單擺振動(dòng)中的等效問題

1、單擺振動(dòng)中的等效問題單擺是由一根不能伸長的細(xì)線，系一個(gè)視為質(zhì)點(diǎn)的擺球構(gòu)成。在擺角（新教材）時(shí)，擺球的運(yùn)動(dòng)可視為簡諧運(yùn)動(dòng)。等效方法是通過對問題中的某些因素進(jìn)行變換或直接利用相似性，移用某一規(guī)律進(jìn)行分析而得到相等效果，利用等效法不僅可以使問題變得簡單易解，而且活躍了學(xué)生的思維。在通常情況下，很多物體的運(yùn)動(dòng)模型可等效為單擺模型，單擺振動(dòng)中的等效問題包括模型的等效、擺長的等效、重力加速度的等效及周期的等效。等效單擺的周期公式可以廣義地表示為 式中為等效擺長，為等效重力加速度。一、 等效單擺擺長所謂擺長意味著懸點(diǎn)到擺球球心間的距離。單擺的運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)是一小段圓弧，其軌道半徑R與等效擺長相等，即=R。對于形

2、異質(zhì)同的單擺物理模型，不管有無“懸點(diǎn)”，只要搞清了圓弧軌道的半徑R，單擺的周期即可用計(jì)算。同學(xué)們對下圖中各擺等效擺長一看便知（若等效擺長不易一眼看出，則應(yīng)從數(shù)學(xué)角度計(jì)算）。 圖1 圖2 圖3例1. 由長度依次為L和2L的AC和BC兩根細(xì)繩懸掛小球C，如圖4所示，每根細(xì)繩跟豎直方向的夾角均為30°，當(dāng)該小球向紙內(nèi)外做微小擺動(dòng)時(shí)，其擺動(dòng)周期為_。 圖4 圖5簡析：本題是一個(gè)雙線擺問題，解決其周期，首先得確定其等效擺長，連接AB，然后過擺球C作豎直線交直線AB于O點(diǎn)，則OC為該擺的等效擺長，如圖5所示，L”，故周期：例2. 如圖6所示，光滑圓弧槽半徑為R，A為最低點(diǎn)，C到A距離遠(yuǎn)小于R，兩

3、質(zhì)點(diǎn)B和C都由靜止開始釋放，問哪一個(gè)小球先到A點(diǎn)？簡析：B球到A點(diǎn)時(shí)間用自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解，其時(shí)間： C球在光滑圓弧槽內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)可看作等效單擺運(yùn)動(dòng)，半徑R為等效擺長。第一次到達(dá)A點(diǎn)用單擺周期公式：顯然，即B球先到。討論：要使兩球在A點(diǎn)相遇，可使B球上移，問此時(shí)B球高度h為多少？分析：B球下落時(shí)間為：又C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)具有重復(fù)性，兩球相遇時(shí)間必有多解，相應(yīng)的h值亦應(yīng)有多解：，解得：二、 等效重力加速度等效重力加速度的大小等于擺球的視重（擺球相對懸點(diǎn)靜止時(shí)線的拉力F）與擺球的質(zhì)量m之比，即。求的基本步驟如下：（1）分析擺球的受力，確定擺球相對靜止的位置（即平衡位置）。（2）計(jì)算擺球的視重。（3）利用，求

4、出視重加速度。應(yīng)當(dāng)注意，在計(jì)算拉力時(shí)，不能將始終沿懸線方向的力（法線方向）包括在內(nèi)。因?yàn)橹挥袑貜?fù)力有貢獻(xiàn)的力，才能改變振動(dòng)周期。如圖7幾種情況，振動(dòng)周期不變。圖7例3. 如圖8所示的擺球，由于受到橫向風(fēng)力的作用，偏過角。若繩長為l，擺球質(zhì)量為m，且風(fēng)力穩(wěn)定，當(dāng)擺球在紙平面內(nèi)平衡位置附近振動(dòng)時(shí)，其周期為（ ）。A. B. C. D. 圖8 圖9解析：平衡時(shí)擺球受重力mg，風(fēng)力，線的拉力，受力分析如圖9所示。由力的平衡可得，擺球的視重為等效重力加速度為所以擺的周期為故選項(xiàng)B正確。例4. 如圖10，用一根細(xì)線，長為l，將一個(gè)密度的小球拴在盛水容器的底部。若使小球稍偏離平衡位置而振動(dòng)，求它的周期是在

5、空氣中周期的幾倍。 圖10 圖11解析：設(shè)擺球的體積為V，則質(zhì)量為。擺球在水中平衡時(shí)受重力mg、拉力、浮力作用，如圖11所示。由力的平衡條件可得等效重力加速度為擺在水中的周期為擺在空氣中的周期為原始的單擺模型在振動(dòng)過程中回復(fù)力來源于重力的分量，要研究升降機(jī)中單擺的周期問題，必須從研究回復(fù)力著手，求出其等效重力，再求等效重力加速度，則。例5. 在升降機(jī)中掛著一單擺，擺長為L，當(dāng)升降機(jī)以加速度a勻加速上升的過程中，求單擺的振動(dòng)周期T。簡析：單擺在擺動(dòng)過程中，受重力和繩的張力F的作用，當(dāng)升降機(jī)勻加速上升時(shí)，單擺一方面繞懸點(diǎn)振動(dòng)，另一方面沿豎直方向作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。根據(jù)力的作用效果，將F分為三個(gè)力，如

6、圖12所示，在豎直方向上，F(xiàn)3與G的合力產(chǎn)生向上的加速度a，切線方向的F1使單擺返回“平衡”位置，產(chǎn)生切向加速度，F(xiàn)2沿?cái)[線方向產(chǎn)生做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心加速度。因?yàn)?。又因?yàn)镕F1，所以：當(dāng)很小時(shí)，。故單擺在加速上升的升降機(jī)中所受回復(fù)力與位移成正比，且方向相反，得。單擺在升降機(jī)中擺動(dòng)周期為：顯然，我們稱之為等效重力加速度，同理，若升降機(jī)以加速度a勻加速下降，則：?？梢娫谏禉C(jī)中加速（或加速）上升（或下降），可以等效為重力加速度發(fā)生變化，只要求出等效重力加速度，則單擺的周期問題迎刃而解，現(xiàn)列舉另外幾種常見情形：（1）在水平加速運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)如圖13所示，若將單擺懸掛于水平加速向左運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)，其平衡

7、位置由O變到了O”，等效重力加速度為，則振動(dòng)周期為。 圖13 圖14（2）在斜面上加速運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)如圖14所示，當(dāng)小車沿傾角為的光滑斜面自由滑下時(shí)，單擺的周期為，比小車靜止時(shí)要大。（3）光滑斜面上的單擺如圖15所示，單擺一端系于傾角為的光滑斜面上，產(chǎn)生回復(fù)力的是的切向分力，等效重力加速度為，周期為。 圖15 圖16（4）復(fù)合場中的單擺若將帶電量為q的單擺放入電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場中，如圖16所示，則得到最常見的復(fù)合場。若擺球帶負(fù)電，則：若擺球帶正電，則：當(dāng)時(shí)，單擺停擺。若電場方向改為水平，同理分析可得。（5）在勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星內(nèi)因?yàn)閿[球受到的萬有引力全部充當(dāng)了和衛(wèi)星一起環(huán)繞行星運(yùn)動(dòng)所需要的向

8、心力，所以處于完全失重狀態(tài)，單擺停擺。三、等效單擺周期對懸點(diǎn)下方有固定釘子的單擺及組合單擺來說，還存在等效周期的問題：圖17例6、一個(gè)單擺如圖17所示，擺長l150厘米，懸點(diǎn)O的正下方有一個(gè)固定的釘子A，OA50厘米，設(shè)擺角很小，試求此擺的周期。    解析:此單擺的一次全振動(dòng)中,一半由擺長為l1=150cm的單擺的半個(gè)全振動(dòng)組成, 一半由擺長為l2=100cm的單擺的半個(gè)全振動(dòng)組成,因此此組合單擺的周期     T=.     T=3.14×(0.3912+ 0.3194)

9、 =2.23s. 例7、如圖10中兩單擺的擺長均為L=1m，平衡時(shí)，兩鋼球剛好接觸，現(xiàn)將擺球A在兩擺線所在的平面向左拉開一小角度釋放，碰撞后兩球分開各自做簡諧運(yùn)動(dòng)，以分別表示兩擺球A、B的質(zhì)量，g取10m/s2，則（ ）A. 如果，下次碰撞發(fā)生在平衡位置的右側(cè)B. 如果，下次碰撞發(fā)生在平衡位置的左側(cè)C. 該組合擺的周期T合=秒D. 無論擺球質(zhì)量之比是多少，下次碰撞都不可能發(fā)生在平衡位置的左側(cè)解析：因兩擺擺長相等，故兩擺球的周期相等，所以兩球同時(shí)到達(dá)平衡位置，在平衡位置發(fā)生第二次碰撞，且每隔T/2即秒時(shí)間，該組合擺完成一次全振動(dòng)。故答案應(yīng)選C、D。四、 等效單擺模型小結(jié)常見的等效單擺模型很多，上

10、述各圖中的模型就是典型的例子。除此以外，同學(xué)們還會遇到其它情況。從近幾年高考試題看，命題人的指導(dǎo)思想很明確，那就是力求所命題目的創(chuàng)意新、背景新、過程新。但從題目所對應(yīng)的物理模型來看，其本質(zhì)上講還是萬變不離其宗。等效法是科學(xué)思維的基本方法之一，要提高解決綜合問題的能力，從根本上講還是提高構(gòu)建物理模型的能力，要學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，進(jìn)而對物理模型進(jìn)行等效轉(zhuǎn)化。鞏固檢測1、如圖19，是記錄地震裝置的水平擺示意圖.擺球m固定在邊長為l、質(zhì)量可忽略的等邊三角形的頂點(diǎn)A處.它的對邊BC與豎直線成不大的角.擺球可沿固定軸BC擺動(dòng)，則擺球做微小振動(dòng)時(shí)周期為多大?（答案：T=2  ）圖19解析：此裝置擺動(dòng)時(shí)，形成擺球A以BC為轉(zhuǎn)軸，以紙面上的OA為平衡位置，在近于垂直紙面的向內(nèi)、向外方向上作微小振動(dòng).這時(shí)擺球A可視為擺長為OA的單擺，其等效擺長為l= /2.當(dāng)擺球處在“平衡位置不擺動(dòng)”時(shí)，沿等效擺長AO方向的等效擺線的拉力T=mgsin，即為等效重力G=mgsin，故此擺的周期T=2  2、汽車的重量一般支撐在固定于軸承上的若干彈簧上，彈簧的等效勁度系數(shù)k=1.5×105N/m，汽車開動(dòng)