24拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案

1、2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程【自主學(xué)習(xí)】1. 拋物線定義： 2推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系系，設(shè)|KF|=（>0）,那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，（自己完成推導(dǎo)過程）（1）它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（,0），準(zhǔn)線方程是 （2）一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式3拋物線的準(zhǔn)線方程：如圖所示，分別建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出|KF|=（>0），則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下： 按要求填寫下表：標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程【自主檢測】 1拋物

2、線y220x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(10,0)B(5,0) C(0,10) D(0,5)2拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)恰好與橢圓1的一個焦點(diǎn)重合,則p()A1 B2 C4 D83拋物線y24x上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是5，則P點(diǎn)坐標(biāo)是_4拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.求拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線例1：設(shè)拋物線的方程為yax2(a0)，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程訓(xùn)練1：已知橢圓x2ky23k(k>0)的一個焦點(diǎn)與拋物線y212x的焦點(diǎn)重合，則該橢圓的離心率是_求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2：求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：

3、(1)過點(diǎn)(3,2)； (2)焦點(diǎn)在直線x2y40上訓(xùn)練2：根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為y1； (2)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2拋物線定義的應(yīng)用例3：已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，拋物線上的點(diǎn)M(3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值訓(xùn)練3：1)已知拋物線y24x上一點(diǎn)M與該拋物線的焦點(diǎn)F的距離|MF|4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x_(2)斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y24x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，則線段AB的長為_拋物線的實(shí)際應(yīng)用例4：如圖(1)所示，花壇水池中央有一噴泉，水管OP1m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點(diǎn)后

4、落下，若最高點(diǎn)距水面2m，P距拋物線的對稱軸1m，則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計多少米？(精確到1m)訓(xùn)練4：某河上有座拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱頂5m時，水面寬為8m，一木船寬4m，高2m，載貨后木船露在水面上的部分高為m，問水面上漲到與拱頂相距多少時，木船開始不能通航？對含參數(shù)問題中參數(shù)的取值考慮要全面例5：設(shè)拋物線y2mx的準(zhǔn)線與直線x1的距離為3，求拋物線的方程拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課后作業(yè)1拋物線y2ax(a0)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是() A. B. C|a| D2已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，焦點(diǎn)在雙曲線1上，則拋物線方程為()Ay28x By24x Cy22x Dy2±8x3

5、拋物線y22px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是a(a>)，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是()Aa Ba Cap Dap4過點(diǎn)M(2,4)作與拋物線y28x只有一個公共點(diǎn)的直線l有()A0條 B1條 C2條 D3條5已知拋物線y22px(p>0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax1 Bx1 Cx2 Dx26設(shè)拋物線y22x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M(，0)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，|BF|2，則BCF與ACF的面積之比等于()A. B. C. D.7拋物線x212y0的準(zhǔn)線方程是_8若動點(diǎn)P在

6、y2x21上，則點(diǎn)P與點(diǎn)Q(0，1)連線中點(diǎn)的軌跡方程是_9已知拋物線x2y1上一定點(diǎn)A(1,0)和兩動點(diǎn)P，Q，當(dāng)PAPQ時，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是_班級序號：16 姓名 10已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，拋物線上的點(diǎn)M(3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值，并寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程11求焦點(diǎn)在x軸上且截直線2xy10所得弦長為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì)【自主學(xué)習(xí)】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，研究它的幾何性質(zhì)：1范圍2對稱性3頂點(diǎn)4離心率 拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的

7、比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知，e= 注意：拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線.【自主檢測】1若拋物線y2x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(，±)B(，±) C(，) D(，)2 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6的拋物線方程是_3已知直線ya交拋物線yx2于A、B兩點(diǎn)，若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_4過拋物線y28x的焦點(diǎn)，作傾斜角為45°的直線，則被拋物線截得的弦長為()A8 B16 C32 D615已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，

8、Q是直線PF與C的一個交點(diǎn)，若4，則|QF|() A B3 C D26直線l過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點(diǎn)求證：x1x2，y1y2p2拋物線的對稱性例1：正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y22px(p>0)上，求這個正三角形的邊長訓(xùn)練1：等腰RtABO內(nèi)接于拋物線y22px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OAOB，則ABO的面積是()A8p2B4p2C2p2Dp2拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)例2：斜率為2的直線經(jīng)過拋物線y24x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長訓(xùn)練2：過拋物線y28x的焦點(diǎn)作直

9、線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|的值為_最值問題例3：設(shè)P是拋物線y24x上的一個動點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值訓(xùn)練3：定點(diǎn)M與拋物線y22x上的點(diǎn)P之間的距離為d1，P到拋物線準(zhǔn)線l的距離為d2，則d1d2取最小值時，P點(diǎn)坐標(biāo)為() A(0,0)B(1，) C(2,2) D例4： 如圖，過拋物線y2x上一點(diǎn)A(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB、AC交拋物線于B、C兩點(diǎn)，求證：直線BC的斜率是定值例5：設(shè)拋物線C：x22py的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上

10、一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)(1)若BFD90°，ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程(2)若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值?！究偨Y(jié)提升】類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，推導(dǎo)拋物線的幾何性質(zhì)，需注意拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線.拋物線的簡單幾何性質(zhì)課后作業(yè)1頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線過點(diǎn)(2,3)，它的方程是()Ax2y或y2x By2x或x2y Cy2x Dx2y2若拋物線y22px (p>0)上三個點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三個點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離的關(guān)

11、系是() A成等差數(shù)列 B既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列 C成等比數(shù)列 D既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列3已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為() A. B3 C. D.4設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2ax(a0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為()Ay2±4x By2±8x Cy24x Dy28x5設(shè)直線l1：y2x，直線l2經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，拋物線C：y24x，已知l1、l2與C共有三個交點(diǎn)，則滿足條件的直線l2的條數(shù)為() A1 B2 C3 D46過拋物線y2a

12、x (a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若PF與FQ的長分別為p、q，則等于() A2a B. C4a D.7已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線yx與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2，2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為_8已知F是拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，A、B是拋物線C上的兩個點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(2,2)，則ABF的面積等于_9過拋物線x22py (p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸的左側(cè))，則_.10設(shè)拋物線ymx2 (m0)的準(zhǔn)線與直線y1的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程11過點(diǎn)Q(4,1)作

13、拋物線y28x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直線方程2.4.3.直線與拋物線的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 通過本節(jié)的學(xué)習(xí),能運(yùn)用性質(zhì)解決直線與拋物線位置有關(guān)的簡單問題,進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.【自主學(xué)習(xí)】1、直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線,拋物線,直線與拋物線的交點(diǎn)的個數(shù)等價于方程組解的個數(shù),也等價于方程解的個數(shù).3、 當(dāng)時:當(dāng)時,直線和拋物線_,有_公共點(diǎn);當(dāng)時,直線和拋物線_,有_公共點(diǎn); 當(dāng)時,直線和拋物線_,有_ 公共點(diǎn)4、 當(dāng),即直線方程為時，則直線與拋物線相交,有一個公共點(diǎn)5、 特別地,當(dāng)直線的斜率不存在時, 即直線方程為，則當(dāng), 與拋物線相交,有兩個公共點(diǎn);當(dāng)時,與拋物線相切,有

14、一個公共點(diǎn)；當(dāng)時,與拋物線相離,無公共點(diǎn). 注: 直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)時，它們可能相切，也可能相交【自主檢測】1 在拋物線y28x中，以(1，1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是()A. x4y30 Bx4y30 C4xy30 D4xy302已知拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F作傾斜角為30°的直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若(0,1)，則() A B C D3已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)若AB中點(diǎn)為(2,2)，則直線l的方程為_4已知拋物線C：y22px(p>0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l

15、相交于A，與C的一個交點(diǎn)為B，若AM，則p_直線與拋物線的位置關(guān)系例1：已知拋物線C：y22x，過點(diǎn)P(1,1)的直線l斜率為k，當(dāng)k取何值時，l與C有且只有一個公共點(diǎn)，有兩個公共點(diǎn)，無公共點(diǎn)？訓(xùn)練1：已知點(diǎn)A(0,2)和拋物線C：y26x，求過點(diǎn)A且與拋物線C有且僅有一個公共點(diǎn)的直線l的方程弦長問題 例2：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，截直線2xy10所得弦長為，則拋物線方程為_ _訓(xùn)練2：已知拋物線y24x的一條過焦點(diǎn)的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)(0,2)，則_對稱問題例3：已知拋物線y2x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：yk(x1)1對稱，求實(shí)數(shù)k的

16、取值范圍訓(xùn)練3：已知拋物線yx23上存在關(guān)于直線xy0對稱的相異兩點(diǎn)A、B，求A、B兩點(diǎn)間的距離注意特殊情形例4：求過點(diǎn)P(0,1)且與拋物線y22x只有一個公共點(diǎn)的直線方程直線與拋物線的位置關(guān)系課后作業(yè)1已知拋物線y26x的弦AB經(jīng)過點(diǎn)P(4,2)，且OA OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求弦AB的長2已知拋物線C：y22px(p>0)過點(diǎn)A(1，2) (1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課后作業(yè)參考答案1BDBCBA7y3 8y4x2 9(，31，)10y28x，m±2.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x2.2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)課后作業(yè)參考答案1BAABCD7y24x 82 9.10x28y或x216y. 11 4xy150.2.4.3.直線與拋物線的位置關(guān)系課后作業(yè)參考答案1解析由A、B兩點(diǎn)在拋物線y26x上，可設(shè)A(，y1)，B(，y2)因?yàn)镺AOB，所以·0.由(，y1)，(，y2)，得y1y20. y1y20，y1y236，點(diǎn)A、B與點(diǎn)P(4,2)在一條直線上， ，化簡得， 即y1y