反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、§ 2.3 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)x=巴y)是直接函數(shù)，y = f(x)是它的反函數(shù)，假定x = 邛(y)在Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，而且 叫y0,則反函數(shù)y = f(x)在問Ixqxny)，產(chǎn)Iy內(nèi)也是單 調(diào)、可導(dǎo)的，而且f (x)=17Ty)6 / 6(1)證明：lx,給x以增量©(/0,"狄7)由y = f(x)在Ix上的單調(diào)性可知y = f (x :=x) - f (x) = 0二y 1x jx于是：y因直接函數(shù)x=9(y)在Iy上單調(diào)、可導(dǎo)，故它是連續(xù)的，且反函數(shù)y = f(x)在Ix上也是連續(xù)的，當(dāng) 甌-* 0時(shí)，必有Nt 0：y

2、 ,11hmo7x=hym0X=Zf (x)=【例11試證明下列基本導(dǎo)數(shù)公式(1). ( arcsin x )(2 ). ( arctgx11 x2(3). (log ax )1x ln a證1、設(shè)x=siny為直接函數(shù)，y =a9sinx是它的反函數(shù)i =（-,-）函數(shù)x=smy在y 2 2上單調(diào)、可導(dǎo)，且x=cosy#0因此，在Ix =（ T 1 ）上,(arcsinx) =1- cos yH JIy -（ 一一,一）注意到，當(dāng)2 2,時(shí),22cos y >0 cosy = 41 sin y = V1 - x因此,(arcsin x)n jiI二(.)證 2 設(shè) xEgy, y (

3、2,2)則y = arctgx Ix =( -00 J8)x 二-2-0x=tgy在1y上單調(diào)、可導(dǎo)且 cos y(arctgx)故1(tgy)2=cos y =丁1 tg y11 x2x1(log a ) 二k (a )1y .a ln a_1x In a類似地，我們可以證明下列導(dǎo)數(shù)公式:(arccos x) 1 -1 -x2(arcctgx )1(ln x )= x二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如果u=叫x）在點(diǎn)xo可導(dǎo),而y=f（u）在點(diǎn)M=<P（x0）可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y = f N（x）在點(diǎn)xo可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)為dy皿=f（U0）邛（x0） dx xbr 一 lim X = f （uo）一

4、，、，.證明：因由-0 Ax,由極限與無窮小的關(guān)系，有匚y = f （u0）lu YA ：、u（當(dāng)：u0日i,0）用Ax# 0去除上式兩邊得：二ylul u二f （u0） -xx x由u=9（x）在x0的可導(dǎo)性有:lim 二二lim =二0xt 0u Mt 0, At。-j0yu u,lim =lim f （u。） 一 x0 Lxx0二xLx.uu=f （u0） lim lim 工 lim .x 0 x .x-o.x-o x=f （u。）：（x。）dy = f （u。）小。）即 dx x為上述復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可作更一般的敘述：若口 = *（X）在開區(qū)間lx可導(dǎo)，V = f（U）在開區(qū)間IU可

5、導(dǎo)，且V X三Ix時(shí)，對應(yīng)的u三Iu,則復(fù)合函數(shù)y= f *（x）在Ix內(nèi)可導(dǎo)，且dy dy du =tdx du dx（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是一個(gè)非常重要的法則，特給出如下注記：(1).求導(dǎo)法則(2)稱之為鎖鏈法典I 復(fù)合函數(shù)y = F()，" = (力)的 變量關(guān)系鏈為；y-u-x欲求)對才的導(dǎo)數(shù)，先對J的導(dǎo) 數(shù)%,再求m對式的導(dǎo)數(shù)會(huì)，最后將它們相乘處也.du dx弄懂了鎖鏈規(guī)則的實(shí)質(zhì)之后，不難給出復(fù)合更多層函數(shù)的求導(dǎo)公式。dy【例2】y = f中g(shù)(x),求dx引入中間變量，設(shè)v ="幻，口 =中(0，于是y = f(u)變量關(guān)系是yuVX,由鎖鏈規(guī)則有:dy dy

6、du dv dx du dv dx(2)、用鎖鏈規(guī)則求導(dǎo)的 關(guān)鍵引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)。還應(yīng)注意：求導(dǎo)完成后,應(yīng)將引入的中間變量代換成原自變量。dy【例3】求y = sin2x的導(dǎo)數(shù)dx。解：設(shè)u = 2x ,則y = sin u , u = 2x ,由鎖鏈規(guī)則有:dydx_ dy dududx三(sin u) (2x)' = (cosu) 2 = 2cos2x【例4】, x dy=ln tg 2 ,求 dx。x解：引入中間變量丫=一,虱=電節(jié),2函數(shù)可分解成y = ln,U = tgVf著名例dy _ dy du dv由鎖鏈規(guī)則有 dx dudv dxcos2 v（基本初等函數(shù)求導(dǎo)）x tg - cos（消中間變量）sin x由上例，不難發(fā)現(xiàn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)竅門中間變量在求導(dǎo)過程中，只是起過渡作用，熟練之后，可不必引入，僅需“心中有鏈”In*-吟中閽變置用久中間變置）H自變）然后，對函數(shù)所有中間變量求導(dǎo)，直至求到自變量為止，最后諸導(dǎo)數(shù)相乘。請看下面的演示過程:dyxdx=(lntg 2)1tgix(tg -)2 x cos 一1 1x x