網絡課件第三章動量守恒定律和能量守恒定律

1、第三章 動量守恒定律和能量守恒定律前一章我們運用牛頓運動定律研究了質點的運動規(guī)律，討論了質點運動狀態(tài)的變化與它所受合外力之間的瞬時關系。對于一些力學問題除分析力的瞬時效應外，還必須研究力的累積效應，也就要研究運動的過程。而過程必在一定的空間和時間內進行，因而力的積累效應分為力的空間積累和時間積累兩類效應。在這兩類效應中，質點或質點系的動量、動能或能量將發(fā)生變化或轉移。在一定條件下，質點系內的動量或能量將保持守恒。（1）力的空間累計效應：功、能；（2）力的時間累計效應：沖量、動量；（3）相關規(guī)律：動能定理、功能原理、機械能守恒定律、能量守恒定律、動量定理、動量守恒定律、角動量守恒定律。本章的主要

2、內容有：質點和質點系的動量定理和動能定理外力與內力、保守力與非保守力等概念動量守恒定律機械能守恒定律能量守恒定律第一節(jié) 質點和質點系的動量定理 實際上，力對物體的作用總要延續(xù)一段時間，在這段時間內，力的作用將積累起來產生一個總效果。下面我們從力對時間的累積效應出發(fā)，介紹沖量、動量的概念以及有關的規(guī)律，即動量守恒定律。一、沖量 質點的動量定理1（力的）沖量由牛頓第二定律.可得牛頓第二定律的微分形式.注意到低速宏觀運動的范圍內，m可視為不變，合外力F一般是時間的函數，則將上式在t1到t2的時間內積分得.定義力在t1到t2的沖量為，注意沖量I是矢量，其方向與動量增量的方向相同，并不保證與F同向。2（

3、單個）質點的動量定理（1）表述：即在給定時間間隔內，外力作用在質點上的沖量，等于質點在此時間內動量的增量。（2）討論（a）動量的概念在上一章已經給出。其實，動量的概念早在牛頓定律建立之前，由笛卡爾（R. Descartes）于1644年引入，它純粹是描述物體機械運動的一個物理量。由經驗知道，要使速度相同的兩輛車停下來，質量大的就比質量小的要難些；同樣，要使質量相同的兩輛車停下來，速度大的就要比速度小的難些。由此可見，在研究物體機械運動狀態(tài)的改變時，必須同時考慮質量和速度這兩個因素，為此而引入了動量的概念。（b）動量定理說明：力在一段時間內的累積效果，是使物體產生動量增量。要產生同樣的效果，即同

4、樣的動量增量，力可以不同，相應作用時間也就不同，力大時所需時間短些，力小時所需時間長些。只要力的時間累積量即沖量一樣，就能產生同樣的動量增量。（c）注意：過程量，累積量；瞬時量；狀態(tài)量。3動量定理的意義和應用時的注意事項（1）動量定理將始末時刻的動量與沖量聯系起來，而忽略細節(jié)變化；即盡管外力在運動過程中時刻改變著，物體的速度方向也可以逐點不同，但動量定理卻總是遵守著。（2）對于碰撞或沖擊過程，牛頓第二定律無法直接使用，可以用動量定理求解；（3）變質量物體的運動過程，用動量定理較方便。（4）只適用于慣性系，且與慣性系的選擇無關。（5）在國際單位制中，沖量的單位是：即 4沖力動量定理常用于碰撞過程

5、。例子，處理方法將在后面介紹（學功、能后）。碰撞一般泛指物體間相互作用時間很短的過程。 在這一過程中，相互作用力往往很大而且隨時間改變，即在極短的時間內，作用力迅速達到很大的量值，然后又急劇地下降為零，這種量值很大、變化很快、作用時間又很短的力通常叫沖力。因為沖力是個變力，它隨時間而變化的關系又比較難確定，所以沖力的瞬時值很難測定，但過程的始末狀態(tài)的動量卻較易測定，如還能測定碰撞所經歷的時間，就可以估算沖力的平均值. 圖3-1 沖量圖3-2 平均沖力現實生活中人們常常為利用沖力而增大沖力，有時又為避免沖力造成損害而減少沖力。如，利用沖床沖壓鋼板，由于沖頭受到鋼板給它的沖量的作用，沖頭

6、的動量很快地減為零，相應的沖力很大，因此鋼板所受的反作用沖力也同樣很大，所以鋼板就被沖斷了。當人們用手去接對方拋來的籃球時，手要往后縮一縮，以延長作用時間從而緩沖籃球對手的沖力?！舅伎肌?沖量的方向是否與作用力的方向相同？ （1）如果F是一個方向不變，大小變的變力，那末沖量I方向與F方向相同，沖量I大小由外力大小和外力持續(xù)作用時間決定。如圖3-2所示，沖量大小等于圖中曲線下的面積或系于平均沖力下的面積。.（2）如果F是一個方向和大小都變的變力，那末沖量I的大小和方向是由這段時間內所有微分沖量Fdt的矢量總和所決定。5動量定理的分量式：（直角坐標系中），.二、質點系的動量定理1內力、外力和設系統(tǒng)

7、內有兩個質點1和2，它們的質量分別為m1和m2。它們所受的作用力分別有：外力：系統(tǒng)外的質點對它們作用的力F1和F2；內力：系統(tǒng)內質點間的相互作用力F21和F12 .圖3-3 質點組2定理推導根據質點的動量定理，在時間內，兩質點所受的沖量和動量增量分別為 和.將上兩式相加，且由牛頓第三定律知系統(tǒng)內兩質點間的內力之和為0，則，即作用于兩質點組成系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)內兩質點動量之和的增量，亦即系統(tǒng)的動量增量。將上述結論推廣到由n個質點所組成的系統(tǒng)，有或，即，作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量這就是質點系的動量定理。（exexternal）3討論和注意（1）作用于系統(tǒng)的合外力是作用于系統(tǒng)

8、內每一質點的外力的矢量和。只有外力才對系統(tǒng)的動量變化有貢獻，而系統(tǒng)的內力是不能改變整個系統(tǒng)的動量的。（2）對于在無限小的時間間隔內，質點系的動量定理可寫成或，表明作用于質點系的合外力等于質點系的動量隨時間的變化率。（3）動量定理與牛頓定律的關系  牛頓定律動量定理力的效果力的瞬時效果力對時間的積累效果關系牛頓定律是動量定理的微分形式動量定理是牛頓定律的積分形式適用對象質點質點、質點系適用范圍慣性系慣性系解題分析必須研究質點在每時刻的運動情況只需研究質點（系）始末兩狀態(tài)的變化【例1】 如圖3-4所示，一質量為0.05kg，速率為10m·s-1的鋼球，它以與鋼板法線呈45

9、76;角撞擊在鋼板上，并以相同的速率和角度彈回來，設球與鋼球的碰撞時間為0.05s，求在此碰撞時間內鋼板所受到的平均沖力。 圖3-4 例1圖 【解】 由題意，因此球所受的平均沖力為.  圖3-5 第二節(jié) 動量守恒定律一、動量守恒定律1表達式：當，恒矢量。2表述：當系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量將保持不變。 3在直角坐標系中，其分量式為其中C1、C2和C3均為恒量。 這個定律的重要性體現在實際應用上。二、應用動量守恒定律的注意問題1在動量守恒定律中，系統(tǒng)的總動量不變，是指系統(tǒng)內各物體動量的矢量和不變，而不是指其中某一個物體的動量不變。2系統(tǒng)動量守恒的條件是合外力

10、為零。但在外力比內力小得多的情況下，外力對質點系的總動量變化影響甚小，這時可以認為近似滿足守恒條件。如碰撞、打擊、爆炸等問題，因為參與碰撞的物體的相互作用時間很短，相互作用內力很大，而一般的外力（如空氣阻力、摩擦力或重力）與內力比較可忽略不計，所以可認為物體系統(tǒng)的總動量守恒。3如果系統(tǒng)所受外力的矢量和并不為零，但合外力在某個坐標軸上的分量為零，那么，系統(tǒng)的總動量雖不守恒，但在該坐標軸的分動量則是守恒的。這對處理某些問題是很有用的。4動量守恒定律是物理學最普遍、最基本的定律之一。但由于是用牛頓運動定律導出動量守恒定律的，所以它只適用于慣性系。雖然動量守恒定律是由牛頓運動定律導出的，但它并不依靠牛

11、頓運動定律。動量的概念不僅適用于以速度 運動的質點或粒子，而且也適用于電磁場，只是對于后者，其動量不再能用這樣的形式表示。不但對可以用作用力和反作用力描述其相互作用的質點系所發(fā)生的過程，動量守恒定律成立；而且，大量實驗證明，對其內部的相互作用不能用力的概念描述的系統(tǒng)所發(fā)生的過程，如光子和電子的碰撞，光子轉化為電子，電子轉化為光子等等過程，只要系統(tǒng)不受外界影響，它們的動量都是守恒的。所以動量守恒定律是物理學中最基本的普適原理之一。 常州三建建筑材卸裝碼頭建筑材料運送到堆棧第三節(jié) 動能定理在很多實際情況中，一個質點受的力隨它的位置而改變，而且力和位置的關系事先可以知道。分析這種情況下質點

12、的運動時，常?？紤]在質點的位置發(fā)生一定變化的過程中，力對它的作用總起來會產生什么效果，也就是要研究力的空間積累效果。力的空間積累用力的功來表示。本節(jié)將介紹功的概念。力對物體做功的效果表現為物體動能的增量，下面將接著介紹與此相關的動能定理。一、功和功率1功的定義力對質點所作的功為力在質點位移方向的分量與位移大小的乘積。在質點的無限小位移中力所作的功也稱為力所作的元功。（1）當時，功為正值，即力對質點作正功；當時，功為負值，即力對質點作了負功。（2）功的定義也可理解為力對質點所作的功為質點的位移在力方向的分量和力的大小的乘積。 （3）時，力不做功。（4）功是標量。只有大小，沒有方向。 圖

13、3-6 功的定義 2變力作功，.在直角坐標系中，.3合力的功根據力的疊加原理. 合力的功為即合力對質點所作的功，等于每個分力所作的功的代數和。一對相互作用力的功與參考系無關。4功的單位：焦耳（J），1J=N·m5功率功隨時間的變化率，. 亦即.所以，平均功率為，功率單位：瓦特（W）.二、質點的動能定理力對質點做功，其效果是使質點的運動狀態(tài)發(fā)生變化。質點動能定理正是反映力做功與質點運動狀態(tài)變化之間的關系。 圖3-7 動能定理由牛頓第二定律及切向加速度的定義得：，.積分可得合外力的功為.1動能的定義.2質點的動能定理，合外力對質點所作的功，等于質點動能的增量。3討論（

14、1）動能Ek是標量，僅是狀態(tài)量v 的單值函數，它是狀態(tài)量；（2）功與動能的本質區(qū)別：它們的單位和量綱相同，但功是過程量，動能Ek是狀態(tài)量；功是能量變化的量度；（3）功和能具有普遍意義；（4）動能定理由牛頓第二定律導出，只適用于慣性參考系，并且動能Ek也與參考系有關。（5）由質點的動能定理可知，當合外力做正功時，質點的動能增加；當合外力做負功時，質點的動能減少。亦即質點反抗外力做功是以自身動能的減少為代價，可見動能是質點因運動而具有的做功本領。（6）動能定理的表達式是一個標量方程，它只涉及質點運動的初態(tài)和終態(tài)，不問運動過程的細節(jié)，因此，在求解某些力學問題時比較方便。【例3】 一質量為m的小球系在

15、長為l的細繩下端，繩的上端固定在天花板上。起初把繩子放在與鉛直線成角處，然后放手使小球沿圓弧下落。試求繩與鉛直線成角時，小球的速率。 圖3-8 例3圖 【解】 （第一步：計算外力所作的功）小球受力如圖3-8所示。由分析可知為變力作功，因為和，并且注意到，因此. （第二步：用動能定理求小球的速度） 由動能定理，得.故繩與鉛直線成角時，小球的速率為.第四節(jié) 保守力與非保守力 勢能由生活經驗知道,從高處落下的重物能夠作功，如打樁、高山上的瀑布落下帶動發(fā)電機發(fā)電，這都說明位于高處的重物具有作功本領。本節(jié)將從幾種常見力的作功特點出發(fā)，引出保守力和非保守力概念，然后介紹勢能概念。一、萬

16、有引力、重力、彈性力作功的特點1重力作功如圖3-9所示，重力在任一元位移中對質點所作的元功為：，因此質點從ab過程中重力所作的總功為：.若物體沿另一路徑adb，結果相同。因此重力的功只與運動物體的始末位置有關，與運動物體所經過的路徑無關。這是重力作功的一個重要特點。 圖3-9圖3-10圖3-112彈性力作功如圖3-10所示，彈性力為，彈性力的功為： ，彈性力對小球作的功只與小球的始末位置有關，而與彈性形變的過程無關。這一特點與重力作功的特點是相同的。3萬有引力作功如圖3-11所示，假設不動，質點m在任一位置處所受的萬有引力為，其中為沿位矢r的單位矢量。當m沿路徑移動位移元dr時，萬有

17、引力作的功為： ，從上圖3-11可看出：，則.所以，質點m從點A沿任一路徑到達點B的過程中，萬有引力作的功為，即.上式表明，當質點的質量和m均給定時，萬有引力作的功只取決于質點m的起始和終了的位置，而與所經過的路徑無關。這與重力、彈姓力作功的特點一樣。重力、彈性力、萬有引力作功特點的另一種表述：物體沿閉合路徑繞行一周，這些力對物體所作的功恒為零。二、保守力與非保守力 保守力作功的數學表達式1保守力和非保守力力對物體所作的功只與物體的始末位置有關，而與路徑無關。或者說物體沿閉合路徑繞行一周，這些力對物體所 作的功恒為零。具有這種特性的力統(tǒng)稱為保守力，例如重力、彈性力、萬有引力、靜電力等。沒有這種

18、特性的力，統(tǒng)稱為非保守力，如摩擦力、爆炸力、安培力等等。2保守力作功的數學表達式，如圖3-11（a）所示，設一物體在保守力作用下由點A沿路徑ACB到達點B，或沿路徑ADB到達點B. 根據保守力作功與路徑無關的特點，有 ，如果物體沿如圖b所示的ACBDA閉合路徑運動一周時，保守力對物體作功為：，注意到，所以有. 圖3-12上式表明，物體沿任意閉合路徑運動一周時，保守力對它所作的功為零。三、勢能物體具有能量的標志是它能作功，這一結論對質點系也是適用的。若質點系能對其他物體作功或對質點系內的質點作功，就表明質點系具有能量。由保守力作功的特點得知，不論沿什么路徑從初位置到末位置，保守力對質點

19、所作的功總是相同的，功的數值由質點的始末位置決定。所以，可以說質點在保守力場中位于初始點和終止點是處于兩個不同的狀態(tài)，這兩個狀態(tài)間存在著一個確定的差別，這種差別可以用當質點從一個狀態(tài)轉變到另一個狀態(tài)時，保守力對質點所作的功為一確定值來表示。為了表示質點在不同位置的各個狀態(tài)間的這種差別，我們說，質點在保守力場中每一位置都存儲著一種能量，這種與質點位置有關的能量稱為勢能。1勢能差物體在保守力場中a、b兩點的勢能、之差等于質點由a點移動到b點過程中保守力對它所作的功Wab，即：（相當一個定義）.2勢能選取為勢能零點，即，那么空間某點的勢能等于質點從該點移動到勢能零點位置時保守力所作的功，例如：選取離

20、地面高度y=0處，則離地面高為y處的重力勢能為. 選取彈簧原長x=0處，則形變?yōu)閤時的彈性勢能為，選取兩個質點相距處，則兩質點相距r時的引力勢能為.3勢能和保守力的微分關系由，可得.即保守力對物體作的功等于物體勢能增量的負值。微分表示為.若 ，則有，比較得：，即.4討論（1）勢能是狀態(tài)的函數：因為在保守力作用下，只要物體的起始和終了位置確定了，保守力所作的功也就確定了，而與所經過的路徑無關，所以說，勢能是坐標的函數，亦即是狀態(tài)的函數。（2）某點處系統(tǒng)的勢能只有相對意義，勢能的值與勢能零點的選取有關。勢能零點也可以任意選取，但以簡便為原則，選取不同的勢能零點，物體的勢能就將具有不同的值。但兩點間

21、的勢能差則是絕對的，與勢能零點的選取無關。（3）勢能是屬于系統(tǒng)的：勢能是由系統(tǒng)內各物體間相互作用的保守力和相對位置決定的能量，因而它是屬于系統(tǒng)的。單獨談單個物體的勢能是沒有意義的。如重力勢能就是屬于地球和物體所組成的系統(tǒng)的。同樣，彈性勢能和引力勢能也是屬于有彈性力和引力作用的系統(tǒng)的。習慣上稱某物體的勢能，這只是敘述上的簡便而已。（4）只有保守力場才能引入勢能的概念。二、勢能曲線當坐標系和勢能零點確定后，質點的勢能僅是坐標的函數，即，按此函數畫出的勢能隨坐標變化的曲線，稱為勢能曲線。如圖3-13所示。勢能曲線是勢能隨相對位置變化的曲線。它為研究勢場中的物體的運動提供了一種形象化的手段。以彈簧振子

22、的勢能曲線為例，說明勢能曲線的應用。（1）從勢能曲線上，可以清晰地看出物體在保守場中運動過程能量的轉換關系。EPx 圖中，水平線代表系統(tǒng)的總機械能E，勢能小于E的區(qū)域（-A到A之間）為物體可以到達的相對位置，當物體到達任意位置x時，系統(tǒng)的勢能為EP（如圖3-14所示），總機械能E與EP的差值即為該時刻物體的動能Ek .（2）由勢能曲線上各點的斜率大小和正負，可以判定物體所受保守力的大小和方向。由得 x>0 區(qū)間 ，所以；x<0 區(qū)間，所以，即曲線上斜率大處Fx大，曲線上斜率小處，Fx小，斜率為零處，Fx = 0 .  圖3-13 勢能曲線 圖3-14 彈性勢能第五節(jié) 功能

23、原理 機械能守恒定律前面討論的是質點的能量動能和勢能，以及合外力對質點作功引起質點動能改變的動能定理。下面將討論由多個質點組成的質點系的情況。而系統(tǒng)內的質點，既受到系統(tǒng)內各質點之間相互作用的內力，又可能受到系統(tǒng)外的物體對系統(tǒng)內質點作用的外力。無論內力或外力，都可以是保守力或非保守力。一、質點系的動能定理設系統(tǒng)內有n個質點，作用于各個質點的力所作的功，由質點的動能定理可分別得出，···以上各式相加可得：，其物理意義是：作用于質點系的力所作的功，等于該質點系的動能增量。因為系統(tǒng)內的質點所受的力，既有來自系統(tǒng)外的外力，也有來自系統(tǒng)內各質點間相互作用的內力，所以有，也就是

24、.質點系的動能的增量等于作用于質點系的一切外力作的功于一切內力作的功之和。這就是質點系的動能定理。二、質點系的功能原理1表達式推導我們將內力區(qū)分為保守內力和非保守內力，則，而系統(tǒng)內保守力作的功等于勢能增量的負值，即，則質點系的動能定理可表示為.即，這就是質點系的功能原理。2表述質點系統(tǒng)在運動過程中，所有外力的功和系統(tǒng)內非保守內力的功的總和等于系統(tǒng)機械能的增量。3討論功能原理與質點系動能定理不同之處是功能原理將保守內力作的功用勢能差來代替。因此，在用功能原理解題的過程中，計算功時，要注意將內部保守內力的功除外。三、機械能守恒定律1數學表示當系統(tǒng)滿足，則有，即.2文字表述如果一個系統(tǒng)只有保守內力做

25、功，其它內力和一切外力都不做功，或所做功的代數和等于零，那末系統(tǒng)內質點間的動能和勢能可以互相轉換，但它們的總和保持不變。機械能守恒和轉換定律。3解題時注意事項（1）明確系統(tǒng)中的物體；（2）機械能守恒的前提:只有保守內力做功，其它內力和外力不做功，或它們作功的代數和為零，或可以忽略不計；（3）只適用于慣性參考系。因為在非慣性參考系中，即使?jié)M足上述條件，但由于慣性力可能做功，所以機械能不一定守恒；（4）與慣性參考系的選擇有關。因為我們知道，內力總是成對出現的，它們作功的和與參考系的選擇無關，但是外力作功卻與參考系有關，它們作功總和是否為零則決定于參考系的選擇。4討論機械能守恒定律也可以表示為. 即

26、.上式表明，在滿足機械能守恒的條件下，系統(tǒng)內各質點的動能和各種勢能可以相互轉換，但它們的總和（即總機械能）卻保持不變。四、宇宙速度由地面處發(fā)射使物體繞地球運動（人造地球衛(wèi)星）所需的最小速度，稱為第一宇宙速度。使物體脫離地球的引力范圍所需的最小速度，稱為第二宇宙速度。使物體脫離太陽系所需的最小速度，稱為第三宇宙速度。試計算這三種宇宙速度。1第一宇宙速度地球對衛(wèi)星的引力為：.若不計空氣阻力，引力即為衛(wèi)星作圓周運動的向心力，化簡得.衛(wèi)星在地面上時，即.代入式得.  圖3-15這就是衛(wèi)星在半徑為 r 的圓軌道上運轉所需的速度，稱為環(huán)繞速度。令=6.37×106m，得第一宇宙速度=7

27、.91×103m·s-1 .2第二宇宙速度以物體和地球為研究系統(tǒng)。忽略空氣阻力，只有保守力做功，所以系統(tǒng)的機械能守恒。設v為物體離開地面時的速度，為物體遠離地球時的速度。并選取無窮遠處為萬有引力勢能的零點，由機械能守恒定律，因為，所以得. 圖3-16地面上，地球半徑=6.37×106m . 所以，=11.2×103m·s-1 稱為第二宇宙速度或稱為脫離地球的逃逸速度。3第三宇宙速度物體飛出太陽系去，必須滿足，MS為太陽的質量，為地球和太陽的距離，為物體相對于太陽系的逸出速度。代入各值得=1.99×1030kg，=1.496&

28、#215;1011m ，=42.2×103m·s-1 .由于地球繞太陽的平均速度為29.8×103m·s-1，借助地球的公轉，物體被發(fā)射的速度相對地球來說，只需要=(42.2-29.8)×103m·s-1 =12.4×103m·s-1 .從地面發(fā)射的物體，飛出太陽系時，既要脫離太陽的引力作用，也要脫離地球的引力作用，發(fā)射時的能量必須滿足，所以, =16.7×103m·s-1 .這就是從地面發(fā)射使星體飛離太陽系的最小速度，即第三宇宙速度。第六節(jié) 碰撞碰撞，一般是指兩個物體在運動中相互靠近，或發(fā)生接觸時，在相對較短的時間內發(fā)生強烈相互作用的過程（例子）。碰撞會使兩個物體或其中的一個物體的運動狀態(tài)發(fā)生明顯的變化。碰撞過程一般都非常復雜，難于對過程進行仔細分析。但由于我們通常只需要了解物體在碰撞前后運動狀態(tài)的變化，而對發(fā)生碰撞的物體系來說，外力的作用又往往可以忽略，因而可以利用動量、角動量以及能量守恒定律對有關問題求解。一、完全彈性碰撞