有限元第七章材料非線性問題的有限元

1、第七章材料非線性問題的有限元法7.1引言前面各章所講述的問題，都屬于線性變形體系。所謂線性變形體系是指位移與載荷呈線性關(guān)系的體系，而且當(dāng)載荷全部撤除后，體系將完全恢復(fù)原始狀態(tài)。這種體系也稱為線性彈性體系，它需滿足下列條件：（1）材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系滿足虎克定律：（2）位移是微小的；（3）所有約束均為理想約束。在分析線性彈性體系時(shí)，可以按照體系變形前的幾何位置和形狀建立平衡方程，并且可以應(yīng)用疊加原理。根據(jù)這種理論建立起來的方程是線性的，對于小應(yīng)變和小位移的情形這種分析是適用的。實(shí)際結(jié)構(gòu)的位移與載荷可以不呈線性關(guān)系，這樣的體系稱為非線性變形體系。如果體系的非線性是由于材料應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的非線性引起

2、的，則稱為材料非線性，如材料的彈塑性性質(zhì)、松馳、徐變等。如果結(jié)構(gòu)的變位使體系的受力發(fā)生了顯著的變化，以至不能采用線性體系的分析方法時(shí)就稱為幾何非線性，如結(jié)構(gòu)的大變形、大撓度的問題等。還有一類非線性問題是邊界條件非線性，或狀態(tài)非線性，如各種接觸問題等。但本書只討論前兩類非線性問題的有限元解法，即材料非線性和幾何非線性問題的有限元解法，對接觸問題的有限元解法，讀者可參考其它書籍。材料非線性問題的處理相對比較簡單，通常不必修改整個(gè)問題的表達(dá)式，而只需將應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系線性化，求解一系列的線性問題，并通過某種校正方法，最終將材料特性調(diào)整到滿足給定的木構(gòu)關(guān)系，從而獲得了問題的解。對于幾何非線性問題，那就需要

3、對公式進(jìn)行根本的修改，這個(gè)問題將在后面詳細(xì)討論，不過應(yīng)該指出，用于求解材料非線性問題的基本迭代方法也同樣適用于幾何非線性問題的求解。事實(shí)上，有些工程結(jié)構(gòu)問題同時(shí)具有這兩類非線性性質(zhì)，它們可以統(tǒng)一地加以處理。本章將首先介紹用有限元方法處理非線問題的一般方法，然后討論這些方法在非線性彈性、彈塑性和蠕變問題中的應(yīng)用。在介紹彈塑性問題的處理方法前，為便于討論，需扼要敘述一下Mises屈服準(zhǔn)則和Prandtl-Reuss塑性流動理論，并據(jù)此寫出彈塑性矩陣表達(dá)式。最后對平面剛架的極限分析做了簡要介紹。7.2非線性問題的一般處理方法非線性問題用有限元法離散化應(yīng)得到如下形式的一組代數(shù)方法：或?qū)懗?（7.1）其

4、中。雖然線性方程組直接求解并無困難，但對于方程組（7.1），單元剛變矩陣是單元節(jié)點(diǎn)位移向量的函數(shù)，直接求解就行不通。然而，下面介紹的非線性方程組的各種解法，仍以反復(fù)地求解線性方程組去獲得滿足一定精度要求的非線性方程組的解答。對于方程（7.1） （7.2）最簡單的求解方法是直接迭代法。開始求解時(shí)先假定一組初始值代入上式的中，可求得改進(jìn)了的一次近似值式中 重復(fù)上述過程，將迭代格式寫成迭代一直進(jìn)行到誤差的某種范數(shù)小于預(yù)先規(guī)定的容許值er，即滿足則停止?？梢钥闯觯摲ǖ拿恳淮蔚夹栊纬梢淮蜗禂?shù)矩陣，并求解一次線性代數(shù)方程組。這里還隱含著一個(gè)假定，系數(shù)矩陣可以表示成的顯函數(shù)，因此該法只適用于與變形歷史

5、無關(guān)的非線性問題，例如非線性彈性問題及可利用形變理論分析的彈塑性問題。而對于依賴于變形歷史的非線性問題，直接迭代法是不適用的，例如加載路徑不斷變化或涉及卸載及反復(fù)加載等必須利用增量理論分析的彈塑性問題。圖7.1顯示了單變量問題中這種迭代過程收斂和發(fā)散的可能性。通常，如曲線是凹的，則迭代發(fā)散。 圖7.1 直接迭代法若已獲得方程（7.1）的第n次近似解，為了求得改進(jìn)的近似解，可利用僅保留線性項(xiàng)的Taylor級數(shù)展開式 （7.3）則有 （7.4）前式中為切線矩陣，即 （7.5）于是從式（7.3）可以得到式（7.4）中的 （7.6）重復(fù)上述迭代過程，直至達(dá)到所要求的精度。Newton-Raphson方

6、法的迭代過程示于圖7.2中，通常迭代過程是收斂的。但當(dāng)所選取的初始值偏離真實(shí)解較大時(shí)，正如圖7.2（b）所表示的那樣，發(fā)散也是可能的。 圖7.2Newton-Raphson迭代法由式（7.3）看出，該法在每項(xiàng)迭代中必須重新形成一個(gè)系數(shù)陣并求解一次線性代數(shù)方程組。應(yīng)該指出，如果原始的離散化方程組是通過變分原理導(dǎo)出的，則切線剛度矩陣總是對稱的，而利用直接迭代法，系數(shù)矩陣的這種對稱性不一定能保持。Newton-Raphson方法（簡稱修正的NR法）為克服Newton-Raphson方法中每次迭代都需形成一次系數(shù)矩陣和求解一次方程組的缺點(diǎn)，通常切線矩陣總是采用它的初始值，即令 （7.7）因此式（7.6

7、）現(xiàn)在變成 （7.8）這樣，每次迭代求解的是系數(shù)矩陣相同的方程組。對于這種系數(shù)矩陣不變的線性方程組，如果我們在迭代的開始就將求逆或分解，則以后每次迭代只須進(jìn)行一次回代過程。因而每次迭代的計(jì)算工作量大大地減小了，但收斂速度卻變得較慢。不過從總的效果看，還是合算的。圖7.3表示了這種方法的迭代過程。一種改進(jìn)方案是在迭代若干次后就將切線矩陣修正一次，修正到當(dāng)前的值，這一改進(jìn)方案有時(shí)是非常有效的。 圖7.3修正的Newton-Raphson迭代法為了便于理解，假定方程（7.1）式表達(dá)的是結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析問題，其中代表結(jié)構(gòu)的位移，代表結(jié)構(gòu)的載荷。所謂增量法首先將載荷分為若干步：，相應(yīng)的位移也分為若干步：。每

8、二步之間的增長量稱為增量。增量解法的一般做法是假設(shè)第m步載荷和相應(yīng)的位移為已知，而后讓載荷增加為，再求解。如果每步載荷增量足夠小，則解的收斂性是可以保證的。同時(shí)，可以得到加裁過程的中間結(jié)果。為了說明這一方法，可將式（7.1）改寫成 （7.9）其中是描述載荷變化的參數(shù)。將上式對入求導(dǎo)，得到由此得出 （7.10）式中仍為切線矩陣。有多種方法可用來求典型常微分方程（7.10）的解。其中最簡單的是Euler法，它可表達(dá)成 （7.11）其中下標(biāo)指示增量加載的次數(shù)，即或在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中，由于并不用式（7.9），而是用其增量形式（7.10），所以解常會發(fā)生漂移現(xiàn)象。為了克服這一缺點(diǎn)，可將N-R法或修正的N

9、-R法用于每一增量步。如采用N-R法，則對于的m+1次增量步，和N-R法的第n+1次迭代表達(dá)式可寫成（7.13）式中是時(shí)第n次改進(jìn)的切線矩陣。由上式解出，則 （7.14）開始迭代時(shí)，取，然后連續(xù)地進(jìn)行迭代，直至方程（7.9）在時(shí)能夠在規(guī)定誤差范圍內(nèi)被滿足。由式（7.13）可以看出，當(dāng)采用N-R法進(jìn)行迭代時(shí)，每次迭代都需重新形成，并求解一次代數(shù)方程組，致使計(jì)算工作量很大。因此通常采用修正的N-R法，這時(shí)式（7.13）中的應(yīng)代之為 （7.15）如果每一增量步采用N-R法進(jìn)行一次迭代，由式（7.13）則有 （7.16）且假定在前一增量步結(jié)束時(shí)支配方程（7.9）是精確滿足的，即則有 （7.17）這實(shí)際

10、上就就是Euler法，即式（7.11）。不過采用式（7.16）時(shí)，能將前一步支配方程的誤差在本次增量步中加以校正，這是帶自校正的增量法。采用此法解方程時(shí)，解的漂移不嚴(yán)重。本節(jié)所討論的上述算法是目前用于求解離散的非線性方程組的常用算法。由于用有限元分析非線性問題計(jì)算工作量很大，且有時(shí)收斂很慢甚至?xí)?dǎo)致解的發(fā)散，因而引起許多計(jì)算工作者的關(guān)注。一些加速收斂的措施和方法，好的修正計(jì)算方案已相繼提出。讀者如有需要可查閱有關(guān)文獻(xiàn)。在以上介紹的各種解法中，很難說哪一種算法最好。因?yàn)樵谀撤N情況下最經(jīng)濟(jì)有效的方法，在另一種情況下則不然，甚至解收斂很慢或不收斂。不過，要為一個(gè)通用程序編入一種解法時(shí)，增量法是合宜的

11、。因?yàn)橹灰x擇足夠小的增量步，解總是收斂的，如可能，還可在每一增量步中采用N-R法或修正的N-R法，使計(jì)算結(jié)果滿足一定的要求。7.3非線性彈性力學(xué)問題如果我們只考慮小變形，則平衡方程在整個(gè)求解域內(nèi)可寫成 （7.18）上式中的積分運(yùn)算實(shí)際上應(yīng)逐個(gè)單元進(jìn)行，并按單元集成法把它們對節(jié)點(diǎn)的平衡的貢獻(xiàn)進(jìn)行疊加。右端節(jié)點(diǎn)力向量也由單元集成法形成。幾何關(guān)系可寫成 （7.19）但此時(shí)物理關(guān)系是非線性的，一般可寫成 （7.20）由式（7.18）至（7.20）可以導(dǎo)出與非線性方程組（7.1）相同的表達(dá)式因而上節(jié)中所討論的各種解法，原則上都可在此應(yīng)用。根據(jù)非線性彈性力學(xué)問題中非線性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系的不同表達(dá)方式，可以

12、產(chǎn)生下列幾種求解方案。直接迭代法如果材料的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系能表達(dá)成于是由式（7.19）可將應(yīng)力寫成將上式代入式（7.18）后，得 （7.21）其中用迭代法求解方程（7.21）時(shí)，總是首先取，然后求出，由求出位移的第一次近似值。重復(fù)這一過程，迭代格式為 （7.22）切線剛度法（即N-R法）如果材料的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系能表示成增量關(guān)系 （7.23）式中為切線彈性矩陣，可將式（7.18）改寫為 （7.24）將對求導(dǎo)，注意到關(guān)系式（7.23），則有 （7.25）式中 （7.26）是切線剛度矩陣。在N-R法迭代中，可首先取，由式（7.19）求得，再由式（7.23）確定。將代入式（7.26）求出，并由式（7.2

13、4）求出，由。解出，于是得到位移的第一次近似值為。重復(fù)上述過程，可將迭代公式表示為 （7.27）式中 （7.28）我們知道，式（7.28）右端的第一項(xiàng)是與相等價(jià)的節(jié)點(diǎn)載荷，因而可理解為結(jié)構(gòu)上的不平衡節(jié)點(diǎn)載荷向量，每迭代一次相當(dāng)于對不平衡節(jié)點(diǎn)載荷作一次矯正。初應(yīng)力法初應(yīng)力法實(shí)質(zhì)上是修正的N-R法的具體應(yīng)用。如果材料的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系可以表示成 （7.29）即應(yīng)力分量能由給定的應(yīng)變分量確定，我們就可以用具有初應(yīng)力的線彈性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系 （7.30）去代替上式。其中D采用非線性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系式在時(shí)的切線彈性矩陣。這就是說，可用調(diào)整初應(yīng)力值的方法，使在給定應(yīng)變下，用式（7.30）算得的應(yīng)力與用式（7.2

14、1）算出的結(jié)果相同。于是有 （7.31）其中。在一維情況下初應(yīng)力的定義見圖7.4 圖7.4初應(yīng)力法如令 （7.32）為結(jié)構(gòu)的起始切線剛度矩陣，則將式（7.30）代入（7.18），得 （7.33）式中 （7.34）為與初應(yīng)力等價(jià)的節(jié)點(diǎn)載荷。根據(jù)式（7.33），可以采用如下迭代步驟：首先由下式計(jì)算第一次近似位移由求出，用式（7.31）求出初應(yīng)力由式（7.34）求出用對位移進(jìn)行一次矯正于是位移的第二次近似值是繼續(xù)進(jìn)行這種矯正，直至收斂。由此可見，用初應(yīng)力法迭代時(shí)，每一步都是根據(jù)真實(shí)應(yīng)力與彈性應(yīng)力之差決定初應(yīng)力的，并從而決定不平衡的節(jié)點(diǎn)載荷，依次進(jìn)行一次調(diào)整，使位移進(jìn)一步逼近真實(shí)值。初應(yīng)力法迭代過程在

15、單向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力變化示于圖7.5中。 圖7.5初應(yīng)變法對于某些問題，例如蠕變問題，其應(yīng)變由應(yīng)力值決定 (7.35)這時(shí)，上式可用具有初應(yīng)變的線彈性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系 （7.36）來代替，即調(diào)整初應(yīng)變值，使在給定應(yīng)力下，用式（7.36）求得的應(yīng)變與用式（7.35）求得的結(jié)果一樣。于是有 （7.37）式中。在單向應(yīng)力的情況下初應(yīng)變的定義見圖7.6。 圖7.6將式（7.36）代入（7.18），則有 （7.38）其中 （7.39）為與初應(yīng)變等價(jià)的節(jié)點(diǎn)載荷。見式（7.32）。根據(jù)式（7.37），可以采用與初應(yīng)力法類似的迭代過程。先計(jì)算位移的第一次近似值由計(jì)算應(yīng)力，由式（7.37）確定初應(yīng)變，再由式（7.

16、39）計(jì)算R1，然后用求出，對位移進(jìn)行一次矯正重復(fù)上述過程，直到收斂?？梢?，初應(yīng)變法的每一步迭代是根據(jù)真實(shí)應(yīng)變與彈性應(yīng)變之差，去對位移進(jìn)行調(diào)整的。在單向應(yīng)力狀態(tài)下初應(yīng)變迭代過程示于圖7.7中。 圖7.77.4彈塑性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系在彈塑性小變形情況下，彈性力學(xué)中的平衡方程和幾何關(guān)系仍然成立，但描寫應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系的物理方程卻是非線性的。材料的塑性性質(zhì)對于大多數(shù)金屬材料，單向拉伸試驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖7.8所示。當(dāng)應(yīng)力小于屈服極限時(shí)，應(yīng)力和應(yīng)變呈線彈性關(guān)系（一般假定比例極限與屈服極限重合）；而應(yīng)力達(dá)到屈服極限后，應(yīng)力一應(yīng)變顯示出非線性關(guān)系。圖7.8（a）所示為應(yīng)變硬化材料，圖7.8(b)所示為理想彈

17、塑性材料。由實(shí)驗(yàn)知，對于硬化材料，應(yīng)力超過屈服極限時(shí)，要增加應(yīng)變，應(yīng)力也需增加。而對于理想彈塑性材料，應(yīng)力達(dá)到時(shí)，材料則發(fā)生流動變形。然而無論哪種情況，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到后，卸載都是彈性的，卸載路經(jīng)沿直線，其斜率大致與初始加載路徑相同。完全卸去載荷后，試件會留下殘余變形。因此，彈塑性材料當(dāng)應(yīng)力達(dá)到或超出時(shí)，應(yīng)力一應(yīng)變之間并無一一對應(yīng)關(guān)系，即應(yīng)變不僅決定于當(dāng)時(shí)的應(yīng)力，而且還與整個(gè)加載的歷史有關(guān)。這是與上節(jié)討論的非線性彈性材料的區(qū)別所在。還應(yīng)當(dāng)指出，材料進(jìn)入塑性后，經(jīng)卸載再加載時(shí)，應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系沿CBD變化。對于硬化材料顯然屈服應(yīng)力提高了。材料進(jìn)入塑性后，經(jīng)卸載并反向加載，材料會再次屈服，對于各向同性材料

18、，再次屈服的應(yīng)力的絕對值大體上與開始卸載時(shí)的應(yīng)力相等。 (a) (b) 圖7.8Mises屈服準(zhǔn)則Mises屈服準(zhǔn)則假定，材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的形狀改變能達(dá)到單向拉伸屈服時(shí)的形狀改變能時(shí)，材料就開始屈服。于是，Mises屈服條件可寫成式中為主應(yīng)力，是單向拉伸屈服極限。如果定義等效應(yīng)力則Mises屈服條件為 （7.40）在一般應(yīng)力狀態(tài)下，等效應(yīng)力可表示成引進(jìn)應(yīng)力偏量 （7.41）式中是平均應(yīng)力，則等效應(yīng)力可用應(yīng)力偏量表示為（7.42）若記則可將等效應(yīng)力簡潔地表示成 （7.43）對于大多數(shù)金屬材料，實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明，Mises準(zhǔn)則能較好符合實(shí)際情況。因此，下面將結(jié)合Mises準(zhǔn)則來討論。首先，討論復(fù)雜

19、應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)化規(guī)律。假定材料進(jìn)入屈服后，載荷按小增量方式逐步加載，在一個(gè)載荷增量作用下應(yīng)力和應(yīng)變都會增加一微小的增量和。此時(shí)總應(yīng)變增量可分成彈性的和塑性的兩部分 （7.44）彈性應(yīng)變增量在卸載后可完全恢復(fù)，而塑性應(yīng)變增量在卸載后則不能恢復(fù)，如圖7.9所示。 圖7.9與等效應(yīng)力對應(yīng)，定義等效應(yīng)變 （7.45）對于單向拉伸，于是等效應(yīng)變恰等于拉伸應(yīng)變。對應(yīng)于塑性應(yīng)變增量的等效應(yīng)變稱為塑性等效應(yīng)變增量，記作。由于塑性變形的泊桑比，于是有(7.46)注意到塑性變形中的體積應(yīng)變等于零，上式還可表達(dá)成 （7.47）若記 （7.48）則等效塑性應(yīng)變增量可改寫成 （7.49）對于一般應(yīng)力狀態(tài)，實(shí)驗(yàn)資料證明了

20、如下的應(yīng)變強(qiáng)化規(guī)律：材料進(jìn)入屈服以后進(jìn)行卸載或部分卸載然后再加載，其新的屈服應(yīng)力值僅與卸載前的等效塑性應(yīng)變總量有關(guān)。這就是說，只有當(dāng)?shù)刃?yīng)力適合 （7.50）時(shí)，重新屈服才會發(fā)生。這里的函數(shù)H反映了新的屈服應(yīng)力對等效塑性應(yīng)變總量的依賴關(guān)系。由于單向拉伸時(shí)，就是拉伸應(yīng)力，就是拉伸塑性應(yīng)變增量，所以式（7.50）中的函數(shù)關(guān)系可以通過單向拉伸的和之間的關(guān)系來確定，如圖7.10所示。式（7.50）反映了屈服和強(qiáng)化之間的關(guān)系，稱為等向強(qiáng)化材料的Mises準(zhǔn)則。 圖7.10Prandtl-Reuss塑性流動理論如果將等向強(qiáng)化Mises準(zhǔn)則的式（7.50）寫成 （7.51）則F可以看成n維應(yīng)力空間的一個(gè)曲面

21、，稱為屈服面。屈服面的位置決定于當(dāng)時(shí)材料中的等效塑性應(yīng)變總量。對于金屬一類的材料，理論和實(shí)驗(yàn)的廣泛研究表明，塑性應(yīng)變增量和屈服面之間存在如下關(guān)系 （7.52）其中是一個(gè)待定的比例常數(shù)。上式可以解釋為塑性應(yīng)變增量“向量”垂直于n維應(yīng)力空間的屈服面，如圖7.11所示。因此，式（7.52）稱為法向流動法則。 圖7.11現(xiàn)在來決定式（7.52）中的常數(shù)。為此先計(jì)算。由式（7.42），并注意到，就有將上式代入（7.52），并注意到式（7.48），得上式等號兩邊的模應(yīng)相等，于是有由式（7.49）和（7.43），從上式可得出由于在加載時(shí)應(yīng)取正值，于是有這樣，向流動法則最終化為 （7.53）應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系如前

22、所述，當(dāng)應(yīng)力產(chǎn)生一無限小增量時(shí)，總應(yīng)變增量可分解成彈性的和塑性的兩部分，即彈性應(yīng)變增量與應(yīng)力增量是線性關(guān)系，可寫成 （7.54）式中De是彈性矩陣。用前乘上式的兩邊，得如果將強(qiáng)化材料的Mises準(zhǔn)則（7.50）寫成微分的形式 (7.55)并利用式（7.53），則上式可化為 由此可得到等效塑性應(yīng)變增量 和總應(yīng)變增量 的關(guān)系式將式（7.53）代入（7.54），并應(yīng)用上式，得到記 （7.56） （7.57）于是得到增量形式的彈塑性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系 （7.58）通常稱為彈塑性矩陣。順便指出，對于理想彈塑性材料，上述應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系（7.58）仍可應(yīng)用，不過此時(shí)取。彈塑性矩陣表達(dá)式上節(jié)已導(dǎo)出了彈塑性矩陣的一

23、般表達(dá)式，為便于應(yīng)用。下面對三維空間問題，軸對稱問題和平面問題分別寫出它的顯式。1三維空間問題的彈塑性矩陣?yán)每臻g問題的彈性矩陣表達(dá)式（1.7），并注意到，容易看出 =其中G為剪切模量。于是注意到由式（7.56）容易得 (7.59)將式（1.7）和（7.59）代入式（7.57），得到空間問題的彈塑性矩陣為（7.60）式中 （7.61）2軸對稱問題的彈塑性矩陣我們記在式（7.60）中劃去最后二行二列，可以得到軸對稱問題的彈塑性矩陣 （7.62）式中仍由式（7.61）決定，但等效應(yīng)力為3平面問題的彈塑性矩陣對于平面應(yīng)力問題，應(yīng)力增量和應(yīng)變增量分別為等效應(yīng)力為由此從而應(yīng)用平面應(yīng)力問題的彈性矩陣（2.

24、6）式，有將上兩式代入（7.56），得（7.63）式中 （7.64）由式（7.57），經(jīng)整理，將平面應(yīng)力問題的彈塑性矩寫成（7.65）其中 （7.66）而Q的表達(dá)式（7.64）可改寫為對于平面應(yīng)變問題，材料進(jìn)入塑性后，等效應(yīng)力可寫成這時(shí)的彈塑性矩陣可直接由式（7.65）得出，只要將近其中E換成換成。切線模量的計(jì)算上節(jié)導(dǎo)出了幾種情況下的彈塑性矩陣，它們的表達(dá)式中都含有切線模量，它是表示材料硬化性能的參數(shù)。由式（7.55），微分形式的Mises屈服準(zhǔn)則給出，由此可以看出是等效應(yīng)力相對于塑性等效應(yīng)變的變化率。它必須通過單向拉伸試驗(yàn)所給出的應(yīng)力一應(yīng)變由曲線來確定。下面推導(dǎo)的計(jì)算公式。設(shè)單向拉伸試驗(yàn)時(shí)，

25、材料進(jìn)入塑性后的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系以某種函數(shù)的形式給出，如圖7.12所示。 （7.67） 圖7.12由于單向拉伸試驗(yàn)給出的是全應(yīng)變，為了建立與塑性應(yīng)變之間的關(guān)系，必須將它分解為彈性部分與塑性部分之和，且彈性部分服從虎光定律，故有將其代入按試驗(yàn)曲線給定的函數(shù)關(guān)系式上式兩邊取微分，則有式中代表應(yīng)力一應(yīng)變曲線在點(diǎn)的斜率。上式經(jīng)整理可得對于單向拉伸，顯然即，故正是對應(yīng)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的，代入上式則可得到 （7.68）這就是計(jì)算的公式。的計(jì)算步驟是，首先求出等效應(yīng)變，然后在給定材料的應(yīng)力一應(yīng)變曲線上求得該點(diǎn)所對應(yīng)的曲線斜率，最后代入式（7.68）就可求得。這里有幾種情況應(yīng)該注意，一種情況是，在彈性范圍內(nèi)不能

26、計(jì)算的值，因此時(shí)它沒有塑性變形，故應(yīng)取值，在編寫程序時(shí)，可根據(jù)計(jì)算機(jī)的情況取一個(gè)適當(dāng)大的數(shù)即可表示。另一種情況是，對理想彈塑性材料，當(dāng)材料進(jìn)入屈服時(shí)，由，此時(shí)可由式（7.68）知，應(yīng)取O值。最后，如果材料硬化程度不劇烈，即材料的應(yīng)力一應(yīng)變曲線較平緩時(shí)，則可考慮用以下的近似公式計(jì)算： （7.69）求出后，就可以利用節(jié)的有關(guān)公式，計(jì)算不同情況下的彈塑性矩陣。7.5彈塑性問題的求解方法彈塑性問題的有限元求解方法完全是在線彈性問題有限元求解方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，所以本章前面各章所介紹的線彈性問題有限元公式仍然適用。只是在塑性區(qū)內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變不再成線性關(guān)系，必須采用應(yīng)力微分和應(yīng)變微分的關(guān)系式（7.58）

27、，由于式（7.58）右端的系數(shù)矩陣與當(dāng)時(shí)的應(yīng)力水平有關(guān)，所以這個(gè)關(guān)系是非線性的。用有限單元法求解彈塑性問題，也是用適當(dāng)?shù)姆椒▽栴}線性化，然后用一系列的線性解去逼近一個(gè)非線性問題的解。而每一個(gè)線性解的求解方法和過程和線彈性問題的處理非常類似。為達(dá)到線性化的目的，可以采用增量法（或稱增量加載法）。一般的做法是按比例施加載荷，將結(jié)構(gòu)的彈性極限載荷作為第一個(gè)增量，其余的載荷再分成若干等分。如果實(shí)際載荷不是按比例施加的，可根據(jù)實(shí)際情況確定載荷增量。當(dāng)材料進(jìn)入塑性后，只要載荷增量適當(dāng)?shù)匦。墒剑?.58），應(yīng)力增量和應(yīng)變增量的關(guān)系可近似地表示成 （7.70）且可認(rèn)為僅與加載前的應(yīng)力水平有關(guān)，而與應(yīng)力和應(yīng)

28、變的增量無關(guān)。這樣式（7.70）就可視為線性的。增量切線剛度法首先，可以進(jìn)行一次線彈性的分析，得到彈性極限載荷下結(jié)構(gòu)的位移，應(yīng)變和應(yīng)力，分別記為，和，在此基礎(chǔ)上將載荷分為n個(gè)增量，并相繼作用于結(jié)構(gòu)。作用載荷增量時(shí)，對于應(yīng)力處于彈性狀態(tài)的單元，單元剛度陣用 (7.71)計(jì)算。而對于進(jìn)入塑性的單元，單元剛度陣用 (7.72)計(jì)算。中的應(yīng)力取增量加載前的應(yīng)力。結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的形成與前幾章所介紹的線彈性問題 方法完全相同，也是利用單元定位向量，直接由單元剛度矩陣進(jìn)行集成，由此求解可得到，從而求出和，這樣第一次增量加載后的位移，應(yīng)變和應(yīng)力是在加載第k次載荷增量后，可通過求解 （7.73）得到，進(jìn)而得重復(fù)

29、上述過程，直至第n個(gè)載荷增量。最后的位移、應(yīng)變和應(yīng)力就是彈塑性分析的結(jié)果。增量切線剛度法，由于每個(gè)載荷增量步都需要重新計(jì)算一次剛度矩陣，所以這個(gè)方法也稱為變剛度法。增量切線剛度法在實(shí)施過程中，隨著不斷地增量加載，解會越來越偏離真實(shí)解，即出現(xiàn)所謂解的漂移現(xiàn)象。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因除了應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系用增量形式代替微分形式外，還來自過渡單元的不準(zhǔn)確的剛度矩陣的計(jì)算。必要時(shí)可以用下面介紹的方法加以校正。結(jié)構(gòu)在逐步加載過程中，塑性是不斷擴(kuò)展的。有一些單元在某一增量載荷步前處于彈性區(qū)內(nèi)，而在該增量載荷步后可能進(jìn)入塑性區(qū)，這些單元稱為過渡單元。對于過渡單元，其剛度矩陣如果簡單地按式（7.71）或（7.72）計(jì)

30、算都會帶來較大誤差。通常在計(jì)算其剛度矩陣時(shí)，應(yīng)該用下述帶權(quán)平均彈塑性矩陣。如用表示過渡單元達(dá)到屈服時(shí)所需的等效應(yīng)變增量，而用表示該單元下次增量加載所引起的等效應(yīng)變增量，如圖7.13所示，記 圖7.13顯然，對過渡單元有。定義加權(quán)平均彈塑性矩陣則對過渡單元應(yīng)按下式計(jì)算剛度矩陣 （7.74）如果采用數(shù)值積分計(jì)算，則在過渡的積分點(diǎn)上應(yīng)作上述考慮。通常對的估計(jì)，開始往往不夠精確。一般第一次估計(jì)是根據(jù)上次增量載荷的結(jié)果推出，然后用解算的結(jié)果來修改，經(jīng)過二三次的迭代就可得到比較精確的結(jié)果。應(yīng)該指出的是，上述用迭代處理和校正過渡單元剛度矩陣的計(jì)算，雖然提高了求解的精度，但在迭代中卻付出了成倍的計(jì)算時(shí)間。下面

31、介紹另一種較好的求解方案。上述增量切線剛度法，對每一增量加載步，被求解的線性代數(shù)方程組（7.73）可以作如下的變動： （7.75）式中是本次增量加載后結(jié)構(gòu)中承受的總載荷向量。而右端最后一項(xiàng)積分是前一增量加載步末與結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力等價(jià)的結(jié)點(diǎn)載荷。很顯然，這是我們在7.2節(jié)中所提到的帶自校正的增量法的方程。由于這一方程能對以前的載荷不平衡作一校正，使求解結(jié)果具有較好的精度。因每次增量載荷步，方程（7.75）都具有“自校正”的作用，有人建議可以不去考慮上述過渡單元的迭代計(jì)算。實(shí)踐證明，帶自校正的增量切線剛度法（或稱一階自校正法）是一種較好的求解方案。初應(yīng)力法對于彈塑性問題，增量形式的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系可以定

32、義為而其中由式（7.56）計(jì)算。對某單元開始進(jìn)入塑性以后的每次加載，用增量代替微分 （7.76）位移增量應(yīng)滿足的平衡方程是 （7.77）由于式（7.76）第一式中的系數(shù)陣為彈性矩陣，式（7.77）中的剛度矩陣就是彈性計(jì)算中的剛度矩陣。而是與初應(yīng)力等值的節(jié)點(diǎn)載荷，它是不平衡的矯正載荷?？梢钥闯?，式（7.77）中的矯正載荷決定于應(yīng)變增量，而在求解前是未知的，因此對每個(gè)增量載荷步，一個(gè)迭代過程是必須的，以便同時(shí)求出位移增量和應(yīng)變增量。第k次增量載荷的迭代公式是 （7.78）第一次迭代是在下作純彈性計(jì)算。以后的迭代是根據(jù)前次迭代求出的和加載前的應(yīng)力水平計(jì)算，然后按式計(jì)算。逐次進(jìn)行迭代，直至收斂。值得注

33、意的是，對于過渡單元，初應(yīng)力的計(jì)算不應(yīng)計(jì)及總應(yīng)變增量中在進(jìn)入屈服之前的部分（參看圖7.13），即矯正載荷應(yīng)用下式計(jì)算 （7.79）初應(yīng)變法對于彈塑性問題，增量形式的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系可定義為 （7.80）而由式（7.53）和（7.55），有 （7.81）用增量代替微分，將式（7.80）和（7.81）線性化 （7.82）此時(shí)位移增量應(yīng)滿足的平衡方程為 (7.83)式中仍為彈性計(jì)算中的剛度矩陣，而 （7.84）是與初應(yīng)變等價(jià)的節(jié)點(diǎn)載荷，或稱為矯正載荷。由于矯正載荷與應(yīng)力增量有關(guān)，而本身又是待確定的量，因此求解方程組（7.83）必須采用迭代方法。第k次增量載荷步的迭代公式為 （7.85）每一次加載時(shí)，首

34、先取作一次彈性計(jì)算，以后的迭代用上次迭代的結(jié)果和加載前的應(yīng)力水平計(jì)算，逐次進(jìn)行迭代，直至收斂。方法的比較1增量切線剛度法是在每次增量加載中用調(diào)整剛度矩陣的辦法求非線性問題的近似解的。初應(yīng)力法實(shí)質(zhì)上是在每一增量步上確立結(jié)構(gòu)中彈塑性的應(yīng)力值和彈性解應(yīng)力值之差，并不斷按彈性方式重新分配這個(gè)差值，以恢復(fù)平衡。而初應(yīng)變法則是不斷調(diào)整初應(yīng)變的過程。2增量切線剛度法由于在每次增量加載中都形成一次剛度矩陣，并求解一次，故計(jì)算時(shí)間一般比初應(yīng)力法和初應(yīng)變法長。因初應(yīng)力法和初應(yīng)變法在迭代中應(yīng)用的是彈性剛度矩陣，如果求解一開始就將剛度矩陣進(jìn)行三角分解，則在每次迭代中只需進(jìn)行右端項(xiàng)的約化和回代，計(jì)算時(shí)間較節(jié)省。3可以證明，對一般強(qiáng)化材料，初應(yīng)力法的迭代過程總是收斂的，而對初應(yīng)變法，收斂的充分條件是。對理想塑性材料，初應(yīng)力法和初應(yīng)變法的迭代過程都是發(fā)散的。4如果要為一個(gè)通用程序配置一個(gè)求解方案的話，建議采用帶校正的增量切線剛度法。通常該方法能得到較好的求解精度。如果將增量切線剛度法與初應(yīng)力法相結(jié)合，則效果更好。算例帶孔平板的拉伸問題承受單向拉伸的開孔板條的幾何尺寸和載荷情況如圖7.14所示。利用對稱性，計(jì)算區(qū)域取板條的四分之一部分。采用Mises屈服準(zhǔn)則，應(yīng)變硬化材料采用的是常斜率的單軸硬化曲線。圖7.14(b)和(c)分別表示理想塑性和應(yīng)變硬化情況下不同載荷水平塑