【數(shù)學(xué)建模】國家財(cái)政收入的影響因素的評(píng)價(jià)及預(yù)期收入的預(yù)測

1、國家財(cái)政收入的影響因素【摘要】國家的財(cái)政收入與國民收入、工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、總?cè)丝凇⒕蜆I(yè)人口、固定資產(chǎn)投資等因素有關(guān)。首先，我們根據(jù)所給數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性分析。之后，我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了回歸分析，構(gòu)造了預(yù)測模型，獲得了模型的回歸系數(shù)估計(jì)值，然后，考慮到每個(gè)回歸系數(shù)置信區(qū)間包含零點(diǎn)與否的情況，我們對(duì)模型進(jìn)行了一系列的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并對(duì)模型進(jìn)行了消除序列相關(guān)性的改進(jìn)，使模型通過了各個(gè)統(tǒng)計(jì)的檢驗(yàn)。之后，我們代入所給數(shù)據(jù)1953年-1980年的各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，得到預(yù)測值與實(shí)際值的擬合效果較好，預(yù)測較準(zhǔn)確。最后，我們根據(jù)網(wǎng)絡(luò)上查到的數(shù)據(jù)，利用該模型對(duì)1990年和2000年的財(cái)政收入作出預(yù)測，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了

2、分析。關(guān)鍵詞：MATLAB Eviews 財(cái)政收入 回歸模型 LM檢驗(yàn) 序列相關(guān)性一、 問題重述國家的財(cái)政收入與國民收入、工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、總?cè)丝凇⒕蜆I(yè)人口、固定資產(chǎn)投資等因素有關(guān)，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，構(gòu)造預(yù)測模型，并利用該模型對(duì)1990年和2000年的財(cái)政收入作出預(yù)測。二、 問題假設(shè)1. 財(cái)政收入只可能與問題重述中提到的6個(gè)因素有關(guān)，而與其它因素?zé)o關(guān)；2. 所給數(shù)據(jù)真實(shí)準(zhǔn)確，無錄入錯(cuò)誤。3. 不考慮偏差大的數(shù)據(jù)，在建模中把異常點(diǎn)的數(shù)據(jù)剔除。三、符號(hào)說明y：財(cái)政收入；x1：國民收入；x2：工業(yè)總產(chǎn)值；x3：農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值；x4：總?cè)丝?；x5：就業(yè)人口；x6：固定資產(chǎn)投資；0，1，2

3、，3，4，5，6：回歸系數(shù)；E：隨機(jī)誤差。X1(-1)，X3(-1)，X6(-1)：x1，x3，x6的一階滯后項(xiàng)；YF：財(cái)政收入的預(yù)測值四、問題分析、模型的建立與求解1.問題的分析首先對(duì)數(shù)據(jù)作初步分析。分別用MATLAB作出財(cái)政收入與6個(gè)因素的散點(diǎn)圖，從中找出異常的點(diǎn)，從而把異常的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)剔除： 圖1 x1-y散點(diǎn)圖圖2 x2-y散點(diǎn)圖圖3 x3-y散點(diǎn)圖圖4 x4-y散點(diǎn)圖圖5 x5-y散點(diǎn)圖由該圖可以明顯看出，最右邊有一個(gè)異常點(diǎn)：1981年就業(yè)人口攀升為73280，較之前有大幅度增長，但財(cái)政收入明顯地低于預(yù)測值，為使個(gè)別數(shù)據(jù)不致影響整個(gè)模型，我們將該異常數(shù)據(jù)去掉。去掉后的x5-y散點(diǎn)

4、圖如下：圖6 去掉異常點(diǎn)后的x5-y散點(diǎn)圖圖7 x6-y散點(diǎn)圖2.模型的建立從以上的散點(diǎn)圖可以看出財(cái)政收入Y與x1x6大致都呈現(xiàn)線性的關(guān)系，我們?cè)僖胍粋€(gè)常量回歸系數(shù)0，作出了初步的模型：y=0+1x1+2x2+3x3+4x4+5x5+6x6+E （1）3.模型的求解首先我們剔除掉因?yàn)?981年就業(yè)人口對(duì)財(cái)政收入影響異常的特殊點(diǎn)（見圖6），之后利用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中命令regress求解，得到模型（1）的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信區(qū)間（置信水平=0.05）、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量R2，F(xiàn)，p的結(jié)果見表1。參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間0-15.5344-366.5816 335.512710.51000.2

5、301 0.78982-0.0259-0.0769 0.02513-0.5905-0.9901 -0.190840.0113-0.0028 0.02545-0.0230-0.0492 0.003260.3419-0.0387 0.7225R2=0.9840，F(xiàn)=225.8953，p=0.0000表1 模型（1）的計(jì)算結(jié)果表1顯示，R2=0.9840指因變量y（財(cái)政收入）的98.40%可由模型（1）的自變量的變化來解釋，F(xiàn)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過F檢驗(yàn)的臨界值，p=0遠(yuǎn)小于，因而模型（1）從整體來看是可用的。表1的回歸系數(shù)給出了模型（1）中0，1，2，3，4，5，6的估計(jì)值，即，。檢查它們的置信區(qū)間發(fā)現(xiàn)，0，

6、2，4，5，6的置信區(qū)間包含零點(diǎn)。從估計(jì)結(jié)果來看，模型可能存在多重共線性。原因如下：在5%的顯著性水平下，由置信區(qū)間可以看出除x1與x3外，所有回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)值均小于臨界值；但F統(tǒng)計(jì)量的值225.8953遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于臨界值，且擬合優(yōu)度很高，解釋變量對(duì)被解釋變量有顯著的解釋性能力。應(yīng)用Eviews軟件，采用菜單操作可得各解釋變量之間的相關(guān)系數(shù)表，結(jié)果見表2： 表2 從上圖可以看出六個(gè)解釋變量之間兩兩簡單相關(guān)關(guān)系都在80%以上，甚至有的在98%以上，超過了擬合優(yōu)度，這表明模型存在嚴(yán)重的多重共線性。4.模型的改進(jìn)根據(jù)以上的分析，我們采用逐步回歸法來確定回歸模型。第一步，用每個(gè)解釋變量分別對(duì)被解釋變量做

7、簡單回歸，從而決定解釋變量的重要程度，為解釋變量排序。應(yīng)用Eviews軟件，采用菜單操作可得各解釋變量與被解釋變量的擬合優(yōu)度：x1的擬合優(yōu)度R2=0.951223 x2的擬合優(yōu)度R2=0.937951、x3的擬合優(yōu)度R2 =0.843960 、X4的擬合優(yōu)度R2= 0.865832 、x5的擬合優(yōu)度R2 = 0.860956 x6的擬合優(yōu)度R2 = 0.939462根據(jù)t統(tǒng)計(jì)量的大小排序，可見解釋變量的重要程度依次為：x1，x6，x2，x4，x5，x3 。第二步，以Y=21.82266+0.3233378X1為基礎(chǔ)，依次引入x6，x2，x4，x5，x3 。 根據(jù)逐步回歸法的原則，最終確定的模型

8、（2）為： Y=163.1010+0.406223X1-0.49127X3+0.330958X6 （2）其中其模型的分析結(jié)果為： 表3 模型（2）的計(jì)算結(jié)果由上表可以看出，模型（2）的所有變量的參數(shù)都通過了t檢驗(yàn)，且F值為440.9664，比模型（1）的F值大很多，這說明模型的顯著性是可以通過的。但模型（2）的DW值是1.505283，又對(duì)于顯著性水平=0.05，n=29，k=3，查D-W分布表，得到檢驗(yàn)的臨界值dL=1.27和dU=1.56，由此可知，模型（2）的DW值位于臨界值dL和 dU之間，因此不能判斷模型是否存在序列相關(guān)性。下面用LM檢驗(yàn)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停?）是否存在序列相關(guān)性，首先檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

9、的一階序列相關(guān)性。應(yīng)用Eviews軟件，采用菜單操作可得LM檢驗(yàn)的結(jié)果，結(jié)果見表4： 表4由上圖可得，存在一階序列相關(guān)的概率P=0.358645>0.05，所以認(rèn)為模型存在一 階序列相關(guān)性。下面檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠翊嬖趦呻A序列相關(guān)性。應(yīng)用Eviews軟件，采用菜單操作可得LM檢驗(yàn)的結(jié)果，結(jié)果見表5： 表5由上圖可知，存在兩階序列相關(guān)的概率P=0.036411<0.05，所以認(rèn)為模型不存在兩階序列相關(guān)性。綜上兩點(diǎn)可知，模型（2）只存在一階序列相關(guān)性，不存在兩階或兩階以上的序列相關(guān)性。下面應(yīng)用Eviews軟件，采用菜單操作運(yùn)用廣義差分法進(jìn)行自相關(guān)的處理。所得結(jié)果為表6： 表6 修正后的模型（2

10、）的計(jì)算結(jié)果由此可知，在Eviews軟件包下，1階廣義差分的估計(jì)結(jié)果為： Y=170.0423+0.396846X1-0.49698410X3+0.36841X6+0.217615AR(1) （3）AR(1)前的參數(shù)值為隨機(jī)干擾項(xiàng)的一階序列相關(guān)系數(shù)。對(duì)于顯著性水平=0.05，n=28，k=3，查D-W分布表，得到檢驗(yàn)的臨界值dL=1.26和dU=1.56，又由上圖可知， 修正后的模型（2）的DW值為1.599760> dU=1.56且<4-dU，由此認(rèn)為修正后的模型（2）不存在一階序列相關(guān)性。所以修正后的模型為：Y-0.217615Y(-1)=163.1010(1-0.217615

11、)+0.406223(X1-0.217615X1(-1)-0.49127(X3-0.217615X3(-1)+0.330958(X6-0.217615X6(-1) （4）5.結(jié)果分析從表面上看，經(jīng)過用廣義差分法修正后的模型（2）已經(jīng)不存在序列相關(guān)性了，這就說明模型排除了序列相關(guān)性的干擾。用廣義差分法修正后的模型（2）的擬合度已經(jīng)達(dá)到了R2=0.98，這表明財(cái)政收入的98%可以由解釋變量x1、x3、x6解釋。殘差E=F-FY可以作為隨機(jī)誤差的估計(jì)值，畫出隨機(jī)誤差E的走勢(shì)圖（圖8）能夠從直觀上判斷的自相關(guān)性。圖8 修正后的模型（2）E的走勢(shì)圖從圖8可以看出，隨機(jī)誤差項(xiàng)E的走勢(shì)大概呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

12、趨勢(shì)，這表明E幾乎不存在自相關(guān)性了。下面，我們將使用修正后的模型（2）對(duì)之前數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)價(jià)：年份1953195419551956195719581959實(shí)際值216248254268286357444預(yù)測值197.0488241.8454235.6226276.3688267.6546375.1301483.6987年份1960196119621963196419651966實(shí)際值506271230266323393466預(yù)測值517.5848305.6149233.9238255.0631301.5687377.6023431.3645年份196719681969197019711972197

13、3實(shí)際值352303447564638658691預(yù)測值376.7942349.9542448.8678553.8521614.6158635.7772667.8887年份1974197519761977197819791980實(shí)際值655692657723922890826預(yù)測值662.9507718.7919672.9797723.4487829.0786878.6001893.5268表7 財(cái)政收入的預(yù)測值與實(shí)際值對(duì)比 圖9 財(cái)政收入預(yù)測值與實(shí)際值的擬合圖從上可以看到，預(yù)測值與實(shí)際值還是相當(dāng)吻合的。之后，我們查閱了1990年及2000年的國民收入、工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、總?cè)丝?、就業(yè)人口

14、、固定資產(chǎn)投資，代入模型（2）。結(jié)果如下：年份國民收入工業(yè)總產(chǎn)值農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值總?cè)丝诰蜆I(yè)人口固定資產(chǎn)投資199011412.9622452.27514611295463931.94517200098000.575710.6913873.612674372116.7732917.7年份財(cái)政收入（預(yù)測值）財(cái)政收入（實(shí)際值）19903766.22821.8620004405213395.23表8 1990年和2000年財(cái)政收入預(yù)測值與實(shí)際值對(duì)比數(shù)據(jù)來源自CNKI中國統(tǒng)計(jì)年鑒數(shù)據(jù)庫從表8可以看到，1990年預(yù)測值與實(shí)際值和2000年的預(yù)測值都相差較大，原因不一定是模型建立的偏差大，還有可能是其他原因，如在

15、查閱數(shù)據(jù)時(shí)，我們就發(fā)現(xiàn)了2000年的工業(yè)總產(chǎn)值數(shù)據(jù)注明了“1990年不變價(jià)格”，而其余數(shù)據(jù)沒有此說明項(xiàng)；且1980年后國家實(shí)行了改革開放的經(jīng)濟(jì)政策，經(jīng)濟(jì)的發(fā)展規(guī)律發(fā)生了很大的變化，用1980年以前的數(shù)據(jù)建立起來的模型去預(yù)測1980年后的一些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)自然會(huì)有較大的偏差。并且，在固定資產(chǎn)投資一欄，我們查到了非常詳細(xì)的分類，固定資產(chǎn)投資資金來源中國家預(yù)算內(nèi)資金，固定資產(chǎn)投資資金來源中國內(nèi)貸款，固定資產(chǎn)投資資金來源中自籌和其他資金等備注，而題目并未給出，這給我們篩選數(shù)據(jù)帶來了極大的困難?？偟膩碚f，模型對(duì)于1952-1980年的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)來說，依然有一定的參考價(jià)值和預(yù)測價(jià)值，但由于各種方面的原因與因素，對(duì)

16、于1990年和2000年預(yù)測值與實(shí)際值的匹配程度是有限。五、模型的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)模型的決定系數(shù)R2=0.98較高，且都是一次項(xiàng)，計(jì)算簡便。消除了模型中出現(xiàn)的序列相關(guān)性和多重共線性，對(duì)19521980年之間的數(shù)據(jù)預(yù)測效果較好。缺點(diǎn)對(duì)1981年之后的數(shù)據(jù)預(yù)測值逐漸產(chǎn)生偏差，只適用于預(yù)測所用數(shù)據(jù)的時(shí)間段，有效的預(yù)測時(shí)間段較段。六、模型的推廣與改進(jìn)從前文的分析來看，我們認(rèn)為1981年后，物價(jià)、通貨膨脹、人民幣幣值等因素極大地影響了我們的預(yù)測數(shù)據(jù)，若補(bǔ)充上物價(jià)衡量指數(shù)，消費(fèi)水平指數(shù)（CPI）等數(shù)據(jù)，模型的擬合度效果應(yīng)該會(huì)更準(zhǔn)確，而且加上這些因素后，對(duì)以后時(shí)間段的預(yù)測應(yīng)該會(huì)更長，偏差也會(huì)更小。七、附件（1）導(dǎo)入

17、數(shù)據(jù)的程序：a=xlsread('C:Documents and Settingssyzx10桌面新建 Microsoft Excel 工作表.xls')（2）畫散點(diǎn)圖的程序： 圖1 plot(a(:,2),a(:,8),'*');xlabel('國民收入');title('財(cái)政收入(億元');圖2plot(a(:,3),a(:,8),'*');xlabel('工業(yè)總產(chǎn)值');title('財(cái)政收入(億元');圖3plot(a(:,4),a(:,8),'*');xla

18、bel('農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值');title('財(cái)政收入(億元');圖4plot(a(:,5),a(:,8),'*');xlabel('總?cè)丝?#39;);title('財(cái)政收入(億元');圖5plot(a(:,6),a(:,8),'*');xlabel('就業(yè)人口');title('財(cái)政收入(億元');圖6plot(a(1:29,6),a(1:29,8),'*');xlabel('就業(yè)人口');title('財(cái)政收入(億元');圖7p

19、lot(a(:,7),a(:,8),'*');xlabel('固定資產(chǎn)投資');title('財(cái)政收入(億元');（3）模型（1）的MATLAB程序：x1=598,586,707,737,825,837,1028,1114,1079,757,677,779,943,1152,1322,1249,1187,1372,1638,1780,1833,1978,1993,2121,2052,2189,2475,2702,2791'x2=349,455,520,558,715,798,1235,1681,1870,1156,964,1046,125

20、0,1581,1911,1647,1565,2101,2747,3156,3365,3684,3696,4254,4309,4925,5590,6065,6592'x3=461,475,491,529,556,575,598,509,444,434,461,514,584,632,687,697,680,688,767,790,789,855,891,932,955,971,1058,1150,1194'x4=57482,58796,60266,61465,62828,64653,65994,67207,66207,65859,67295,69172,70499,72538,7

21、4542,76368,78534,80671,82992,85229,87177,89211,90859,92421,93717,94974,96259,97542,98705'x5=20729,21364,21832,22328,23018,23711,26600,26173,25880,25590,25110,26640,27736,28670,29805,30814,31915,33225,34432,35620,35854,36652,37369,38168,38834,39377,39856,40581,41896'x6=44,89,97,98,150,139,256

22、,338,380,138,66,85,129,175,212,156,127,207,312,355,354,374,393,462,443,454,550,564,568' Y=184,216,248,254,268,286,357,444,506,271,230,266,323,393,466,352,303,447,564,638,658,691,655,692,657,723,922,890,826' X=ones(29,1),x1,x2,x3,x4,x5,x6; b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X) （4）求得的各解釋變量與被解釋變量的擬合優(yōu)