數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模A試卷及參考答案

1、數(shù)學(xué)建模A試卷參考答案一.概念題（共3小題，每小題5分，本大題共15分）1、什么是數(shù)學(xué)模型？（5分）2、數(shù)學(xué)建模有哪幾個(gè)過程？ 答：數(shù)學(xué)建模有如下幾個(gè)過程: 檢驗(yàn)，模型應(yīng)用。3、試寫出神經(jīng)元的數(shù)學(xué)模型。答：數(shù)學(xué)模型可以描述為，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（5分）模型準(zhǔn)備，模型假設(shè)，模型構(gòu)成，模型求解，模型分析，模型答：神經(jīng)元的數(shù)學(xué)模型是其中x=（Xi,xm）T輸入向量，y為輸出，Wi是權(quán)系數(shù)；輸入與輸出具有如下關(guān)系:myf(WiXi)i1(5分)。為閾值，f（X）是激發(fā)函數(shù)；它可以是線性函數(shù)，

2、也可以是非線性函數(shù).二、模型求證題（共2小題，每小題10分，本大題共20分）1、（I）以雇員一天的工作時(shí)間t和工資w分別為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，畫出雇員無差別曲線族的示意圖。解釋曲線為什么是你畫的那種形狀。（5分）（2）如果雇主付計(jì)時(shí)工資，對(duì)不同的工資率（單位時(shí)間的工資）畫出計(jì)時(shí)工資線族。根據(jù)雇員的無差別曲線族和雇主的計(jì)時(shí)工資線族，討論雙方將在怎樣的一條曲線上達(dá)成協(xié)議。（5分）答：（I）雇員的無差別曲線族f（w,t）=C是下凸的，如圖1,因?yàn)楣べY低時(shí)，他愿以較多的工作時(shí)間換取較少的工資；而當(dāng)工資高時(shí)，就要求以較多的工資來增加一點(diǎn)工作時(shí)間.（2）雇主的計(jì)時(shí)工資族是w=at,a是工資率.這族直線與f（w

3、,t）=c的切點(diǎn)P1，P2,P3,的連線PQ為雇員與雇主的協(xié)議線.通常PQ是上升的（至少有一段應(yīng)該是上升的），見圖1.國2、試作一些合理的假設(shè)，證明在起伏不平的地面上可以將一張椅子放穩(wěn)。凳是否成立，為什么？（3分）答：（一）假設(shè)：電影場地面是一光滑曲面，方凳的四腳連線構(gòu)成一正方,形。|如圖建立坐標(biāo)系：其中A,B,C,D代表方凳的四個(gè)腳，以正方）1（7分）又問命題對(duì)長記H為腳A,C與地面距離之和，G為腳B,D與地面距離之和，0為AC連線與X軸的夾角，不妨設(shè)H（0）0 , G（0）=0,（為什么?） 令f（ 0 ） = H（ 0 ） - G（ 0 ）則f是。的連續(xù)函數(shù)，且f（0）=H（0）0將方凳

4、旋轉(zhuǎn) 90° ,則由對(duì)稱性知 H（兀/2）=0, G（兀/2）=H（0）.的中心為坐標(biāo)系原點(diǎn)。L從而 f（兀 /2）= -H（0） 0由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在。C（二）命題對(duì)長凳也成立，只須記（0,兀 /2）,使 f（ 0 ） = 0H為腳A,B與地面距離之和, G為腳C,D與地面距離之和， 0為AC連線與X軸的夾角將。旋轉(zhuǎn)1800同理可證。三、模型計(jì)算題（共5小題，每小題9分，本大題共45分）1/313，試用和法求其最大特征根及對(duì)應(yīng)的特征向量及一致性指標(biāo)。1/5 1/3 1（9分）135答：A1/313中各列歸一化1/51/311.9各行求和0 0.782再歸一化15/23 9

5、/13 5/9* 5/23 3/13 3/93/23 1/13 1/90.6330.261 =w0.3180.106w即為對(duì)應(yīng)最大特征根的特征向量。3分）1.946而Aw0.790,（2分），0.320所以最大特征根為13(Aw)i11.9460.7900.320、-()3.04(2分)3iiWi30.6330.2610.106.,33043(2分)其一致性指標(biāo)為：CI=一330.023122、甲、乙、丙三人經(jīng)商，若單干，每人僅能獲利1元，甲乙合作可獲利7元，甲丙合作可獲利5元，乙丙合作可獲利4元；三人合作可獲利10元，問三人合作時(shí)怎樣合理地分配10元的收入。v(1,2) 7,4, v(I )

6、 10解：甲、乙、丙三人記為I1,2,3,經(jīng)商獲利定義為I上的特征函數(shù)，即v0,1 2& 2 43v(1)v(2)v(3)1,v(1,3)5,v(2,3)s11、21、3Ivs17510vs10114vsvs11646s1223ws1/31/61/61/3wsvsvs11/312/323分卜表是關(guān)于甲的分配y1（v）的計(jì)算。同法可算得：2v3.5（元），3（v）2.5（元）3、產(chǎn)品每天需求量為常數(shù)r,每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為C1,每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)用為C2,試作一合理假設(shè)，建立不允許缺貸的存貯模型，求生產(chǎn)周期及產(chǎn)量使總費(fèi)用最小。解:模型假設(shè)：1 .產(chǎn)品每天需求量為常數(shù)r2 .每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用

7、為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)用為c23 .生產(chǎn)能力無限大4 .生產(chǎn)周期為T,產(chǎn)量為Q（3分）模型建立_2皿.，C2rT、一周期總費(fèi)用如下：CCi（1分）2一周期平均費(fèi)用為f(T)CiC2rT(1分)2Ci模型求解：用微分法解得周期T J1.rC 2- 2rC i廠量Q C24、設(shè)漁場魚量滿足下列方程：（10分）x（t） r（N x） Ex試求其平衡點(diǎn)，并指出平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：rN平衡點(diǎn)由F（x） r（N x） Ex 0確定，解得平衡點(diǎn)x r El / 一 一 /一 l crNF （x） （r E） 0 得平衡點(diǎn)x 是穩(wěn)定的r E（2分）（2分）（4分）（5分）5、某城市經(jīng)過對(duì) 300人的抽樣調(diào)

8、查得知：原飲水果酒的人仍然售歡飲水果酒的占85%,改飲啤酒的人的占5% ,改飲白酒的占10%,原飲啤酒的人仍然喜歡飲啤酒的占 90%,改飲水果酒 和白酒的各占5% ,原飲白酒的仍喜歡飲白酒的占 80% ,改飲水果酒和啤酒的各占 10%。試構(gòu) 造馬氏鏈模型，它是正則鏈嗎？若是，請(qǐng)求其穩(wěn)態(tài)概率。解：狀態(tài)定義為i 1 （水果酒）2 （啤酒） 3 （白酒）0.85容易求得，轉(zhuǎn)移概率陣為：P 0.050.10因?yàn)镻 >0,所以這是正則鏈記w （ W|, W2 ,W3 ）為穩(wěn)態(tài)概率0.05 0.100.90 0.05（3 分）0.10 0.80（2分）則有W P w（2分）W1 w2 w31解得 w

9、 （0.32,0.42,0.26）（2分）四、建模題（共2小題，每小題10分，本大題共20分）1、假設(shè)人對(duì)某種傳染病一旦患病而痊愈，則以后就不會(huì)再患病。將人群分為未感染者S、患者I、已治愈者（包括死亡者R）三種人，試作出必要的假設(shè)并寫出該傳染病的擴(kuò)散微分方程模型（不必求解）。（10分）答：假設(shè)：（1）設(shè)一個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)能傳染的病人數(shù)i（t）與當(dāng)時(shí)的未感染人數(shù)s（t）成正比,比例系數(shù)為（稱為感染率）；(2)設(shè)在t時(shí)刻，已治愈人數(shù)(包括死亡人數(shù))為；(3)設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)病人的治愈率為科,即qnt)i(t)；dt(4)病人痊愈后不會(huì)再被傳染。(4分)則有：當(dāng)s(t)i(t)i(t)dtds八年s(t)i(t)(6分)dts(t)i(t)r(t)Ni(0)i0,s(0)S0,r(0)02、某食品加工廠擬安排生產(chǎn)計(jì)劃，已知一桶牛奶加工12小時(shí)后可生產(chǎn)A產(chǎn)品3公斤，A產(chǎn)品可獲利24元/公斤，或一桶牛奶加工8小時(shí)可生產(chǎn)B產(chǎn)品4公斤，B產(chǎn)品可獲利16元/公斤。現(xiàn)每天可供加工的牛奶為50桶，加工工時(shí)至多為480小時(shí)，且A產(chǎn)品至多只