專題平面向量常見題型與解題指導(dǎo)

1、平面向量常見題型與解題指導(dǎo)一、 考點回顧1、本章框圖2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。2、掌握向量的加法和減法的運算法則及運算律。3、掌握實數(shù)與向量的積的運算法則及運算律，理解兩個向量共線的充要條件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算。5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。6、掌握線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形。8、通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運用所學(xué)知識解

2、決實際問題的能力。3、熱點分析對本章內(nèi)容的考查主要分以下三類：1.以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì).此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題.2.以解答題考查圓錐曲線中的典型問題.此類題綜合性比較強，難度大，以解析幾何中的常規(guī)題為主.3.向量在空間中的應(yīng)用（在B類教材中）.在空間坐標系下，通過向量的坐標的表示，運用計算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì).在復(fù)習(xí)過程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針.本章考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本.因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵.分析近幾年來的高考試題，有關(guān)平面向量部分突出考查了向量的基本運算。對于和解析幾何相

3、關(guān)的線段的定比分點和平移等交叉內(nèi)容，作為學(xué)習(xí)解析幾何的基本工具，在相關(guān)內(nèi)容中會進行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重點?？偠灾矫嫦蛄窟@一章的學(xué)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ)，強化運算，重視應(yīng)用。考查的重點是基礎(chǔ)知識和基本技能。4、復(fù)習(xí)建議由于本章知識分向量與解斜三角形兩部分，所以應(yīng)用本章知識解決的問題也分為兩類：一類是根據(jù)向量的概念、定理、法則、公式對向量進行運算，并能運用向量知識解決平面幾何中的一些計算和證明問題；另一類是運用正、余弦定理正確地解斜三角形，并能應(yīng)用解斜三角形知識解決測量不可到達的兩點間的距離問題。在解決關(guān)于向量問題時，一是要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進

4、行向量的各種運算，進一步加深對“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認識，并體會用向量處理問題的優(yōu)越性。二是向量的坐標運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，所以要通過向量法和坐標法的運用，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題上的作用。在解決解斜三角形問題時，一方面要體會向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會解斜三角形是重要的測量手段，通過學(xué)習(xí)提高解決實際問題的能力。二、常見題型分類題型一：向量的有關(guān)概念與運算此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，在復(fù)習(xí)中要充分理解平面向量的相關(guān)概念，熟練掌握向量的坐標運算、數(shù)量積運算，掌握兩向量共線、垂直的充要條件.例1：已知a是以點A(3,1)為起點，且與向量

5、b = (3,4)平行的單位向量，則向量a的終點坐標是.思路分析：與a平行的單位向量e=± 方法一：設(shè)向量a的終點坐標是(x,y),則a =(x-3,y+1)，則題意可知，故填 (,-)或(,-)方法二與向量b = (-3,4)平行的單位向量是±(-3,4)，故可得a±(-,)，從而向量a的終點坐標是(x,y)= a(3,1),便可得結(jié)果.點評：向量的概念較多，且容易混淆，在學(xué)習(xí)中要分清、理解各概念的實質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1，a與b的夾角為60°, x =2ab，y=3

6、ba,則x與y的夾角的余弦是多少？思路分析：要計算x與y的夾角，需求出|x|,|y|,x·y的值.計算時要注意計算的準確性.解：由已知|a|=|b|=1，a與b的夾角為60°,得a·b=|a|b|cos=.要計算x與y的夾角，需求出|x|，|y|，x·y的值.|x|2=x2=(2ab)2=4a24a·b+b2=44×+1=3，|y|2=y2=(3ba)2=9b26b·a+a2=96×+1=7.x·y=(2ab)·(3ba)=6a·b2a23b2+a·b =7a·b2

7、a23b2 =7×23=，又x·y=|x|y|cos，即=×cos， cos= 點評：本題利用模的性質(zhì)|a|2=a2，在計算x,y的模時，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得：如圖所示，設(shè)=b, =a, =2a,BAC=60°.由向量減法的幾何意義，得=2ab.由余弦定理易得|=，即|x|=，同理可得|y|=.題型二：向量共線與垂直條件的考查例1平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3, 1)，B(1, 3)， 若點C滿足，其中，R且+=1，求點C的軌跡方程。.解：（法一）設(shè)C(x,y)，則=(x,y)，由=(x,y)= (3,1)+ (-1,3

8、)=(3-, +3), （可從中解出、）又+1消去、得x+2y-5=0（法二） 利用向量的幾何運算，考慮定比分點公式的向量形式，結(jié)合條件知：A，B，C三點共線，故點C的軌跡方程即為直線AB的方程x2y5=0， 例2已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在實數(shù)k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，試求函數(shù)的關(guān)系式kf(t)；(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定kf(t)的單調(diào)區(qū)間.思路分析：欲求函數(shù)關(guān)系式k=f(t)，只需找到k與t之間的等量關(guān)系，k與t之間的等量關(guān)系怎么得到？求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有哪些方法？（導(dǎo)數(shù)法、定義法）導(dǎo)數(shù)法是求單調(diào)區(qū)間的簡捷有效的方法？解：（1）法一：由題意

9、知x(,), y(tk，tk)，又xy故x · y×（tk）×(tk)0.整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x · y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（，1）和（1，）.點評： 第（1）問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標運算分別求得兩個向量的坐標，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量垂直的充要

10、條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達到同樣的求解目的（但運算過程大大簡化，值得注意）.第（2）問中求函數(shù)的極值運用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識交匯點處的綜合運用.例3： 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不為零的實數(shù)k和角，使向量(sin3), k(sin),且，試求實數(shù)k 的取值范圍.解：由條件可得：k( sin)2,而1sin1, 當(dāng)sin1時，k取最大值1； sin1時，k取最小值. 又k0 k的取值范圍為 .點撥與提示：將例題中的t略加改動，舊題新掘，出現(xiàn)了意想不到的效果，很好地考查了向量與三角函數(shù)、不等式綜合運用能力.例4：已知向量，若正數(shù)k和t使得向量垂直，求k的最小

11、值.解： ，|=，|= ， 代入上式 3k3 當(dāng)且僅當(dāng)t=，即t=1時，取“”號，即k的最小值是2.題型三：向量的坐標運算與三角函數(shù)的考查向量與三角函數(shù)結(jié)合，題目新穎而又精巧，既符合在知識的“交匯處”構(gòu)題，又加強了對雙基的考查.例7設(shè)函數(shù)f (x)a · b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函數(shù)y2sin2x的圖象按向量c(m , n) ()平移后得到函數(shù)yf(x)的圖象，求實數(shù)m、n的值.思路分析：本題主要考查平面向量的概念和計算、平移公式以及三角函數(shù)的恒等變換等基本技能，解： (1)依題設(shè)，f(x)（2

12、cosx，1）·(cosx,sin2x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x, 2x=, 即x.（2）函數(shù)y2sin2x的圖象按向量c（m , n）平移后得到函數(shù)y2sin2(xm)+n的圖象，即函數(shù)yf(x)的圖象.由(1)得f (x) ， m，n1. 點評： 把函數(shù)的圖像按向量平移，可以看成是C上任一點按向量平移，由這些點平移后的對應(yīng)點所組成的圖象是C，明確了以上點的平移與整體圖象平移間的這種關(guān)系，也就找到了此問題的解題途徑.一般地，函數(shù)yf (x)的圖象按向量a(h , k)平移后的函數(shù)解析式為ykf（xh）、例8：已

13、知a=（cos，sin）,b=（cos,sin）(0<<<)，（1）求證： a+b與a-b互相垂直； （2）若ka+b與a-kb的模大小相等(kR且k0)，求解：（1）證法一：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）a+b（cos+cos，sin+ sin）, a-b（cos-cos，sin- sin）(a+b)·(a-b)=（cos+cos，sin+ sin）·（cos-cos，sin- sin）=cos2-cos2+sin2- sin2=0(a+b)(a-b)證法二：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1(a+b)

14、83;(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0(a+b)(a-b)證法三：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1,記a，b，則|=1,又，O、A、B三點不共線.由向量加、減法的幾何意義，可知以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形，其中a+b，a-b，由菱形對角線互相垂直，知(a+b)(a-b)（2）解：由已知得|ka+b|與|a-kb|,又|ka+b|2(kcos+cos)2+(ksin+sin)2=k2+1+2kcos(),|ka+b|2(cos-kcos)2+(sin-ksin)2=k2+1-2kcos(), 2kcos()= -2kcos()又k0

15、cos()00<<<0<<, =注：本題是以平面向量的知識為平臺，考查了三角函數(shù)的有關(guān)運算，同時也體現(xiàn)了向量垂直問題的多種證明方法，常用的方法有三種，一是根據(jù)數(shù)量積的定義證明，二是利用數(shù)量積的坐標運算來證明，三是利用向量運算的幾何意義來證明.題型四：向量運算的幾何意義與解析幾何由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶，文科應(yīng)重視由向量運算的幾何意義求圓的方程和橢圓方程。例9：設(shè)G、H分別為非等邊三角形ABC的重心與外心，A(0，2)，B（0，2）且(R).（）求點C(x，y)的軌跡E的方程；（）過點(2，0)作

16、直線L與曲線E交于點M、N兩點，設(shè)，是否存在這樣的直線L，使四邊形OMPN是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.思路分析：（1）通過向量的共線關(guān)系得到坐標的等量關(guān)系.（2）根據(jù)矩形應(yīng)該具備的充要條件，得到向量垂直關(guān)系，結(jié)合韋達定理，求得k的值.解：（）由已知得 , 又，CH=HA 即（2）設(shè)l方程為y=k(x-2)，代入曲線E得（3k2+1）x2-12k2x+12(k2-1)=0設(shè)N (x1，y1)，M (x2，y2)，則x1 +x2=，x1 x2= ，四邊形OMPN是平行四邊形.若四邊形OMPN是矩形，則x1 x2+y1 y2=0 得直線l為：y= 點評：這是一道平面幾何、解

17、析幾何、向量三者之間巧妙結(jié)合的問題.例10：已知橢圓方程，過B（1，0）的直線l交隨圓于C、D兩點，交直線x4于E點，B、E分的比分1、2求證：120解：設(shè)l的方程為yk(x1)，代入橢圓方程整理得（4k21）x28k2x4(k21)0.設(shè)C（x1,y2）,D(x2,y2)，則x1x2.由得 所以.同理，記E得其中 .例11：給定拋物線C:y24x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點.設(shè)l的斜率為1，求與夾角的余弦。解：C的焦點為F（1，0）,直線l的斜率為1，所以l的方程為yx1,將yx1代入方程y2=4x，并整理得x26x10設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),則有x1x2

18、6, x1x21，從而·x1x2y1y22x1x2(x1+x2)+13··,cos例12已知點G是ABC的重心，A(0, 1)，B(0, 1)，在x軸上有一點M，滿足|=|， (R)求點C的軌跡方程； 若斜率為k的直線l與點C的軌跡交于不同兩點P，Q，且滿足|=|，試求k的取值范圍分析 本題依托向量給出等量關(guān)系，既考查向量的模、共線等基礎(chǔ)知識，又考查動點的軌跡，直線與橢圓的位置關(guān)系.通過向量和解析幾何間的聯(lián)系，陳題新組，考查基礎(chǔ)知識和基本方法.按照求軌跡方程的方法步驟，把向量問題坐標化，幾何問題代數(shù)化.解： 設(shè)C(x, y)，則G(,)(R)，GM/AB,又M是x軸上一點，則M(, 0)又|=|，整理得，即為曲線C的方程當(dāng)k=0時，l和橢圓C有不同兩交點P，Q，根據(jù)橢圓對稱性有|=|當(dāng)k0時，可設(shè)l的方程為y=kxm，聯(lián)立方程組 消去y，整理行(