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文檔簡介

1、第四章:圓一、知識回顧圓的周長: C=2r或C=d、圓的面積:S=r²圓環(huán)面積計算方法:S=R²-r²或S=(R²-r²)(R是大圓半徑,r是小圓半徑)二、知識要點一、圓的概念集合形式的概念: 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合; 2、圓的外部:可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合; 3、圓的內部:可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念:1、圓:到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心,定長為半徑的圓;固定的端點O為圓心。連接圓上任意兩點的線段叫做弦,經過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧,簡

2、稱弧。2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線;3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線;4、到直線的距離相等的點的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線;5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是:平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關系1、點在圓內 點在圓內;2、點在圓上 點在圓上;3、點在圓外 點在圓外;三、直線與圓的位置關系1、直線與圓相離 無交點;2、直線與圓相切 有一個交點;3、直線與圓相交 有兩個交點;四、圓與圓的位置關系外離(圖1) 無交點 ;外切(圖2) 有一個交點 ;相交(圖3) 有兩

3、個交點 ;內切(圖4) 有一個交點 ;內含(圖5) 無交點 ; 五、垂徑定理垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條??; (2)弦的垂直平分線經過圓心,并且平分弦所對的兩條??; (3)平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理,簡稱2推3定理:此定理中共5個結論中,只要知道其中2個即可推出其它3個結論,即: 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個條件推出其他3個結論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即:在中, 弧弧六、圓心角定理 頂點到圓心的角,叫圓心角。圓心角定理:同圓或等圓中,相等的

4、圓心角所對的弦相等,所對的弧相等,弦心距相等。 此定理也稱1推3定理,即上述四個結論中,只要知道其中的1個相等,則可以推出其它的3個結論,即:; 弧弧七、圓周角定理頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫圓周角。1、圓周角定理:同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即:和是弧所對的圓心角和圓周角 2、圓周角定理的推論:推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等??;即:在中,、都是所對的圓周角 推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角;圓周角是直角所對的弧是半圓,所對的弦是直徑。即:在中,是直徑 或 是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形

5、是直角三角形。即:在中, 是直角三角形或注:此推論實是初二年級幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內接四邊形圓的內接四邊形定理:圓的內接四邊形的對角互補,外角等于它的內對角。 即:在中, 四邊形是內接四邊形 九、切線的性質與判定定理(1)切線的判定定理:過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線; 兩個條件:過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可 即:且過半徑外端 是的切線(2)性質定理:切線垂直于過切點的半徑(如上圖) 推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論2:過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理:即:過圓心;過切點;垂直切線,三

6、個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理: 從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即:、是的兩條切線 平分十一、圓冪定理(1)相交弦定理:圓內兩弦相交,交點分得的兩條線段的乘積相等。即:在中,弦、相交于點, (2)推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即:在中,直徑, (3)切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即:在中,是切線,是割線 (4)割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(如上圖)。即:在中,、是割線 十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理:兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖:垂直平分。即:、相交于、兩點 垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式:(1)公切線長:中,;(2)外公切線長:是半徑之差; 內公切線長:是半徑之和 。十四、圓內正多邊形的計算(1)正三角形 在中是正三角形,有關計算在中進行:;(2)正四邊形同理,四邊形的有關計算在中進行,: (3)正六邊形同理,六邊形的有關計算在中進行,.十五、扇形、圓柱和圓

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