含參變量無(wú)窮積分的一致收斂性

1、含參變量無(wú)窮積分的一致收斂性論文摘要：本文通過(guò)含參變量無(wú)窮積分與函數(shù)級(jí)數(shù)之間的關(guān)系，歸納總結(jié)了含參變量無(wú)窮積分的一致收斂性的判別法(柯西一致收斂準(zhǔn)則、魏爾斯特拉斯 判別法、狄利克雷判別法等)及其性質(zhì).關(guān)鍵詞：含參變量無(wú)窮積分 一致收斂 判別法無(wú)窮積分與級(jí)數(shù)的斂散概念、斂散判別法及其性質(zhì)基本上是平行的，不難想到，含參變量無(wú)窮積分與函數(shù)級(jí)數(shù)之間亦應(yīng)如此，為了討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì),我們?cè)谑諗繀^(qū)域上提出了更高的要求,引進(jìn)了一致收斂的概念,同樣,在討論含參變量無(wú)窮積分所確定的函數(shù)的分析性質(zhì)時(shí),一致收斂同樣也起著重要的作用.因此,含參變量無(wú)窮積分的一致收斂性是數(shù)學(xué)分析中非常重要的知識(shí)點(diǎn)，也是學(xué)

2、生不容易掌握的難點(diǎn)，從而,我試著類(lèi)比、總結(jié)得出含參變量無(wú)窮積分的一致收斂性的判別法及其性質(zhì)，以便使學(xué)生對(duì)此有一個(gè)更為系統(tǒng)和深刻的了解.1.含參變量無(wú)窮積分一致收斂的判別法我們很自然的可以想到運(yùn)用定義來(lái)證明.定義 設(shè)區(qū)間,無(wú)窮積分收斂,若,(通用),有|=|,則稱無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂.用定義證明一致收斂的關(guān)鍵在于尋找只與有關(guān)的共同的，方法常常是采取適當(dāng)放大的方法.例 1證明：無(wú)窮積分在區(qū)間，+（0）一致收斂，而在（0，+）上非一致收斂.證明 ，對(duì)解不等式，有,取，則，有，因此，在（0，+）是收斂的，但不能斷定是一致收斂的，因?yàn)槲覀兯业降牟粌H跟有關(guān)，而且與有關(guān).事實(shí)上，在是非一致收斂的，只需取

3、，取，則，但在一致收斂（其中），由不等式： ,有,解不等式,有,于是取，時(shí)，對(duì)一切,有，所以，在（其中）一致收斂.此題中，我們還可以計(jì)算出在上的收斂值.事實(shí)上，對(duì)任意，都有，所以,，即在（0，+）收斂于1.定理 1（柯西一致收斂準(zhǔn)則）無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂與 . 定理 2（魏爾斯特拉斯 M判別法）若，有 ,且無(wú)窮積分收斂，則無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂. 該定理是判別某些無(wú)窮積分一致收斂性的很簡(jiǎn)便的判別法，但這種方法有一定 的局限性：凡能用定理2判別無(wú)窮積分是一致收斂，此無(wú)窮積分必然是絕對(duì)收斂；如果無(wú)窮積分時(shí)候一致收斂，同時(shí)又是條件收斂，那么就不能用定理2來(lái)判別。對(duì)于這種情況，我介紹如下定理： 定理

4、 3 若函數(shù)在 區(qū)間連續(xù)，且在有界，即有 ,則當(dāng)時(shí)，無(wú)窮積分.在區(qū)間一致收斂. 例 2 證明：無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂。 證明 只需注意：令,有.類(lèi)似于魏爾斯特拉斯 M判別法有如下定理： 定理 4設(shè)在區(qū)間一致收斂，有存在,使當(dāng)與時(shí)，恒有成立，且當(dāng)時(shí)，對(duì)任意均關(guān)于在上可積，則關(guān)于時(shí)在一致收斂且絕對(duì)收斂. 例 3 設(shè)又存在，使當(dāng)時(shí)，恒有成立，且當(dāng)時(shí)，對(duì)任意均關(guān)于在上可積，試證在區(qū)間上一致收斂且絕對(duì)收斂. 證明 只需注意此時(shí)收斂即可. 關(guān)于含參量無(wú)窮積分一致收斂性與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂之間的聯(lián)系有下述定理： 定理 5含參量無(wú)窮積分在區(qū)間上一致收斂的充要條件是：對(duì)任一趨于的遞增數(shù)列（其中），函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)

5、間上一致收斂.在知道無(wú)窮積分關(guān)于在區(qū)間上的收斂值時(shí)，可應(yīng)用下述定理：定理 6關(guān)于在區(qū)間上一致收斂于的充要條件是.例 4 判斷關(guān)于在上和內(nèi)的一致收斂性.解 顯然關(guān)于在內(nèi)收斂于. =， 而 =.由定理6，得關(guān)于在上一致收斂于，在內(nèi)非一致收斂. 定理 7關(guān)于在區(qū)間上一致收斂于的充要條件是：對(duì)任意，都有. 例 5 試證關(guān)于在內(nèi)非一致收斂. 證明 顯然關(guān)于在內(nèi)收斂于.取則但是 由定理7, 關(guān)于在內(nèi)非一致收斂.與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相應(yīng)的判別法相仿，有 定理 8 （狄利克雷判別法）設(shè)（）對(duì)一切實(shí)數(shù)，含參變量無(wú)窮積分 對(duì)參變量在上一致有界，即存在正數(shù)，對(duì)一切及一切，都有 ；（）對(duì)每一個(gè)，函數(shù)關(guān)于是單調(diào)遞減且當(dāng)時(shí)，對(duì)參

6、變量，一致地收斂于0,則含參變量無(wú)窮積分 在上一致收斂. 定理 9 （阿貝爾判別法）設(shè)（）在上一致收斂;（）對(duì)每一個(gè)，函數(shù)為的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)參變量，在上一致有界,則含參變量無(wú)窮積分 在上一致收斂. 例 6 證明含參變量無(wú)窮積分在上一致收斂. 證明 由于無(wú)窮積分收斂，（當(dāng)然，對(duì)于參變量，它在一致收斂），函數(shù)對(duì)每一個(gè)單調(diào)，且對(duì)任何，都有 ，故由阿貝爾判別法即得含參變量無(wú)窮積分在上一致收斂. 定理 10 設(shè)對(duì)任意， 均關(guān)于在點(diǎn)左（或右）連續(xù)，但發(fā)散，則對(duì)任意， 關(guān)于在（或）內(nèi)非一致收斂. 推論 設(shè)存在，使在或上連續(xù)，但發(fā)散，則對(duì)任意， 關(guān)于在或內(nèi)非一致收斂. 證明 對(duì)任意，由已知及含參變量無(wú)窮積分的

7、性質(zhì)， 都關(guān)于在或上連續(xù)，當(dāng)然在點(diǎn)左（或右）連續(xù)，再由已知及定理10，對(duì)任意， 關(guān)于在或內(nèi)非一致收斂. 例 7 試證：對(duì)任意， 關(guān)于在內(nèi)非一致收斂.證明 由于在上連續(xù)，但發(fā)散，由本推論，易得對(duì)任意， 關(guān)于在內(nèi)非一致收斂. 定理 11 設(shè)關(guān)于在上收斂于，在上連續(xù)，又在上連續(xù)，且恒有 成立，則關(guān)于在區(qū)間上一致收斂于. 例 8 試證關(guān)于在上一致收斂于. 證明 顯然關(guān)于在上收斂于， 在內(nèi)連續(xù)，又在上連續(xù)且恒正，由定理11得 關(guān)于在上一致收斂于. 定理 12 設(shè)當(dāng)和時(shí)，恒有 成立，且與均關(guān)于在區(qū)間上一致收斂于，則關(guān)于在區(qū)間上一致收斂于. 證明 對(duì)任意和，都有 .因此,不難得出結(jié)論.本定理與數(shù)列收斂的判別

8、法中兩邊夾定理如出一轍，故我將其稱之為兩邊夾定理.2.含參變量無(wú)窮積分一致收斂的性質(zhì) 和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)類(lèi)似的，含參變量無(wú)窮積分也具有如下三條性質(zhì)定理，故證明過(guò)程從略. 定理 13 （連續(xù)性）若函數(shù)在區(qū)域連續(xù)，且無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂，則函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，且.定理14 （可微性）若函數(shù)與在區(qū)域連續(xù)，且無(wú)窮積分在區(qū)間收斂且無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂，則函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，且，即 .簡(jiǎn)稱積分號(hào)下可微分.定理 15 （可積性）若函數(shù)與在區(qū)域連續(xù)，且無(wú)窮積分在區(qū)間一致收斂，則函數(shù)在區(qū)間可積，且，即. 定理13、14分別表明：在一致收斂的條件下，極限運(yùn)算、求導(dǎo)運(yùn)算和積分運(yùn)算可以交換；定理15表明在一致收斂的條件下，積分

9、順序可以交換。這三個(gè)定理在計(jì)算含參變量無(wú)窮積分上有極其廣泛的應(yīng)用.例 9 計(jì)算 解法一 設(shè)， ，因?yàn)椋?所以，函數(shù)在可連續(xù)開(kāi)拓。使與在區(qū)域連續(xù)，與，使，無(wú)窮積分在一致收斂.事實(shí)上， ，有,已知收斂，則在一致收斂.根據(jù)定理14， ,有.從而.令，已知，有，因此，于是，有.解法二 由于，所以.記，則在或上連續(xù)，且對(duì)一切或上一致收斂，所以由定理15,得 .當(dāng)定理15中的取值范圍為無(wú)限區(qū)間時(shí)，則有如下定理：定理 16 設(shè)在上連續(xù)，若() 關(guān)于在任何閉區(qū)間上一致收斂，關(guān)于在任何閉區(qū)間上一致收斂,()積分與 （*）中只有一個(gè)收斂，則（*）式中另一個(gè)積分也收斂，且.同定理15一樣，滿足定理16中兩個(gè)條件的積分也可交換積分順序，其積分值不變.3.小結(jié)本文全面的總結(jié)了含參變量無(wú)窮積分的一致收斂性的判別法和性質(zhì)，并對(duì)某些定理作出了應(yīng)用舉例，然而要熟練掌握以上定理，關(guān)鍵是理解它們各自應(yīng)用的范圍及其相互聯(lián)系，以趨達(dá)到靈活應(yīng)用.參考文獻(xiàn)1賀自樹(shù).一致收斂教學(xué)的探討J.重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.1998.152劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義