2015年重慶市高考數學試卷(理科)

1、高考真題及答案2015年重慶市高考數學試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的.1. （5 分）已知集合 A=1, 2, 3, B=2, 3,則（）cuA. A=B B. AAB=? C. A戶B D. B#A2. （5分）在等差數列an中，若a=4, a4=2,則a6=（）A. - 1 B. 0C. 1 D. 63. （5分）重慶市2013年各月的平均氣溫（C）數據的莖葉圖如，則這組數據 的中位數是（）A. 19 B. 20 C. 21.5 D. 234. （5 分）“A1”是 Io% （x+2） 0, b0）的右焦

2、點為F,右頂點為A,過F J -作AF的垂線與雙曲線交于B, C兩點，過B, C分別作AC, AB的垂線，兩垂線 交于點D.若D到直線BC的距離小于升行彳,則該雙曲線的漸近線斜率的 取值范圍是（ ）A. (T, 0) U (0, 1)B. (-8, - 1) U (1, +oo) C. (-&,0) U (0,72) D.-上)U (加，+8) 二、填空題：本大題共3小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分.把答案 填寫在答題卡相應位置上.11. （5 分）設復數 a+bi （a, bCR）的模為百，貝U （a+bi） （a bi） =.12. （5分）（/芝加）5的展開式中x8的系數是 （

3、用數字作答）.13. （5 分）在 ABC中，B=120, AB=/2 , A 的角平分線 AD=/5 ,則 AC=.三、考生注意：（14）、（15）、（16）三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.14. （5分）如題圖，圓。的弦AB, CD相交于點E,過點A作圓。的切線與DC 的延長線交于點 P,若 PA=6, AE=9, PC=3 CE ED=2 1,貝U BE=.15. （5分）已知直線l的參數方程為kj+t （t為參數），以坐標原點為極點， g + tx軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p 2c口至日二4（P 口，呼日耳-）,則直線l與曲線C的交

4、點的極坐標 44為.16. 若函數f （x） =|x+1|+2|x- a|的最小值為5,則實數a=.四、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演 算步驟.17. （13分）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取 3個.（I ）求三種粽子各取到1個的概率；(H)設X表示取到的豆沙粽個數，求 X的分布列與數學期望.18. (13 分)已知函數 f (x) =sin ( - x) sinx一b0)的左、右焦點分別為Fi, F2, a2 b2過F2的直線交橢圓于P, Q兩點，且PQ PF

5、1(I)若|PF|=2+詆，|pf/=2-血，求橢圓的標準方程;e.(n)若| pfi =| PQ| ,求橢圓的離心率22. (12 分)在數列an中，ai=3, an+ian+入 n+i +仙 n2=0 (nCN+)(I )若入=0 1 =- 2,求數歹an的通項公式；(H)若 人工(k0eN+, ko2),小力 1,證明：2+-a、l2+-J-,獨-二：1 工-二2015年重慶市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的.1. （5 分）已知集合 A=1, 2, 3, B=2, 3,則（）c

6、cA. A=B B. AAB=? C. ArB D. BfA【分析】直接利用集合的運算法則求解即可.【解答】解：集合A=1, 2, 3, B=2, 3,仁可得 AwB, AAB=2, 3, B#A,所以 D正確.故選：D.【點評】本題考查集合的基本運算，基本知識的考查.2. （5分）在等差數列an中，若02=4, 84=2,則%=（）A. - 1 B. 0 C. 1 D. 6【分析】直接利用等差中項求解即可.【解答】解：在等差數歹!J an中，若 02=4, 04=2,貝U a4=j-（82+%） （4+as） =2,解得06=0.故選：B.【點評】本題考查等差數列的性質，等差中項個數的應用，

7、考查計算能力.3. （5分）重慶市2013年各月的平均氣溫（C）數據的莖葉圖如，則這組數據 的中位數是（）0I23S201958032A. 19 B. 20 C. 21.5 D. 23【分析】根據中位數的定義進行求解即可.【解答】解：樣本數據有12個，位于中間的兩個數為20, 20,則中位數為我”二2。，2故選：B.【點評】本題主要考查莖葉圖的應用，根據中位數的定義是解決本題的關鍵. 比較基礎.4. (5 分)“A1”是 logj (x+2) 0”的()TA.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件【分析】解logj (x+2) 1比較，從而求出答T案.【解答】

8、解：由iogj (x+2) 1 ,解得：x - 1 ,故“/1”是iogj (x+2) =-4故選：A.【點評】本題主要考查向量夾角的求解，利用向量數量積的應用以及向量垂直的 等價條件是解決本題的關鍵.7. (5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出 k的值為8,則判斷框圖可填入的條件是（）A. sB. sC. sD. s衛(wèi)-時,12退出循環(huán)，輸出k的值為8,故判斷框圖可填入的條件是 SH.【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，k的值依次為0, 2, 4, 6, 8,因止匕S=L J（此時k=6）,29至 12因此可填：S0, b0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B, C兩點，過B

9、, C分別作AC, AB的垂線，兩垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于*,瘠/,則該雙曲線的漸近線斜率的 取值范圍是(A. (T, 0) U (0, 1) B. (-8, - 1) U (1, +oo) C. (-&,0) U (0,V2) D. (0,-血)U (加，+8),2 k2 b b【分析】由雙曲線的對稱性知D在x軸上，設D(x,0),則由BD AB得士一?3 c-x c-a-1,求出c-x,利用D到直線BC的距離小于a+J7后，即可得出結論.k2k2【解答】解：由題意，A (a, 0), B (c,二)，C (c,-由雙曲線的對稱aa性知D在x軸上,2,2b b設 D (x, 0

10、),則由 BDABW?=- 1, c-x c-a，c- x-rp,a (a-c)D到直線BC的距離小于a+Y/+b2,c- x=| 書-| 0, 衛(wèi)9且口，則直線l與曲線C的交點的極坐標為 44(2,應 ,【分析】求出直線以及曲線的直角坐標方程， 然后求解交點坐標，轉化我2極坐 標即可.【解答】解：直線l的參數方程為(產T+t (t為參數),它的直角坐標方程為：x Ly=l+1-y+2=0;曲線C的極坐標方程為p 2c口衛(wèi)e包L), 44可得它的直角坐標方程為：x2-y2=4, x0.(x-+2=0 一 ,由，,可得x=- 2, y=0,L k -y -4交點坐標為(-2,0),它的極坐標為(

11、2, Tt).故答案為：(2,冗).【點評】本題考查曲線的極坐標方程直線的參數方程與普通方程的互化，基本知識的考查.16.若函數f (x) =|x+1|+2|x- a|的最小值為5,則實數a= - 6或4 .【分析】分類討論a與-1的大小關系，化簡函數f (x)的解析式，利用單調性 求得f (x)的最小值，再根據f (x)的最小值等于5,求得a的值.【解答】解：:函數f (x) =| x+1|+2|x - a| ,故當a - 1時，f ( x)-3x+2a-l j=adxT,3x-2a+lf根據它的最小值為f (a) =- 3a+2a-1=5,求得a=-6.當a=-1時，f (x) =3|x+

12、1|,它的最小值為0,不滿足條件.-3x+2aT,工1 時，f (x) = r+2a+l, -lx,3i-2arHs根據它的最小值為f (a) =a+1=5,求得a=4.綜上可得，a=- 6或a=4,故答案為：-6或4.【點評】本題主要考查對由絕對值的函數， 利用單調性求函數的最值，體現了轉 化、分類討論的數學思想，屬于中檔題.四、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演 算步驟.17. (13分)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取 3個.(I )求三種粽子各取到1個的概率；

13、(H)設X表示取到的豆沙粽個數，求 X的分布列與數學期望.【分析】(I)根據古典概型的概率公式進行計算即可；(H)隨機變量X的取值為：0, 1, 2,別求出對應的概率，即可求出分布列和 期望.【解答】解：(I)令A表示事件三種粽子各取到1個”,cic 土 1則由古典概型的概率公式有 P (A) = 2 ：-.cj 4 vio(n)隨機變量X的取值為：0, 1, 2,1:二 XJ-I 3r-i 12X012P715T 15115 5 ,1 3EX=0X 工+1 X +2 X1515C3 15 vioCJ 15cJ 15viovio則 P (X=0)二號義，P (X=1)P (X=2)=【點評】本

14、題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望的計算， 求出對應的概率 是解決本題的關鍵.18. (13 分)已知函數 f (x) =sin (- - x) sinx- V3cos2x.(I)求f (x)的最小正周期和最大值；(II)討論f (x)在二三，”上的單調性.63【分析】(I)由條件利用三角包等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的 周期性和最值求得f (x)的最小正周期和最大值.(n)根據2x-2Le 0,句,利用正弦函數的單調性，分類討論求得 f (x)在 3三，”上的單調性.63【解答】解：(I )函數 f(x) =sin(2L x) sinx 行cos2x=cosxsinx-2/l

15、(1+cos2x) 22二sin2x cos2x =sin (2x 三-運，22232故函數的周期為二陽最大值為1-叵.22(H)當 xC 0,句，故當002x一工0工時，即x332 工，里L時，f (x)為增函數； 612當2L02x一匹&九時，即xe 旦L2312【點評】本題主要考查三角包等變換,紅L時，f (x)為減函數.3正弦函數的周期性和最值，正弦函數的單調性，屬于中檔題.19. (13分)如題圖，三棱錐 P-ABC中，PC平面ABC PC=3 /ACB2.D, 2E分另I為線段 AB, BC上的點，且 CD=DE=2, CE=2EB=2(I)證明：DEL平面PCD(n)求二面角a-

16、 PD- C的余弦值.【分析】(I)由已知條件易得PCX DE, CD DE,由線面垂直的判定定理可得;(R)以C為原點，分別以CA,而，而的方向為xyz軸的正方向建立空間直角,平面PCD的法向坐標系，易得而，而，逐的坐標，可求平面PAD的法向量3 量E可取而，由向量的夾角公式可得.【解答】(I)證明：v PCL平面ABC, DE?平面ABC,PC! DE,CE=2 CD=DE靈，.CDE為等腰直角三角形， .CD，DE, PCn CD=CDE垂直于平面PCD內的兩條相交直線, DE，平面 PCD(n)由(I)知 CDE為等腰直角三角形，/ DCE三， 4過點D作DF垂直CE于F,易知DF=F

17、C=FE=1又由已知EB=1,故FB=2,由/ACB三得 DF/ AC, JQL-ZLJL 故 ac至DF至， 2AC BC 322以C為原點，分別以CA, CB,而的方向為xyz軸的正方向建立空間直角坐標系,則 C (0, 0, 0), P (0, 0, 3), A (1, 0, 0), E (0, 2, 0), D (1,1, 0),2ED= (1, - 1, 0) , DP= ( - 1, - 1 , 3), DA=(上，-1, 0),2設平面PAD的法向量話=(x, y, z),由“門1DP=-x-t+3z=0川 * DA=yx-y=O故可取司=(2, 1, 1),由(I)知DEL平面

18、PCD故平面PCD的法向量同可取ED= (1, -1, 0),:兩法向量夾角的余弦值cos =InII|n2| 6一二面角A- PD- C的余弦值為亞6【點評】本題考查二面角，涉及直線與平面垂直的判定，建系化歸為平面法向量 的夾角是解決問題的關鍵，屬難題.20. (12 分)設函數 f (x) =3二產(aCR)e(I )若f (x)在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=f (x)在點(1,f (1)處的切線方程；(H)若f (x)在3, +oo)上為減函數，求a的取值范圍.2【分析】(I) f(x)=三過士或二運垃，由f (x)在x=0處取得極值，可得f(0)Xe=0,解得a.可得

19、f (1), f z(1),即可得出曲線y=f (x)在點(1, f (1)處的 切線方程；2(II)解法一：由(I)可得：f(x) =-3工工+, 令 g (x) = - 3x2+ (6-a)Kex+a,由 g (x) =0,解得 x1=6 a 7 a , x2=6 -+ 重 +36 .對 x 分類討論：當xx1時；當x1 xx2時.由f (x)在3, +00)上為減函數，可知： x2=6p+y+阻解得即可.解法二：分離參數法”：由f (x)在3, +8)上為減函數，可得 r(x) k , f(x) =-3：,eef(1)=A, f(1)=A, ee曲線y=f (x)在點(1, f (1)處

20、的切線方程為 /h)，化為：3x-ey=0; e e2(II)解法一：由(I)可得：f (x) =-3-工+,令 g (x) =- 3x2+ (6 - a) ex+a,由g (x) =0,解得v 6-a-7a21366-a+Va+36x1=一6，x2=6-當xx1時，g (x) 0,即f(x) 0,此時函數f (x)為減函數；當x1x0,即f(x) 0,此時函數f (x)為增函數;當xx2時，g (x) 0,即f(x) .62因此a的取值范圍為：得，+8).解法二：由f (x)在3, +oo)上為減函數，；1(x) 三漢普L,在3, +oo)上包成立.x-1令 u (x) =tJ：6x u (

21、x)=包1:+1 u (3) = - .因此a的取值范圍為：得，+8).利用導數的幾何意義研究切線方程、利用【點評】本題考查了導數的運算法則、導數研究函數的單調性極值，考查了分類討論思想方法、分離參數法”、推理能力與計算能力，屬于難題.2221. （12分）如題圖，橢圓 三+J=1 （ab0）的左、右焦點分別為Fi, F2, a2 b2過F2的直線交橢圓于P, Q兩點，且PQ PF1（I）若|PF|=2+近，|PF2I=2-V2,求橢圓的標準方程；【分析】（I ）由橢圓的定義，2a=| PF1|+| PFd ,求出a ,再根據 2c=| FiF2| =J|pF | 2+ip. 2=2,求出c,

22、進而求出橢圓的標準方程；（II）由橢圓的定義和勾股定理，得 |QFi|二&|PF|=4a-2|PF1| ,解得|PF1|二2 （2-近）a,從而| PFJ=2a-| PF1|=2 （&-1） a,再一次根據勾股定理可求出離心率.【解答】解：（I）由橢圓的定義，2a=|PFJ+| PF?|=2+/2+2-V2=4,故a=2, 設橢圓的半焦距為c,由已知PELPF,因此2c=| F1F2| =J|PF1 |2+|PF2 |2=2/3, 即 c=7s,從而 b=yrH=1,2故所求橢圓的標準方程為-Y+y2=l.（H）連接 RQ,由橢圓的定義，|PF1|+| PE|=2a, |QF1|+| QF2| =2a,從而由 | PF|=| PQ =| PE|