高數(shù)導(dǎo)數(shù)概念（課堂PPT）

1、.1第二章第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人微積分學(xué)的創(chuàng)始人: 德國(guó)數(shù)學(xué)家德國(guó)數(shù)學(xué)家 Leibniz 微分學(xué)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢描述函數(shù)變化快慢微分微分描述函數(shù)變化程度描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具 (從微觀上研究函數(shù)從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究在研究極值問題中提出極值問題中提出.英國(guó)數(shù)學(xué)家英國(guó)數(shù)學(xué)家 Newton.2一、引例一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)第一

2、節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 .3sO一、一、 引例引例1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為)(tfs 則則 到到 的平均速度為的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為時(shí)刻的瞬時(shí)速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs 自由落體運(yùn)動(dòng)自由落體運(yùn)動(dòng)0t)(0tf)(tft.4 2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線曲線)(:xfyCT0 xM在在 M 點(diǎn)處的切線點(diǎn)處的切線Nx割線割線 M N 的極限位置的極限位置 M T(當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí))割線割線 M N 的斜率的斜率tan)()(0 xfxf

3、0 xx切線切線 MT 的斜率的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xxxy)(xfy CO.5兩個(gè)問題的共性兩個(gè)問題的共性:瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率切線斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量為所求量為函數(shù)增量函數(shù)增量與與自變量增量自變量增量之比的極限之比的極限 .類似問題還有類似問題還有:加速度加速度角速度角速度線密度線密度電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度是是速度增量速度增量與與時(shí)間增量時(shí)間增量之比的極限之比的極限是是轉(zhuǎn)角增量轉(zhuǎn)角增量與與時(shí)間增量時(shí)間增量之比的極限之比的極限是是質(zhì)量增量質(zhì)量增量與與長(zhǎng)度增量長(zhǎng)度增量之比的

4、極限之比的極限是是電量增量電量增量與與時(shí)間增量時(shí)間增量之比的極限之比的極限變化率問題變化率問題NT0 xMxxy)(xfy COsO0t)(0tf)(tft.6二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義定義定義1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在存在,)(xf并稱此極限為并稱此極限為)(xfy 記作記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數(shù)則稱函數(shù)若若的某鄰域內(nèi)有定

5、義的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處可導(dǎo)可導(dǎo), 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). .7運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù))(tfs 在在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度時(shí)刻的瞬時(shí)速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線曲線)(:xfyC在在 M 點(diǎn)處的切線斜率點(diǎn)處的切線斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf sO0t)(0tf)(tftNT0 xMxxy)(xfy CO.80limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx不存在不存在, 就說函數(shù)就說函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) 不可導(dǎo)不可導(dǎo). 0 x若若0lim,xyx 也稱也稱)(xf

6、在在0 x若函數(shù)在開區(qū)間若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo)內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù).記作記作:;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就稱函數(shù)就稱函數(shù)在在 I 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為無窮大無窮大 .若極限若極限.9例例1. 求函數(shù)Cxf)(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù). 解解:yxCCx0lim0即0)(C例例2. 求函數(shù))()(Nnxxfn.處的導(dǎo)數(shù)在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxx

7、fxxf)()(0limx.10說明：說明：對(duì)一般冪函數(shù)對(duì)一般冪函數(shù)xy ( 為常數(shù)為常數(shù)) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121 xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）（以后將證明）.11hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函數(shù)xxfsin)(的導(dǎo)數(shù). 解解:,xh令則)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin類似可證得xxsin)(cosh.12)1(lnxh例例4. 求函數(shù)xxfln)(的導(dǎo)數(shù). 解解: )(xf hxfhx

8、f)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1.13則令,0hxt原式原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作是否可按下述方法作:例例5. 證明函數(shù)證明函數(shù)xxf)(在在 x = 0 不可導(dǎo)不可導(dǎo). 證證:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在不存在 , .0不可導(dǎo)在即xx例例6. 設(shè)設(shè))(0 xf 存在存在, 求極限求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式原式0limhhhxf

9、2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf.14三、三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線)(xfy 在點(diǎn)),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲線過上升;若,0)(0 xf曲線過下降;xyO0 x),(00yx若,0)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點(diǎn)駐點(diǎn);),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .xyO)(xfy CT0 xMxy0 xO.15曲線在點(diǎn)處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1

10、000 xxxfyy)0)(0 xf,)(0時(shí) xf.16xyO1111例例7. 問曲線3xy 哪一點(diǎn)有鉛直切線 ? 哪一點(diǎn)處的切線與直線131xy平行 ? 寫出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x對(duì)應(yīng),1y則在點(diǎn)(1,1) , (1,1) 處與直線131xy平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原點(diǎn) (0 , 0) 有鉛直切線.17處可導(dǎo)在點(diǎn)xxf)(四、四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理定理1.處連續(xù)在點(diǎn)xxf)(證證: 設(shè))(xfy 在點(diǎn) x 處可導(dǎo),)(lim0

11、xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函數(shù))(xfy 在點(diǎn) x 連續(xù) .注意注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)，但在該點(diǎn)連續(xù)，但在該點(diǎn)未必可導(dǎo)未必可導(dǎo).反例反例:xy xy 在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).即xyO.18在點(diǎn)0 x的某個(gè)右右 鄰域內(nèi)五、五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù))(xfy 若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為)(xf在 處的右右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),0 x記作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 處有,1)

12、0(f1)0(f定義定義2 . 設(shè)函數(shù)有定義,存在,xyOxy .19定理定理2. 函數(shù)在點(diǎn)0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf簡(jiǎn)寫為在點(diǎn)處右右 導(dǎo)數(shù)存在0 x定理定理3. 函數(shù))(xf)(xf在點(diǎn)0 x必 右右 連續(xù).(左左)(左左)若函數(shù))(xf)(af)(bf與都存在 , 則稱)(xf顯然:)(xf在閉區(qū)間 a , b 上可導(dǎo),)(baCxf在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),),(ba在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,ba可導(dǎo)的充分必要條件是且.20內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定

13、可導(dǎo);5. 已學(xué)求導(dǎo)公式 :6. 判斷可導(dǎo)性不連續(xù), 一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(lnx;0;1x;cosx;sin xx1增量比的極限;切線的斜率;.21思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別:)(xf 是函數(shù) ,)(0 xf 是數(shù)值;聯(lián)系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系 ? )()(00 xfxf？與導(dǎo)函數(shù).222. 設(shè))(0 xf 存在 , 則._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0

14、(,0)0(0kff則._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x時(shí), 恒有,)(2xxf問)(xf是否在0 x可導(dǎo)?解解:由題設(shè)0)0(f0)0()(xfxfx0由夾逼準(zhǔn)則0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可導(dǎo), 且0)0( f.235. 設(shè)0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時(shí),)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解: 顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a時(shí),1)0( f此時(shí))(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x.24作業(yè)作業(yè) P86

15、2 , 5 , 6, 7, 11, 16(2) , 18 , 20 .25牛頓牛頓(1642 1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家, 天文學(xué)家和自然科學(xué)家. 他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分. 1665年他提出正流數(shù) (微分) 術(shù) , 次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)一書 (1736年出版). 他還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等 .26萊布尼茨萊布尼茨 (1646 1716)德國(guó)數(shù)學(xué)家, 哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人 , 他在學(xué)藝雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓, 所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓 . 他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī) , 系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法 , 并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來 .備用題備用題 解解: 因?yàn)?. 設(shè))(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim