講義 第二章 極限

1、文科數(shù)學(xué)講義（李）第二章 微積分的基礎(chǔ)極限第一節(jié) 數(shù)列極限的初步認(rèn)識(shí)定義 以正整數(shù)為自變量的函數(shù)，當(dāng)依次取1，2，3，所得到的一列函數(shù)值 稱為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列。數(shù)列中的各個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，稱為數(shù)列的通項(xiàng)。數(shù)列常簡(jiǎn)記為。下面舉幾個(gè)數(shù)列的例子。例1例2例3例4例5 .在理論研究或?qū)嵺`探索中，常常需要判斷數(shù)列當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)通項(xiàng)的變化趨勢(shì)。下面我們來(lái)研究一個(gè)有趣的問題分形幾何中的柯契（Koch）雪花問題。設(shè)有邊長(zhǎng)為1的正三角形，則周長(zhǎng)為。對(duì)各邊三等分，以中間的三分之一段為邊向外作正三角形，則每一邊生成四條新邊，原三角形生成12邊形；再三等分12邊形的各邊，同法向外作正三角形，仿此無(wú)限作下去，便可遞歸

2、生成美麗的Koch雪花！給我們直覺：無(wú)論有多大，Koch雪花的面積總是有限值，然而它的周長(zhǎng)是否也為有限值呢？這是直覺難以回答的問題?，F(xiàn)在我們來(lái)求Koch雪花的周長(zhǎng)。正三角形的周長(zhǎng)為；三等分正三角形各邊，新邊長(zhǎng)為，所以12邊形的周長(zhǎng)為。仿此可知，究竟當(dāng)時(shí)，Koch雪花的周長(zhǎng)是有限還是無(wú)限，這涉及數(shù)列極限問題。我們把有極限的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，沒有極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。 第二節(jié) 數(shù)列極限的數(shù)學(xué)定義公元前四世紀(jì)，我國(guó)春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的哲學(xué)家莊子（約公元前369前286）在莊子天下篇一書中有一段富有哲理的名句：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭?！蔽覀儼阎鹑杖∠碌腻N的長(zhǎng)度順次列出來(lái)，便得到例1所示的數(shù)列，這是

3、一個(gè)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列。當(dāng)越來(lái)越大時(shí)，通項(xiàng)越來(lái)越接近于常數(shù)0，并且想讓它有多接近它就會(huì)有多接近，則稱該數(shù)列以0為極限。數(shù)列，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，通項(xiàng)無(wú)限接近于常數(shù)1，則稱該數(shù)列以1為極限。數(shù)列 ，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)不以任何常數(shù)為限，會(huì)無(wú)限變大。此時(shí)數(shù)列沒有極限。極限的定性定義定義1 如果無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)無(wú)限趨近于常數(shù)，則稱該數(shù)列以為極限，記作或其中表示無(wú)限增大，此時(shí)也稱該數(shù)列收斂。如果時(shí)，不以任何常數(shù)為極限，則稱數(shù)列發(fā)散。 極限的定量定義定義2 如果對(duì)于任意正數(shù)（無(wú)論它有多?。?，總存在相應(yīng)的正整數(shù)，使得的一切，能使不等式恒成立，則稱數(shù)列以為極限，記作或 注：（1）定義中的常數(shù)具有二重性:即具有很小正數(shù)

4、的固定性，又具有隨意小的任意性。即，取之前任意，取到后固定。（2）是首先給定的，是由確定的。關(guān)鍵是反映變化過程時(shí)刻的的存在性，而不是它的唯一性。數(shù)列的極限為的幾何解釋：將常數(shù)與數(shù)列在數(shù)軸上用對(duì)應(yīng)的點(diǎn)表示出來(lái)，從項(xiàng)開始，數(shù)列的點(diǎn)都落在開區(qū)間內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))在此區(qū)間以外注：數(shù)列極限中蘊(yùn)含的辯證思想（1）極限的取得是變量的變化過程與變化結(jié)果的對(duì)立統(tǒng)一。（2）極限是利用有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限的一種數(shù)學(xué)方法，同時(shí)也說明極限是有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一。（3）近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一。例6 證明數(shù)列極限.證明 由于對(duì)，要使即取當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知 例7 證明數(shù)列極限.證明 由于對(duì)，要使即取當(dāng)時(shí)，有由極限的

5、定義知 .第三節(jié) 數(shù)列極限的性質(zhì)性質(zhì) 1 (極限的唯一性) 收斂數(shù)列的極限必唯一. 證明 （反證法）假設(shè)同時(shí)有及, 且，不妨設(shè)a<b. 按極限的定義, 對(duì)于>0, 由于，存在充分大的正整數(shù), 使當(dāng)時(shí), 有 ,有. 由于，存在充分大的正整數(shù), 使當(dāng)時(shí), 有 ,有.取，則當(dāng)時(shí)，同時(shí)有和成立，這是不可能的，故假設(shè)不成立.收斂數(shù)列的極限必唯一.性質(zhì) 2 (四則運(yùn)算)如果 ,則有加減原則： 乘法原則：除法原則：若性質(zhì) 3 (收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列收斂, 那它一定有界. 即對(duì)于收斂數(shù)列，必存在正數(shù)，對(duì)一切，有 證明 設(shè)， 根據(jù)數(shù)列極限的定義, 取e =1, 存在正整數(shù)N, 當(dāng)時(shí), 不等式

6、都成立. 于是當(dāng)時(shí), .取，那么數(shù)列中的一切都滿足不等式.這就證明了數(shù)列是有界的. 收斂數(shù)列一定有界，反之不成立. 例如，數(shù)列有界，但是不收斂.性質(zhì) 4 (收斂數(shù)列的保號(hào)性)如果, 且(或), 那么存在正整數(shù)N, 當(dāng)時(shí), 有(或). 證明 就的情形. 由數(shù)列極限的定義, 對(duì), 當(dāng)時(shí), 有,從而. 推論 如果數(shù)列從某項(xiàng)起有(或), 且, 那么(或).性質(zhì) 5 (夾逼準(zhǔn)則) 如果數(shù)列、及滿足下列條件: (1), (2), , 那么數(shù)列的極限存在, 且. 證明 因?yàn)? , 以根據(jù)數(shù)列極限的定義, "e >0, $, 當(dāng)時(shí), 有. 又, 當(dāng)時(shí), 有. 現(xiàn)取, 則當(dāng) 時(shí), 有, 同時(shí)成立

7、. 又因 , 所以當(dāng) 時(shí), 有, 即 . 這就證明了. 例8 求證.證明 由于，而，由夾逼準(zhǔn)則知，. 如果數(shù)列滿足條件,就稱數(shù)列是單調(diào)增加的. 如果數(shù)列滿足條件,就稱數(shù)列是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 性質(zhì) 6 (單調(diào)有界準(zhǔn)則) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 例9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 第四節(jié) 函數(shù)極限與函數(shù)的連續(xù)性由于數(shù)列可以看做是自變量為的函數(shù)：.所以數(shù)列的極限為，可以認(rèn)為是當(dāng)自變量取正整數(shù)且無(wú)限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于常數(shù).對(duì)一般的函數(shù)而言，在自變量的某個(gè)變化過程中，函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)就叫做在自變量在這一變化過程

8、的極限.這說明函數(shù)的極限與自變量的變化趨勢(shì)有關(guān)，自變量的變化趨勢(shì)不同，函數(shù)的極限也會(huì)不同.下面主要介紹自變量的兩種變化趨勢(shì)下函數(shù)的極限.一、 自變量時(shí)函數(shù)的極限引例 觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)圖2.1可以看出，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限接近于0（確定的常數(shù)）.由此推得函數(shù)在時(shí)極限的直觀定義：定義3 設(shè)當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，當(dāng) x 無(wú)限增大時(shí),函數(shù)值無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù) ,稱為當(dāng) x+時(shí)的極限. 記作 或 引例中，類比于數(shù)列極限的定義推得當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限的直觀定義：定義4 設(shè)當(dāng) x 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，則稱是函數(shù)在時(shí)的極限，

9、記作.簡(jiǎn)單敘述：類比當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限定義，當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限定義：定義5 設(shè)當(dāng) 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，則稱是函數(shù)在時(shí)的極限，記作.簡(jiǎn)單敘述：在引例中，結(jié)合定義4和定義5，推得函數(shù)在時(shí)的極限定義：定義6 設(shè)當(dāng) 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，則稱是函數(shù)在時(shí)的極限，記作.簡(jiǎn)單敘述：結(jié)合定義，函數(shù)在時(shí)的極限存在的充要條件是：例1 .證明 由于對(duì)，要使即取當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知 .從幾何上看，表示當(dāng)時(shí)，曲線位于直線和之間（圖1-15）.圖2.2這時(shí)稱直線為曲線的水平漸近線. 例如 ，

10、則是曲線的水平漸近線.二、 自變量時(shí)函數(shù)的極限引例1 觀察函數(shù)和在時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì) 圖2.3從圖中得出，函數(shù)和在時(shí)函數(shù)值都無(wú)限接近于2，則稱2是函數(shù)和在時(shí)的極限.從上例中看出，雖然和在處都有極限，但在處不定義. 這說明函數(shù)在一點(diǎn)處是否存在極限與它在該點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān). 因此，在后面的定義中假定函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，函數(shù)在時(shí)函數(shù)極限的直觀定義：定義7 函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值無(wú)限接近于確定的常數(shù)，稱為函數(shù)在時(shí)的極限.在定義7中，函數(shù)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，表示能任意小，在此同樣可以通過對(duì)于任意給定的正數(shù)，表示. 而可以表示為（>0），體現(xiàn)了接近

11、的程度. 由此得到函數(shù)在時(shí)函數(shù)極限的精確定義：定義8 函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)滿足不等式時(shí)，函數(shù)滿足不等式，稱為函數(shù)在時(shí)的極限.記作或.定義8簡(jiǎn)單表述為：函數(shù)在時(shí)極限為的幾何解釋：對(duì)，當(dāng)時(shí)，曲線位于直線和之間。 圖2.4例2 證明為常數(shù).證明 由于對(duì)，對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有故例3 證明證明 由于對(duì)，要使，即取，當(dāng)時(shí)，都有故在函數(shù)的極限中，既包含從左側(cè)向靠近，又包含從右側(cè)向靠近. 因此，在求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限時(shí)，由于在處兩側(cè)函數(shù)式子不同，只能分別討論.左側(cè)向靠近的情形，記作. 從右側(cè)向靠近的情形，記作.在定義8中，若把空心鄰域改為，則稱為函數(shù)在時(shí)的左極限.記

12、作 或 .類似地，若把空心鄰域改為，則稱為函數(shù)在時(shí)的右極限.記作 或 .我們把左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.根據(jù)在時(shí)極限的定義推出在時(shí)的極限存在的充要條件是左、右極限都存在并且相等，即：定理 .例4 討論函數(shù)當(dāng)時(shí)極限不存在.解 函數(shù)圖形如下：圖2.5在處的左極限為；右極限為.由于，故不存在.定義8 如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱在處間斷，稱為的間斷點(diǎn).三、 函數(shù)的極限的性質(zhì)類比數(shù)列極限的性質(zhì)，可以推得函數(shù)極限的性質(zhì).由于函數(shù)極限自變量的變化趨勢(shì)有不同的形式，下面僅以為代表討論.性質(zhì)1（唯一性） 若，則極限值是唯一的.性質(zhì)2（局部有界性） 若，若存在常數(shù)及，當(dāng)時(shí)，有.性質(zhì)3（保號(hào)性） 若，且（或），

13、若存在，當(dāng)時(shí)，有（或）.性質(zhì)4（夾逼準(zhǔn)則） 設(shè)、是三個(gè)函數(shù)，若存在，當(dāng)時(shí)，有，則.例5 設(shè)函數(shù) ， 例6 設(shè) ，求例7 ，求 例8 例9 重要極限 例10 重要極限 例11例12定義9 若，則稱函數(shù)為時(shí)的無(wú)窮小.例如 ，則是時(shí)的無(wú)窮小.，則是時(shí)的無(wú)窮小.在此需要指出的是：（1）無(wú)窮小不是很小的數(shù)，它表示當(dāng)時(shí)，的絕對(duì)值可以任意小的函數(shù). （2）在說一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮小時(shí)，一定要指明自變量的變化趨勢(shì). 同一函數(shù)，在自變量的不同變化趨勢(shì)下，極限不一定為零；在常數(shù)里面. （3）0是唯一的無(wú)窮小.定義10 函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)滿足不等式時(shí)，函數(shù)值滿足不等式，則稱函

14、數(shù)為時(shí)的無(wú)窮大. 按照函數(shù)極限的定義，當(dāng)時(shí)無(wú)窮大的函數(shù)極限是不存在的.為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài)，習(xí)慣上稱作函數(shù)的極限是無(wú)窮大，記作.若把定義中改為，稱函數(shù)極限為正無(wú)窮大（或負(fù)無(wú)窮大），記作.在此，同樣注意無(wú)窮大不是很大的數(shù)，不能和很大的數(shù)混為一談.例如 由于，為時(shí)的無(wú)窮大.求極限的幾種常用的方法1. 代入法：直接將的代入所求極限的函數(shù)中去，若存在，即為其極限，若不存在，我們也能知道屬于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，就代不進(jìn)去了，但我們看出了這是一個(gè)型未定式，我們可以用以下的方法來(lái)求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化無(wú)窮大為無(wú)窮

15、小法例如，實(shí)際上就是分子分母同時(shí)除以這個(gè)無(wú)窮大量。由此不難得出習(xí)題1.根據(jù)數(shù)列的變化趨勢(shì)，求下列數(shù)列的極限： （1）； （2）； （3）； （4）.2.根據(jù)數(shù)列極限的定義，證明： （1）； （2）.3.設(shè)，求證.4.設(shè)數(shù)列有界，求證.5.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的左、右極限，并判斷在改點(diǎn)處極限是否存在. （1），在處； （2），在處； （3），在處.6.求下列函數(shù)的極限. ； ； ； . ； ； ； .四、 函數(shù)的連續(xù)性定義11 函數(shù) 在點(diǎn) 及其附近有定義，如果當(dāng) 時(shí)，則稱 在點(diǎn)連續(xù)。定義12 函數(shù) 在點(diǎn) 及其附近有定義，若則稱 在點(diǎn)連續(xù)。函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必須滿足下列三個(gè)條件：（1） 函數(shù)在點(diǎn)處有

16、定義；（2） 存在，即；（3）例1 討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解 由，而，故.由連續(xù)性的定義知，函數(shù)在處連續(xù).由于函數(shù)在處極限存在等價(jià)于在處左、右極限都存在并且相等，結(jié)合這一特點(diǎn)，下面定義左、右連續(xù)的概念.如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)處的左連續(xù).如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)處的右連續(xù).如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必有，則有，這說明了函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，既包含了在點(diǎn)處左連續(xù)，又包含了在點(diǎn)處右連續(xù).定理1 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù).例2 討論函數(shù)在處的連續(xù)性. 解 函數(shù)圖形如圖1-22.圖2.6由于，故在處左連續(xù).，故在處不右連續(xù).因此由定理1知，函數(shù)在處不連續(xù). 以上是介紹函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的概念，下面介

17、紹連續(xù)函數(shù)的概念.定義13 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),稱為內(nèi)的連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù).五、 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與存在性定理1.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理2 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。定理3 設(shè)函數(shù)與在處連續(xù)，則其和、差、積、商（分母在處函數(shù)值不為零）在處也連續(xù).定理4 設(shè)函數(shù)由和復(fù)合而成.且在處連續(xù)，處極限存在，則.注：內(nèi)函數(shù)的極限存在, 外函數(shù)在該極限點(diǎn)連續(xù)，則求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)極限符號(hào)可以與外函數(shù)符號(hào)互換.如果把條件改為在處連續(xù)，且結(jié)論仍然成立，即.例3 求解 由和復(fù)合而成.且，在處連續(xù)，則如果把條件改為在處連續(xù)，且結(jié)論仍然成立，即.2.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理5 （最值定理）閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值.此定理說明，如果函數(shù)，如圖1：圖2.7則至少存在一點(diǎn)，都有，則是上的最小值.至少存在一點(diǎn)，都有，則是上的最大值.注：定理5中條件“閉區(qū)間”和“連續(xù)”很重要，如果缺少一個(gè)，定理5不一定成立.例如，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)雖然連續(xù)，但是沒有最大值和最小值（由于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)