二重極限的計(jì)算方法學(xué)年論文

1、二重極限的計(jì)算方法小結(jié)內(nèi) 容 摘 要本文在二元函數(shù)定義基礎(chǔ)上通過(guò)求對(duì)數(shù)，變量代換等方式總結(jié)了解決二重極限問(wèn)題的幾種方法，并給出相關(guān)例題及解題步驟。及二重極限不存在的幾種證明方法。關(guān)鍵詞：二重極限 變量代換等 不存在的證明 目 錄序言1 一、 利用特殊路徑猜得極限值再加以驗(yàn)證1(一) 利用特殊路徑猜得極限值再加以確定 1(二) 由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證2(三) 采用對(duì)數(shù)法求極限2(四) 利用一元函數(shù)中重要的極限的推廣求兩個(gè)重要極限3(五) 等價(jià)無(wú)窮小代換3(六) 利用無(wú)窮小量與有界函數(shù)的積仍為無(wú)窮小量4(七) 多元函數(shù)收斂判別方法4(八) 變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限5(九)

2、 極坐標(biāo)代換法6(十) 用多元函數(shù)收斂判別的方法7二、證明二重極限不存在的幾種方法 7總結(jié)10參考文獻(xiàn)11序言二元函數(shù)的極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，二者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。對(duì)一元函數(shù)而言，自變量的變化只有左右兩種方式，而二元函數(shù)可以有無(wú)數(shù)種沿曲線趨于某店的方式，這是兩者最大的區(qū)別。雖然二元函數(shù)的極限較為復(fù)雜，但若能在理解好概念，掌握解題方法和技巧就不難解決。對(duì)于二元函數(shù)的二重極限，重點(diǎn)是極限的存在性及其求解方法。二重極限實(shí)質(zhì)上是包含任意方向的逼近過(guò)程，是一個(gè)較為復(fù)雜的極限，只要有兩個(gè)方向的極限不相等，就能確定二重極限不存在，但要確定二重極限存在則需要判定沿任意方向的極限都存在且相

3、等。由于二重極限較為復(fù)雜，判定極限的存在及其求解，往往因題而異，依據(jù)變量的不同變化趨勢(shì)和函數(shù)的不同類(lèi)型，探索得出一些計(jì)算方法，采用恰當(dāng)?shù)那蠼夥椒ê?，?duì)復(fù)雜的二重極限計(jì)算，就能簡(jiǎn)便，快捷地獲得結(jié)果，本文將對(duì)二重極限的幾種計(jì)算方法做一下小結(jié)。一、二重極限的計(jì)算方法小結(jié)(一) 利用特殊路徑猜得極限值再加以驗(yàn)證利用二元函數(shù)極限定義求極限：根據(jù)定義解題時(shí)只需找出來(lái)。例1 討論，在點(diǎn)的極限。解 令 應(yīng)為此路徑為特殊路徑，故不能說(shuō)明可以猜測(cè)值為0。下面再利用定義法證明：，取當(dāng) 有由于 即有 故注意 （1）的任意性 （2）一般隨而變化 （3）若函數(shù)以A為極限，則對(duì)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有范圍（A+，A-）。(二

4、) 由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證先求出一個(gè)累次極限，該類(lèi)此極限是否為二重極限在用定義驗(yàn)證例2 設(shè)。求解 可以猜測(cè)有極限值為0. 事實(shí)上對(duì)任意的有， 取， 當(dāng)，時(shí)，就有，即有(三) 采用對(duì)數(shù)法求極限利用初等變形，特別是指數(shù)形式常常可以先求起對(duì)數(shù)的極限?；驑O限是等未定型，往往通過(guò)取對(duì)數(shù)的辦法求得結(jié)果。例3 求 解 因?yàn)?而且 所以 (四) 利用一元函數(shù)中重要極限的推廣求兩個(gè)重要極限 類(lèi)似于一元函數(shù)，我們可以充分利用所熟知的結(jié)論。通過(guò)構(gòu)造變形我們能夠化不熟悉為熟悉，進(jìn)而利用已有的結(jié)論而求之 例4 求（1） （2）解 （1）因?yàn)椋?所以 （2） 由于 ,又因?yàn)?所以(五) 等價(jià)無(wú)窮小代換利用一元函數(shù)

5、中已有的結(jié)論對(duì)式子進(jìn)行必要的代換以達(dá)到簡(jiǎn)化的目的，進(jìn)而求出所要求的極限例5 求 解 因?yàn)楣视兴缘葍r(jià)于故原式為注 無(wú)窮小替代求極限時(shí)要理解替換過(guò)程的本質(zhì)，不可隨意替換。利用等價(jià)無(wú)窮小替代求極限其實(shí)質(zhì)就是在極限運(yùn)算中同時(shí)乘一個(gè)或是除一個(gè)等價(jià)無(wú)窮小，也就是我們通常所說(shuō)的“乘除時(shí)可以替換，加減時(shí)不可隨意替換”(六) 利用無(wú)窮小量與有界函數(shù)的積仍為無(wú)窮小量充分利用無(wú)窮小的性質(zhì)，與一元函數(shù)類(lèi)似，在求極限過(guò)程中，以零為極限的量稱(chēng)為無(wú)窮小量，有關(guān)無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到多元函數(shù)中。例6 求 解 因?yàn)槎鵀橛薪缱兞坑?故有 原式=0(七) 多元函數(shù)收斂判別方法當(dāng)一個(gè)二重極限不易直接求出時(shí)，可以考慮通過(guò)放縮

6、法使二元函數(shù)夾在兩個(gè)已知極限的函數(shù)之間，且兩端的極限值相等，則原函數(shù)的極限值存在且等于它們的公共值。例7 求 解 因?yàn)槎?八) 變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限有時(shí)為了將所求的極限化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為已知的極限，可以根據(jù)極限式子的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來(lái)較復(fù)雜的極限過(guò)程轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)化的極限過(guò)程。1、討論當(dāng)，二元函數(shù)的極限，利用變量代換把二重極限化為一元函數(shù)中已知的極限轉(zhuǎn)化，相應(yīng)有從而求得結(jié)果。例8 求 解 令 則當(dāng)時(shí) ，于是2、討論當(dāng)時(shí)，二元函數(shù)的極限，作變量代換，相應(yīng)有，利用已知一元函數(shù)的極限公式。例9 求 其中解 因?yàn)?當(dāng) 時(shí)，令xy=t,相應(yīng)有則所以3、討論時(shí)二

7、元函數(shù)的極限例10 求 解 因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，令x+y=t,相應(yīng)有則 所以 (九) 極坐標(biāo)代換法討論當(dāng)時(shí)，二元函數(shù)的極限，必要時(shí)可以用極坐標(biāo)變換，即將求當(dāng)極限問(wèn)題變換為求的極限問(wèn)題。但必須要求在的過(guò)程中與的取值無(wú)關(guān)。注意這里不僅對(duì)任何固定的在時(shí)的極限與無(wú)關(guān)，而且要求在過(guò)程中可以隨r的改變而取不同的值的情況下仍然無(wú)關(guān)，才能說(shuō)明存在。例11 求解 令，當(dāng)時(shí)，有令 因?yàn)?所以(十) 用多元函數(shù)收斂判別的方法通過(guò)縮放法使二元函數(shù)夾在兩個(gè)已知極限的函數(shù)之間，再利用兩邊夾定理來(lái)推出結(jié)果。例12 求 解 因?yàn)槎?所以 二、 證明二重極限不存在若二元函數(shù)在區(qū)域D有定義，是D的聚點(diǎn)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿著兩條不同的曲線（或點(diǎn)列）

8、誣陷趨近于點(diǎn)，二元函數(shù)，有不同的“極限”，則二元函數(shù)在點(diǎn)不存在極限。依此可以有下面幾種方法來(lái)證明在區(qū)域D上當(dāng)時(shí)極限不存在。例1 證明不存在證明 函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)點(diǎn)沿著y軸趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)，有x=0，而不存在，所以當(dāng)P沿著D中某一連續(xù)曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，二元函數(shù)的極限不存在，則不存在例2 證明不存在證明 函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)點(diǎn)沿著x軸趨于點(diǎn)（0，0）時(shí)，=0，當(dāng)點(diǎn)沿著趨于點(diǎn)（0，0）時(shí)所以 不存在當(dāng)P沿著D中兩條不同的連續(xù)曲線趨近于時(shí)，二元函數(shù)的極限都存在，但不相等，則不存在。例3 證明 不存在證明 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)令有 所以 不存在對(duì)于一些難以找到的路線，可以利用極坐標(biāo)來(lái)證明例4

9、證明 不存在證明 即得 因?yàn)閮蓚€(gè)累次極限不想等，所以 不存在總結(jié)函數(shù)極限是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，也是比較難理解和掌握的部分，特別是二元函數(shù)的極限，但二元函數(shù)在多元函數(shù)微積分學(xué)中有著舉足輕重的作用，探討其存在性與求法是進(jìn)一步學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分有關(guān)概念和方法的基礎(chǔ)。文中列出了利用特殊路徑猜得極限值再加以確定、由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證、采用對(duì)數(shù)法求極限、利用一元函數(shù)中重要的極限的推廣求兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮小代換、利用無(wú)窮小量與有界函數(shù)的積仍為無(wú)窮小量、多元函數(shù)收斂判別方法、變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限、極坐標(biāo)代換法、用多元函數(shù)收斂判別的方法等始終二重極限的計(jì)算方法及四種二重極限不存在的證明方法。在實(shí)際解決二重極限問(wèn)題時(shí)要根據(jù)題型不同選擇最優(yōu)的解題方式，不但能提高正確率也可以節(jié)省時(shí)間和工作量，達(dá)到事半功倍的效果。參考文獻(xiàn)1孫濤.數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析M.北京:高等教育出版社,2004.2張貴文,汪明凡.關(guān)于多元函數(shù)的極限J.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),1983.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè)(第三版)M.北京:高等教育出版社，2001.4同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))(五版)M.北京:高等教育出版社，2002.5閻家灝.正項(xiàng)級(jí)