函數(shù)新定義問(wèn)題訓(xùn)練

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)中的定義型問(wèn)題訓(xùn)練一、選擇題 1.定義方程f(x)f(x)的實(shí)數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的“新不動(dòng)點(diǎn)”，如果函數(shù)g(x)x2(x(0，)，h(x)sinx2cosx，x(0，)，(x)2x的“新不動(dòng)點(diǎn)”分別為、，那么、的大小關(guān)系是()A<< B<< C<< D<<2.對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f(x)f(2ax)，則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是()Af(x) Bf(x)x2 Cf(x)tanx Df(x)cos(x1)3.定義兩個(gè)實(shí)數(shù)間的一種新運(yùn)算“*”：x*yl

2、g(10x10y)，x，yR.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出如下結(jié)論：(a*b)*ca*(b*c)；a*bb*a；(a*b)c(ac)*(bc)其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A 0 B 1 C 2 D 34.設(shè)函數(shù)yf(x)在(，)內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)：，取函數(shù)，若對(duì)任意的x(，)，恒有，則()Ak的最大值為2 Bk的最小值為2 Ck的最大值為1 Dk的最小值為15.對(duì)于區(qū)間a，b上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)，如果對(duì)于區(qū)間a，b中的任意實(shí)數(shù)x均有|f(x)g(x)|1，那么稱函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間a，b上是密切函數(shù)，a，b稱為密切區(qū)間若m(x)x23x4與n(x)2x3在

3、某個(gè)區(qū)間上是“密切函數(shù)”，則它的一個(gè)密切區(qū)間可能是()A 3,4 B 2,4 C 2,3 D 1,4二、填空題 6.若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件：(1)直線l在點(diǎn)P(x0，y0)處與曲線C相切；(2)曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線C.下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號(hào))直線l：y0在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線C：yx3；直線l：x1在點(diǎn)P(1,0)處“切過(guò)”曲線C：y(x1)3；直線l：yx在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線C：ysinx；直線l：yx在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線C：ytanx；直線l：yx1在點(diǎn)P(1,0)處“切過(guò)”曲線C：yln

4、x.7.給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f(x)(f(x).若f(x)<0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)以下四個(gè)函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是_(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)f(x)sinxcosx； f(x)lnx2x； f(x)x32x1； f(x)xex.8.已知函數(shù)yf(x)(xR)，對(duì)函數(shù)yg(x)(xI)，定義g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”為函數(shù)yh(x)(xI)，yh(x)滿足：對(duì)任意xI，兩個(gè)點(diǎn)(x，h(x)，(x，g(x)關(guān)于點(diǎn)(x，f(x)對(duì)稱若h(x)是g(x)關(guān)于f(x)3x

5、b的“對(duì)稱函數(shù)”，且h(x)>g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_9.給定區(qū)間D，對(duì)于函數(shù)f(x)，g(x)及任意的x1，x2D(其中x1>x2)，若不等式f(x1)f(x2)>g(x1)g(x2)恒成立，則稱函數(shù)f(x)相對(duì)于函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是“漸先函數(shù)”已知函數(shù)f(x)ax2ax相對(duì)于函數(shù)g(x)2x3在區(qū)間a，a2上是漸先函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_10.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，對(duì)D內(nèi)的任意x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有f(x1)f(x2)，則稱f(x)為非減函數(shù)已知f(x)是定義域?yàn)?,1的非減函數(shù)，滿足f(0)0，對(duì)任意x0,1，有f(1x)f(x

6、)1，對(duì)于x0，恒成立，則的值為_(kāi)三、解答題 11.對(duì)于定義在D上的函數(shù)yf(x)，若同時(shí)滿足(1)存在閉區(qū)間a，bD，使得任取x1a，b，都有f(x1)c(c是常數(shù))；(2)對(duì)于D內(nèi)任意x2，當(dāng)x2a，b時(shí)，總有f(x2)>c.稱f(x)為“平底型”函數(shù)判斷f1(x)|x1|x2|，f2(x)x|x2|是否是“平底型”函數(shù)？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由12.已知實(shí)數(shù)kR，且k0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，g(x)f(x)x.(1) 如果函數(shù)g(x)在R上為減函數(shù)，求k的取值范圍；(2) 如果k(0，4，求證：方程g(x)0有且只有一個(gè)根xx0；且當(dāng)x>x0時(shí)，有x>f(f(x)成立；(3)

7、 定義： 對(duì)于閉區(qū)間s，t稱差值ts為區(qū)間s，t的長(zhǎng)度； 對(duì)于函數(shù)g(x)，如果對(duì)任意x1、x2s，tD(D為函數(shù)g(x)的定義域)，記h|g(x2)g(x1)|，h的最大值稱為函數(shù)g(x)在區(qū)間s，t上的“身高”問(wèn)：如果k(0，4，函數(shù)g(x)在哪個(gè)長(zhǎng)度為2的閉區(qū)間上“身高”最“矮”？13.設(shè)a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ax2(a1)x2lnx（1）當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a2時(shí)，過(guò)原點(diǎn)O作曲線yf(x)的切線，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)定義在D上的函數(shù)yg(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為l：yh(x)，當(dāng)xx0時(shí)，若0在D內(nèi)恒成立，則稱點(diǎn)P為函數(shù)yg(x)的“巧點(diǎn)”當(dāng)a

8、時(shí)，試問(wèn)函數(shù)yf(x)是否存在“巧點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)求出“巧點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由14.若存在實(shí)數(shù)x0與正數(shù)a，使x0a，x0a均在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，且f(x0a)f(x0a)成立，則稱“函數(shù)f(x)在xx0處存在長(zhǎng)度為a的對(duì)稱點(diǎn)”(1) 設(shè)f(x)x33x22x1，問(wèn)是否存在正數(shù)a，使“函數(shù)f(x)在x1處存在長(zhǎng)度為a的對(duì)稱點(diǎn)”？試說(shuō)明理由；(2) 設(shè)g(x)x(x0)，若對(duì)于任意x0(3，4)，總存在正數(shù)a，使得“函數(shù)g(x)在xx0處存在長(zhǎng)度為a的對(duì)稱點(diǎn)”，求b的取值范圍15.已知函數(shù)f(x)x2(a2)xalnx.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極小值；(2)當(dāng)a1時(shí)，過(guò)

9、坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線yf(x)的切線，設(shè)切點(diǎn)為P(m，n)，求實(shí)數(shù)m的值；(3)設(shè)定義在D上的函數(shù)yg(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為l：yh(x)，當(dāng)xx0時(shí)，若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)yg(x)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”當(dāng)a8時(shí)，試問(wèn)函數(shù)yf(x)是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由16.若斜率為k的兩條平行直線l，m經(jīng)過(guò)曲線C的端點(diǎn)或與曲線C相切，且曲線C上的所有點(diǎn)都在l，m之間(也可在直線l，m上)，則把l，m間的距離稱為曲線C在“k方向上的寬度”，記為d(k)(1)若曲線C：y2x21(1x2)，求d(1)；(2)已知k>2，若曲線C：yx3x(1x2)

10、，求關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式d(k)17.已知函數(shù)f(x)x1lnx.(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)求證：當(dāng)nN*時(shí)，；(3)對(duì)于函數(shù)h(x)和g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得不等式h(x)kxb和g(x)kxb都成立，則稱直線ykxb是函數(shù)h(x)與g(x)的“分界線”設(shè)函數(shù)h(x)x2，g(x)ex1f(x)，試問(wèn)函數(shù)h(x)與g(x)是否存在“分界線”？若存在，求出常數(shù)k，b的值；若不存在，說(shuō)明理由18.對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)，使得等式f(ax)·f(ax)b對(duì)定義域中的每一個(gè)x都成立，則稱函數(shù)f(x)是“(a，b)型函數(shù)”(1)判斷函數(shù)f

11、(x)4x是否為“(a，b)型函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù)g(x)是“(1,4)型函數(shù)”，當(dāng)x0,2時(shí)，都有1g(x)3成立，且當(dāng)x0,1時(shí)，g(x)x2m(x1)1(m>0)，試求m的取值范圍函數(shù)中的定義型問(wèn)題訓(xùn)練答案解析1.【解析】由定義，令g(x)xx2，得2；對(duì)于h(x)sinx2cosx，x(0，)，令h(x)cosx2sinxsinx2cosx，得(，)；對(duì)于(x)2x，令(x)22x，得1.故<<，選C.2.【解析】由f(x)f(2ax)知f(x)的圖象關(guān)于xa對(duì)稱，且a0，A，C中兩函數(shù)圖象無(wú)對(duì)稱軸，B中函數(shù)圖象對(duì)稱軸只有x0，而D中當(dāng)ak1(kZ)時(shí)，

12、xa都是ycos(x1)的圖象的對(duì)稱軸故選D3.【解析】因?yàn)閍*blg(10a10b)，故(a*b)*clg(10a10b)*clg(10lg(10a10b)10c)lg(10a10b10c)，同理a*(b*c)a*(lg(10b10c)lg(10a10lg(10b10c)lg(10a10b10c)，故“*”運(yùn)算滿足結(jié)合律；據(jù)定義易知運(yùn)算符合交換律；(a*b)clg(10a10b)clg(10a10b)lg 10clg(10a10b)10clg(10ac10bc)(ac)*(bc)，故結(jié)論成立綜上可知正確4.【解析】對(duì)任意x(，)，恒有fk(x)f(x)成立，即f(x)k恒成立，f(x)ex1

13、，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0;當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減，從而f(x)在x0時(shí)取到最大值f(0)1，f(x)k恒成立，k1，故選D.5.【解析】|m(x)n(x)|1|x25x7|1，解此絕對(duì)值不等式，得2x3.故在區(qū)間2,3上|m(x)n(x)|的值域?yàn)?,1，|m(x)n(x)|1在2,3上恒成立，故選C.6.【解析】中由yx3得y3x2.又當(dāng)x0時(shí)，切線斜率為0，故函數(shù)yx3在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y0.結(jié)合圖象知正確中由y(x1)3得y3(x1)2.又當(dāng)x1時(shí)，切線斜率為0，故函數(shù)y(x1)3在點(diǎn)(1,0)處的

14、切線方程為y0，故不正確中由ysinx得ycosx.又當(dāng)x0時(shí)，切線斜率為1，故函數(shù)ysinx在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為yx.結(jié)合圖象知正確中由ytanx得y.又當(dāng)x0時(shí)，切線斜率為1，故函數(shù)ytanx在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為yx.結(jié)合圖象知正確中由ylnx得y.又當(dāng)x1時(shí)，切線斜率為1，故函數(shù)ylnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為yx1，結(jié)合圖象可知不正確7.【答案】【解析】對(duì)于，f(x)(sinxcosx)，x時(shí)，f(x)<0;對(duì)于，f(x)，在x時(shí)，f(x)<0;對(duì)于，f(x)6x，在x時(shí)，f(x)<0;對(duì)于，f(x)(2x)·ex在x時(shí)，f(x)>

15、0恒成立，所以f(x)xex不是凸函數(shù)8.【答案】(，)【解析】由已知得3xb，所以h(x)6x2b.h(x)>g(x)恒成立，即6x2b>，3xb>恒成立在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出直線y3xb及半圓y(如圖所示)，可得>2，即b>，故答案為(，)9.【答案】【解析】設(shè)ax2<x1a2，由題意知f(x1)f(x2)>g(x1)g(x2)恒成立，即aax1(aax2)>2x13(2x23)恒成立，即a(x1x2)(x1x21)>2(x1x2)因?yàn)閤1>x2，故不等式轉(zhuǎn)化為a(x1x21)>2恒成立因?yàn)閍x2x1a2，所以2a1x1x21

16、a5，故當(dāng)a>0時(shí)，不等式恒成立轉(zhuǎn)化為a(2a1)2，即2a2a20，解得a；當(dāng)a<0時(shí)，a(2a5)2，即2a25a20，解得a.所以a的取值范圍是.10.【答案】1【解析】對(duì)任意x0，有f(x)x，f()×；對(duì)任意x0,1，有f(1x)f(x)1，f()f()1.f(x)在0,1)上為非減函數(shù)，f()f()1f()，f()，f()，f().對(duì)任意x，有f()f(x)f()，f(x)(x)，<<< f()f()，f()f()1.11.【解析】f1(x)|x1|x2|是“平底型”函數(shù)，存在區(qū)間1,2使得x1,2時(shí)，f(x)1，當(dāng)x<1或x>2

17、時(shí)，f(x)>1恒成立；f2(x)x|x2|不是“平底型”函數(shù)，不存在a，bR使得任取xa，b，都有f(x)常數(shù)12.【解析】(1) x在R上為減函數(shù)， g(x)110恒成立，即k恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)ex，即x0時(shí)，的最小值為4， k4.(2) 由(1)知：k(0，4時(shí)，g(x)在R上為減函數(shù)，又g(0)0>0，g(4)4， k4， (k4)e44<0,g(4)<0, g(x)0在(0，4)上有一個(gè)根xx0.又g(x)為減函數(shù)， g(x)0有且只有一個(gè)根xx0. g(x)為減函數(shù)， x>x0時(shí)，有 g(x)<g(x0)0，即f(x)-x<0,x>f(

18、x)，又f(x)=為增函數(shù)， x>f(f(x)（3） 設(shè)，且，由（1）知，時(shí)，在上為減函數(shù)， 其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在長(zhǎng)度為2的閉區(qū)間上“身高”最“矮”13.【答案】（1）當(dāng)a1時(shí)，f(x)(x0)，由f(x)0得：；由f(x)0得：0x所以，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)，單調(diào)減區(qū)間為(0,) （2）當(dāng)a2時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M(m，n) f(x)4x3(x0)，所以，切線的斜率k4m3又直線OM的斜率為，所以，4m3，即m2lnm10，又函數(shù)ym2lnm1在(0,)上遞增，且m1是一根，所以是唯一根，所以，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1（3）a時(shí)，由函數(shù)yf(x)在其圖象上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程

19、為：y(x0)(xx0)x02x02lnx0令h(x)(x0)(xx0)x02x02lnx0，設(shè)F(x)f(x)h(x)，則F(x0)0且F(x)f(x)h(x)x(x0)(xx0)()(xx0) (x)當(dāng)0x02時(shí)，x0，F(xiàn)(x)在(x0,)上單調(diào)遞增，從而有F(x)F(x0)0，所以，；當(dāng)x02時(shí)，x0，F(xiàn)(x)在(,x0)上單調(diào)遞增，從而有F(x)F(x0)0，所以，因此，yf(x)在(0，2)和(2，)上不存在“巧點(diǎn)”當(dāng)x02時(shí)，F(xiàn)(x)，所以函數(shù)F(x)在(0,)上單調(diào)遞減所以，x2時(shí)，F(xiàn)(x)F(2)0，；0x2時(shí)，F(xiàn)(x)F(2)0，因此，點(diǎn)(2，f(2)為“巧點(diǎn)”，其橫坐標(biāo)為2

20、14.【解析】解：(1) 由f(1a)f(1a)，得(1a)33(1a)22(1a)1(1a)33(1a)22(1a)1.即a(a1)(a1)0. a0， a1.(2) 令g(x)c，得xc，即x2cxb0.(*)由題意，方程(*)必須有兩正根，且兩根的算術(shù)平均值為x0. c0，b0，c24b0，x0.則0b對(duì)一切x0(3，4)均成立 b的取值范圍是(0，915.(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)2x3，當(dāng)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)時(shí)，f(x)<0;當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0.所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取極小值2.(2)f(x)2x1(x>0)，所以切線的斜率k2m1，整理得m2lnm

21、10.顯然m1是這個(gè)方程的解又因?yàn)閥x2lnx1在(0，)上是增函數(shù)，所以方程x2lnx10有唯一實(shí)數(shù)解，故m1.(3)當(dāng)a8時(shí)，函數(shù)yf(x)在其圖像上一點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線方程為h(x)(xx0)10x08lnx0.設(shè)F(x)f(x)h(x)，則F(x0)0，則F(x)f(x)h(x)(xx0).若,F(x)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，若x0>2，則F(x)在上單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)(x)>F(x0)0，此時(shí)，所以yf(x)在(0,2)和(2，)上不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”若x02時(shí)，則F(x)(x2)2，F(xiàn)(x)在(0，)上是增函數(shù)，當(dāng)x>x0時(shí)，F(xiàn)(x)>F(x0

22、)0；當(dāng)x<x0時(shí)，F(xiàn)(x)<F(x0)0，所以點(diǎn)P(x0，f(x0)為“轉(zhuǎn)點(diǎn)”故函數(shù)yf(x)存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，且2是“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)16.【解析】(1)y2x21(1x2)的端點(diǎn)為A(1,1)，B(2,7)，y4x，由y1得到切點(diǎn)為，當(dāng)k1時(shí)，與曲線C相切的直線只有一條結(jié)合題意可得，兩條平行直線中一條與曲線C：y2x21(1x2)相切，另一條直線過(guò)曲線的端點(diǎn)B(2，7)平行的兩條直線分別為：xy90和xy0.由兩條平行線間的距離公式可得，d(1).(2)曲線C：yx3x(1x2)的端點(diǎn)A(1,0)，B(2,6)，y3x21所以曲線C在點(diǎn)A(1,0)處的切線斜率為2，在點(diǎn)B(2,6)

23、處的切線斜率為11. 設(shè)斜率為k且過(guò)點(diǎn)A的直線為，過(guò)點(diǎn)B的直線為，為曲線上斜率為k的切點(diǎn).下面分兩種情況：當(dāng)k11時(shí)，由，得或. 因?yàn)镃：yx3x(1x2)，所以切點(diǎn)不在曲線C上，則曲線C上的所有點(diǎn)都在之間，所以d(k)；當(dāng)時(shí)，由，得，或. 因?yàn)镃：yx3x(1x2)，所以有且只有一條斜率為k的直線與曲線C相切由，得切線方程為，即設(shè)、在軸上的截距分別為、，則，因?yàn)?，所以因?yàn)?，令，則所以設(shè)，因?yàn)?，所以則函數(shù)上是單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，所以，則曲線上的所有點(diǎn)都在、之間.所以d(k).綜上得,17.解析(1)f(x)x1lnx(x>0)，f(x)1.當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0，f(x)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，f(x)遞增f(x)的最小值為f(1)0.(2)證明：由(1)知當(dāng)x>0