第八講 矩陣對策

1、對策現(xiàn)象對策現(xiàn)象 帶有競爭或斗爭性質(zhì)的現(xiàn)象帶有競爭或斗爭性質(zhì)的現(xiàn)象 對策論對策論 (game theory) 用數(shù)學方法研究對策現(xiàn)象的用數(shù)學方法研究對策現(xiàn)象的分支學科分支學科 對策現(xiàn)象的三要素對策現(xiàn)象的三要素 局中人局中人: 一局對策中的決策者或不相容利益的參一局對策中的決策者或不相容利益的參與者或競爭者與者或競爭者 策略策略： 局中人在整個決策過程中一系列行動的局中人在整個決策過程中一系列行動的一個方案一個方案 支付支付: 一局對策中最終結(jié)局獲得的收益或損失一局對策中最終結(jié)局獲得的收益或損失 每個局中人總希望取得盡可能大的勝利，即期望的每個局中人總希望取得盡可能大的勝利，即期望的“最小利益最

2、小利益” 為為 “最大最大”，“最大損失最大損失” 為為 “最最小小” 對策對策 有限對策有限對策 無限對策無限對策 零和對策零和對策 非零和對策非零和對策 多人對策多人對策 兩人對策兩人對策 最大最小原則最大最小原則兩人有限零和對策兩人有限零和對策局中人只有兩人；局中人只有兩人； 每人只有有限個對策；每人只有有限個對策； 局中人支付之和為零（贏為正；輸為負局中人支付之和為零（贏為正；輸為負 ）公司公司A，公司，公司B的同一產(chǎn)品競爭市場份額，各有的同一產(chǎn)品競爭市場份額，各有三種辦法擴大銷售額（由于市場需求一定，一三種辦法擴大銷售額（由于市場需求一定，一家擴大，意味另一家縮減），三種方法比如：家

3、擴大，意味另一家縮減），三種方法比如：改進包裝；廣告；降價公司改進包裝；廣告；降價公司A的三種的三種策略表示為策略表示為1, 2, 3，公司，公司B的三種策略為的三種策略為1, 2, 3，在不同策略下銷售量增長百分比，在不同策略下銷售量增長百分比不同下表中表示公司不同下表中表示公司A的增長率，而公司的增長率，而公司B的的即為相反數(shù)即為相反數(shù) 例例1 擴大銷售型擴大銷售型公公司司 A公司公司B -3- -10- -2矩陣表示為矩陣表示為 A 中行的編號為公司中行的編號為公司A的編號，稱的編號，稱“行方行方”的策略編的策略編號號 A 中列的編號為公司中列的編號為公司B的編

4、號，稱的編號，稱“列方列方”的策略編號的策略編號 矩陣矩陣 A 稱為甲方或行方的稱為甲方或行方的支付矩陣支付矩陣 021303212AGSS,21求：該矩陣對策的最佳方案求：該矩陣對策的最佳方案43211,aaaaS 43212,bbbbS 60310194238164321321aaaaGbbb1P ijmnmmnnmnggggggggggaaaGbbb2122221112112121maaaS,211的策略：的策略：nbbbS,2122P的策略：的策略：1P的贏得矩陣：的贏得矩陣：GSSGSSba,2121上述對策可簡化為：上述對策可簡化為：migij, 2, 1minj1）取每行的最小值

5、：）取每行的最小值：3）取每列的最大值：）取每列的最大值：2）從上述值中選最大值：）從上述值中選最大值：migij, 2, 1minmaxjnjgij, 2, 1maxii4）從）從3）項中選最大值：）項中選最大值：njgij, 2, 1maxminijj5）若）若 時，時，*maxminminmaxjiijijgggijji*iaP1的最優(yōu)純策略；的最優(yōu)純策略；*jbP2的最優(yōu)純策略；的最優(yōu)純策略；*,jiba對策的解；對策的解；*jigV對策對策*,jiba的值。的值。4216G4maxmin, 2minmaxijijggijjiijijggmaxminminmaxijji)1)(1 (4

6、)1 (2)1 (6),(yxyxyxxyyxE72273727yx72x73y722),(yxE3）當4）對x, y在閉區(qū)間0，1上的任何值，YEEXE,7273,7273,或時，GSS,21mS,211nS,212 nmijgG矩陣對策：矩陣對策：純策略集：純策略集：純策略集：純策略集：矩陣：矩陣：混合策略：混合策略：miiimxxxxxX12110,njjjnyyyyyY12110,混合策略：混合策略：支付（贏得）：支付（贏得）：minjjiijyxgYXE11,那么：那么：YXEYXEYXE,YX ,x如果存在如果存在，對任意，對任意yXYYXE,YX , 都成立時都成立時和和局中人局

7、中人P1的最優(yōu)策略；的最優(yōu)策略；局中人局中人P2的最優(yōu)策略；的最優(yōu)策略；對策的值；對策的值；對策的解；對策的解；miiimiiijxxnjVxgjXE1110, 2, 1,njjjnjjijyymiVygYiE1110, 2, 1,GSS,213211,S3212,S141511113G求最優(yōu)策略及對策的值。3, 2, 10153 ,42 ,31 ,321321321321ixxxxVxxxXEVxxxXEVxxxXEi1）列出求）列出求P1方的最優(yōu)策略方程組方的最優(yōu)策略方程組2）求取等號時的方程組解：）求取等號時的方程組解：1325134133136321Vxxx3, 2, 1014, 35

8、, 23, 1321321321321jyyyyVyyyYEVyyyYEVyyyYEj3）列出求）列出求P2方的最優(yōu)策略方程組方的最優(yōu)策略方程組4）求取等號時的方程組解：）求取等號時的方程組解：1325133134136321Vyyy5）134,133,136X133,134,136Y1325VP1方方P2方方對策的值對策的值e.g.5 玩命玩命 or or 膽小鬼對策膽小鬼對策 兩位駕車人駕車相向行駛，直到最后一秒才決定兩位駕車人駕車相向行駛，直到最后一秒才決定是拐彎還是不拐彎是拐彎還是不拐彎 可能發(fā)生下列幾種結(jié)果可能發(fā)生下列幾種結(jié)果 誰也不急拐彎，最后兩車相撞誰也不急拐彎，最后兩車相撞 給以給以0 值值 兩局中人均拐彎兩局中人均拐彎 給以值給以值3 一位局中人急轉(zhuǎn)彎，另一位未讓步而作為贏家一位局中人急轉(zhuǎn)彎，另一位未讓步而作為贏家 給急轉(zhuǎn)彎者以給急轉(zhuǎn)彎者以1 分，不轉(zhuǎn)彎者以分，不轉(zhuǎn)彎者以5 分分 局中人局中人II I 局局中中人人 I I=急轉(zhuǎn)急轉(zhuǎn) 1=不轉(zhuǎn)不轉(zhuǎn) 21=急轉(zhuǎn)急轉(zhuǎn) =不轉(zhuǎn)不轉(zhuǎn) 23150局中人局中人I 局局中中人人II=急轉(zhuǎn)急轉(zhuǎn) 1=不轉(zhuǎn)不轉(zhuǎn) 21=急轉(zhuǎn)急轉(zhuǎn) =不轉(zhuǎn)不轉(zhuǎn) 23510I 的支付矩陣的支付矩陣 II 的支付矩陣的支付矩陣 此對策中，若兩者都想得此對策中，若兩者都想得5 分，則發(fā)生慘禍，分，則發(fā)生慘禍，全部玩完實際上兩人最