之間的潛在聯(lián)系，簡單地從外部給學(xué)生“灌入”新知識(shí)，僅僅以課本為本，以教學(xué)大綱為綱進(jìn)行備課和上課，教學(xué)效果定會(huì)不盡人意。只有充分考察了學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，才能通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的遷移、類比，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，從而使新知識(shí)有效地納

10、入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并逐步培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。 2.2 創(chuàng)設(shè)歸納性的問題情境 華羅庚先生說：“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來?！彼哉f，定理、法則、公式的歸納、猜想、發(fā)現(xiàn)的過程比證明過程更重要。歸納是人類探索真理和發(fā)現(xiàn)真理的主要工具之一，歸納法在發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)問題，在探索和發(fā)現(xiàn)解題途徑的過程中起著重要作用。在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常將一些一般問題通過特殊化來考察，從中發(fā)現(xiàn)一般問題的結(jié)論或解題途徑，這種由特殊到一般的思考，能否有所發(fā)現(xiàn)，關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用歸納法。 例3：等比數(shù)列求和公式的發(fā)現(xiàn)和證明。 本節(jié)課的難點(diǎn)在于“錯(cuò)項(xiàng)相減法”這種技巧的發(fā)現(xiàn)，其關(guān)鍵在于公式的發(fā)現(xiàn)。

11、為此我創(chuàng)設(shè)以下問題情境： 師：（續(xù)例1）（提出問題）如何求S64=1+2+22+263？（稍候）太大了，我們可以采用退一步的策略，先研究小一些的情況。 生： 可以猜得 師：好。估算一下： 故事中余下的問題只是一個(gè)簡單的物理問題了，測量一下若干粒麥子的重量，就可估算這些麥子的總重量了。（估算方法及跨科學(xué)問題的解決方法，在方便時(shí)應(yīng)該講一下。）一般地，等比數(shù)列前項(xiàng)和應(yīng)怎樣求？（稍候）能用等差數(shù)列前同和公式證明方法來類比解決嗎？ 生：不能。因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，而等比數(shù)列中，一般地。 師：那么怎樣解決？ 生：可能用到“求麥子”的方法，先變換成，關(guān)鍵在于計(jì)算。 師：根據(jù)上述過程，有？ 生：（議論）不對，就不

12、對了，這時(shí)，。 師：那么等于什么？我們應(yīng)該怎樣辦？ 生：設(shè)，再設(shè)，試試看。 師：好，請大家試一試，是否會(huì)得到某方面啟發(fā)？ 生： 知道了，一般地有， 。 師：同學(xué)們都覺得這個(gè)結(jié)論對嗎？ 生：（議論）當(dāng)時(shí)，而無意義，這樣不對了。要對進(jìn)行討論。 師：非常正確。同學(xué)們，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式已經(jīng)被我們發(fā)現(xiàn)了，現(xiàn)在余下的工作，就是考慮如何證明這個(gè)公式。 生：（議論）先證明簡單部分即的情況；后證明復(fù)雜部分即的情況，需證，把代入展開即可。 至此，“錯(cuò)項(xiàng)相減法”已被誘發(fā)而出，證明就不難解決了，在學(xué)生完成證明之后，介紹“錯(cuò)項(xiàng)相減法”的名稱來由及使用方法，然后進(jìn)行回顧反思，探求一題多解。 誠然：對于同一數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)

13、，其問題情境的創(chuàng)設(shè)往往有多種方式。也以等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式為例，有教學(xué)雜志曾介紹過創(chuàng)設(shè)如下的階梯性問題情境。 一、計(jì)算：(1)(2) (3)(4) 二、(1)猜測(2)猜測等比數(shù)列前項(xiàng)和 筆者認(rèn)為，這個(gè)問題情境的創(chuàng)設(shè)，優(yōu)點(diǎn)是：其一在課堂教學(xué)中所花費(fèi)的時(shí)間不多，較經(jīng)濟(jì)；其二在課堂教學(xué)中學(xué)生的確能發(fā)現(xiàn)公式。但是，這樣的發(fā)現(xiàn)并不是學(xué)生自己探索所發(fā)現(xiàn)的，而是沿著教師鋪設(shè)的階梯（即教師的思維軌跡）所發(fā)現(xiàn)的，一旦失去了這些階梯，又不知鋪設(shè)階梯的方法，就難以有所發(fā)現(xiàn)。教師不應(yīng)當(dāng)是“木偶的操縱者”，而應(yīng)是學(xué)生主動(dòng)獲取、形成、發(fā)現(xiàn)知識(shí)的引導(dǎo)者，學(xué)生思維策略的指導(dǎo)者。而例3的歸納性問題情境的創(chuàng)設(shè)，雖然花費(fèi)時(shí)間較多

14、，卻能使學(xué)生親身經(jīng)歷了從特殊到一般、從一般到特殊的認(rèn)識(shí)過程，體驗(yàn)到“一般問題特殊化”這種思維策略的重要作用，并且這種思維策略具有普通性的指導(dǎo)意義。比如數(shù)列中的許多問題、解析幾何中的點(diǎn)到直線距離公式的發(fā)現(xiàn)和證明都可如此處理。因此，教師在教學(xué)中要舍得留出時(shí)間給學(xué)生，讓他們動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，親自去探索公式的發(fā)現(xiàn)和證明的過程，去體驗(yàn)成功的喜悅，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)的自信心，激發(fā)他們的創(chuàng)新思維萌芽，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。 3、創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)勇于探索的科學(xué)精神。 研究性學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過自主參與一些類似于科學(xué)家從事科研的學(xué)習(xí)活動(dòng)，獲得親身體驗(yàn)和產(chǎn)生積極情感，逐步形成一種在日常學(xué)習(xí)和生活中喜愛質(zhì)疑，樂于探

15、索，努力求知的心理傾向，養(yǎng)成數(shù)學(xué)地思維的習(xí)慣，形成數(shù)學(xué)地觀察世界、處理和解決問題的能力。研究性學(xué)習(xí)的過程是圍繞著一個(gè)需要解決的問題（專題或課題）而展開的，這個(gè)問題可以由一個(gè)案例、由介紹某些背景或創(chuàng)設(shè)一種情景引出，也可以直接提出；可以由教師提出，也可以引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出；可以是與人類生存、社會(huì)發(fā)展密切相關(guān)的重大問題，也可以是自己感興趣的任意細(xì)小問題。 例4：等和數(shù)列與等積數(shù)列。 在等比數(shù)列復(fù)習(xí)課中，我提出這樣的問題：課本介紹了兩種特殊的數(shù)列 等差數(shù)列與等比數(shù)列，那么是否還有等和數(shù)列、等積數(shù)列呢？課本中沒有這方面的任何說明，同學(xué)們能否依靠自己的智慧給予解決呢？在學(xué)生表現(xiàn)出濃厚的興趣時(shí)，我要求學(xué)

16、生們以組為單位，在三天內(nèi)寫出研究報(bào)告，并在班內(nèi)交流，最后在黑板報(bào)上刊出總結(jié)性報(bào)告。 結(jié)果學(xué)生模仿課本的編寫形式，寫出了如下總結(jié)性研究報(bào)告。等和數(shù)列 1、舉例：數(shù)列：1，3，1，3，1，3， 2、定義：從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的和是常數(shù)的數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)等和數(shù)列的公和（記作A） 3、通項(xiàng)公式： 4、前項(xiàng)和：等積數(shù)列 1、舉例：數(shù)列：2，5，2，5，2，5， 2、定義：從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的積是一個(gè)不為零的常數(shù)數(shù)列，叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)等積數(shù)列的公積（記作B） 3、通項(xiàng)公式 4、前項(xiàng)和 對于等積數(shù)列的定義，學(xué)生討論較多的是公積的規(guī)定，若允許B=0，則數(shù)列的情況比較復(fù)雜，它的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和均有其不確定性，不能用首項(xiàng)，公積B及項(xiàng)數(shù)表示。 同時(shí)，學(xué)生們通過研究認(rèn)識(shí)到，無論是等和數(shù)列還是等積數(shù)列，都是一些特殊的擺動(dòng)數(shù)列，其內(nèi)涵遠(yuǎn)沒有等差數(shù)列、等比數(shù)列這樣豐富多彩，因此教科書中沒有敘述。 等和數(shù)列、等積數(shù)列的研究成果是細(xì)小的，但學(xué)生們進(jìn)行研究探索的意義卻不可忽視。在研究和探索過程中，他們都時(shí)刻需要審視、反思探索活動(dòng)，并通過經(jīng)驗(yàn)的融合和重組來解決遇到的難題，這時(shí)他們的直覺思維能力和創(chuàng)新思維能力得到充分的培養(yǎng)。 創(chuàng)設(shè)