基于FFT 變換的平面瞬態(tài)近場聲全息

1、基于FFT 變換的平面瞬態(tài)近場聲全息    摘 要：本文推導了平面瞬態(tài)近場聲全息的重建公式。平面瞬態(tài)近場聲全息實際上是在平面穩(wěn)態(tài)近場聲全息的基礎上增加了一維對時間的傅利葉變換，從而對全息面上每一頻率所對應的波數(shù)譜，運用穩(wěn)態(tài)近場聲全息的重建公式實現(xiàn)對重建面上波數(shù)譜的重建，最后對求得的所有頻率上的波數(shù)譜疊加并進行反變換來獲得重建面上的瞬態(tài)聲壓。數(shù)值仿真證明了基于FFT變換的平面瞬態(tài)近場聲全息的可行性。關鍵詞：平面瞬態(tài)近場聲全息；平面穩(wěn)態(tài)近場聲全息；波數(shù)譜中圖分類號：4320，43631 引言目前，近場聲全息技術（NAH）已成為一種有效地進行聲場重建的工具，國

2、內(nèi)外學者對此做了大量的研究，但這些研究大多集中在穩(wěn)態(tài)輻射聲場的重建1,2，而在實際的工程應用中，許多聲源輻射的聲場為瞬態(tài)聲場，例如發(fā)動機急剎車時的制動尖叫噪聲，醫(yī)學超聲診斷中的脈沖壓電傳感器產(chǎn)生的瞬態(tài)聲場等，對于這樣的瞬態(tài)聲場，不僅要了解它的空間分布特征，而且要了解它的時間分布特點。1995 年，Wang3在其博士論文中第一次對瞬態(tài)聲場進行了重建，作者首先運用HELS 方法重建出頻域中的聲學量，再通過反傅利葉變換獲得時域信號；1999 年，Hald4運用聲場的非穩(wěn)態(tài)空間變換法（NS-STSF）重建了時域聲場，該方法利用二維傳聲器陣列測得全息面上一段時間內(nèi)的聲壓，對該聲壓進行三維傅利葉變換后帶入

3、重建公式獲得重建面上的聲壓譜，對該聲壓譜再進行三維傅利葉反變換即可得到時域信號。2005 年, Jean-Hugh Thomas 等5提出了Real-Time 近場聲全息，該方法將測得的全息面聲壓信息只進行空間域的二維傅利葉變換得到全息面聲壓波數(shù)譜，將該全息面聲壓波數(shù)譜與脈沖響應函數(shù)的逆函數(shù)在時域內(nèi)做卷積，再進行二維傅利葉逆變換即可求得時域信號。本文首先將對基于FFT 變換的平面瞬態(tài)NAH 的重建公式進行推導，平面瞬態(tài)NAH 的基本思想是通過對測得的全息面聲壓進行時間傅利葉變換獲得其頻譜，再對每一頻率所對應的全息面聲壓進行二維空間傅利葉變換獲得其波數(shù)譜，并運用穩(wěn)態(tài)NAH 的重建公式求得重建面上

4、的波數(shù)譜，將求得的所有頻率的波數(shù)譜疊加進行三維反變換，即可獲得重建面上的瞬態(tài)聲壓。隨后通過數(shù)值仿真驗證基于FFT 變換的平面瞬態(tài)NAH 的可行性。2 平面瞬態(tài)NAH 重建公式的推導在z 0 的空間中，聲壓場滿足齊次波動方程( , , , ) 1 ( , , , ) 0 2222 = tp x y z tcp x y z t ， z 0 （1）定義p(x, y, z,t) 的三維傅利葉變換和逆變換分別為P k k z p x y z t e dxdydt i k x k y tx yx y + = ( ) ( , , , ) ( , , , ) （2）本課題得到高等學校博士學科點專項科研基金(項

5、目編號：200603590037)的資助。 p x y z t P k k z e dk dk d x yi k x k y tx y( x y )3 ( , , , )(2 )( , , , ) 1 + = （3）對公式（1）作三維傅利葉變換得( , , , ) 0( , , , ) 222+ =k P k k zzP k k zz x yx y ， z 0 （4）式中， 2 2 2 2z x y k = k k k 。由公式（4）解得ik zx y x yP(k , k , z, ) = P(k , k ,0, )e z ， z 0 （5）繼而由公式（5）可以推得( , , , ) ( ,

6、 , , ) ikz ( zh zs )x y s x y h P k k z = P k k z e ， h s z > z （6）式中，下標s 代表重建面，下標h 代表全息面。上述公式（6）構成了平面瞬態(tài)NAH 的基本公式。若對公式（6）作三維傅利葉逆變換可得 p x y z t P k k z e dk dk d x yi k x k y ts x y s( x y )3 ( , , , )(2 )( , , , ) 1 + = （7）由公式（7）就可以獲得整個重建面上的聲壓的空間分布信息和重建面上任意一點的聲壓的時間變化信息。在公式（6）中，當 取某一確定的值時，該公式即為穩(wěn)態(tài)聲

7、場的重建公式，由此可將平面瞬態(tài)NAH 的基本思想表述為通過對測得的全息面聲壓進行時間傅利葉變換獲得其頻譜，再對每一頻率所對應的全息面聲壓進行二維空間傅利葉變換獲得其波數(shù)譜，并運用穩(wěn)態(tài)NAH 的重建公式求得重建面上的波數(shù)譜，將求得的所有頻率的波數(shù)譜疊加進行三維反變換，即可獲得重建面上的瞬態(tài)聲壓。3 數(shù)值仿真圖3 活塞、重建面、全息面位置關系圖設一個固定在無限大障板上的圓形活塞（如圖3 所示），活塞半徑為a=0.1m，圓心位于直角坐標系原點，平面障板位于z = 0 的平面上。圓形活塞表面法向振速的時間分布形式為Gaussian 脈沖形式( 5.26( / 0.5)2 ) ( ) = t t p v

8、 t e （8）式中， p t 為脈沖寬度，在此取m smct a p 340 /10 10× 0.1= = ?；钊砻娣ㄏ蛘袼俚目臻g分布形式為簡支分布形式( ) 1 ( / )2 0 0 v r = A r a （9）在此取A =1。設全息面位于h z =0.0408 的平面上，重建面位于s z =0.0136 的平面上，全息面測量孔徑大小為0.4m×0.4m，測量間隔為0.02m。采樣時間長度為0.04s ，采樣頻率為25KHz。為抑制譜泄露，對時域信號添加了Gaussian 窗40.5( 2 )2Ni Ni w e=， i = 0, 1, L N 1 （10）式中，

9、N 是采樣點數(shù)，選取 =2.6。為減小高波數(shù)誤差成分對重建結果的影響，在波數(shù)域采用了一種低通濾波器6 > = r ck kr ck kx y e k ke k kW k kr cr c(1 / ) /( / 1) /0 .51 0 .5( , ) （11）式中， 2 2r x y k = k + k ， c k 為截止波數(shù)，可根據(jù)實際情況靈活選擇， 為窗函數(shù)陡度系數(shù)，在此選為0.1。圖4 t=0.0012s 時的重建面理論聲壓值 圖5 t=0.0012s 時的重建面重建聲壓值圖6 t=0.002s 時的重建面理論聲壓值 圖7 t=0.002s 時的重建面重建聲壓值圖8 t=0.0024s

10、 時的重建面理論聲壓值 圖9 t=0.0024s 時的重建面重建聲壓值全息面上的測量聲壓值和重建面上的理論聲壓值均采用脈沖響應法7計算得到。下面對聲場中同一時刻重建面上的理論聲壓值和重建聲壓值進行比較，分別取t=0.0012s、t=0.002s、t=0.0024s 三個時刻，圖4、圖6、圖8 是直接采用脈沖響應法計算所得的理論聲壓值，圖5、圖7、圖9 是采用上述重建方法所得的重建聲壓值。比較理論值和重建值可以看出，兩者是比較吻合的，只是在重建面邊緣處和峰值最大處存在一定的誤差。為了定量地表示兩者的一致性，定義兩者的均方誤差計算公式為：100%11 2 ×=PP P （12）式中， 1

11、 P 表示理論聲壓值， 2 P 表示重建聲壓值。采用公式(12)分別計算了t=0.0012s、t=0.002s、t=0.0024s 三組數(shù)據(jù)的均方誤差，誤差分別為13.59%，16.26%，13.63%。由此可以看出采用上述重建方法所得的重建面聲壓能夠較好地反應其真實的空間分布特征。為了了解重建面上任意一點處的聲壓的時間分布特點，分別選取了坐標為(-0.2m,-0.2m)、(-0.1m,-0.1m)、(0m,0m)三個點，三個點處的理論聲壓值和重建聲壓值如圖10、圖11、圖12 所示。圖10 重建面上點(-0.2m, -0.2m)處的聲壓值 圖11 重建面上點(-0.1m, -0.1m)處的聲

12、壓值圖12 重建面上點(0m, 0m)處的聲壓值由上述三組圖可以看出，位于重建面邊緣處的點(-0.2m,-0.2m)的重建聲壓值滯后于理論聲壓值，且在時間最開始階段存在一定的振蕩，而遠離重建面邊緣的點(-0.1m,-0.1m)、點(0m,0m)處的重建聲壓值與理論聲壓值吻合地較好。采用公式(12)計算了(-0.2m,-0.2m)、(-0.1m,-0.1m)、(0m,0m)三組數(shù)據(jù)的均方誤差，誤差分別為30.14%、7.28%、12.34%。由此可以看出采用上述重建方法所得的重建面聲壓也能夠較好地反應其真實的時間分布特點。4 結論為實現(xiàn)對平面瞬態(tài)聲場的重建，以研究平面瞬態(tài)聲場的空間分布特征和時間

13、變化特點，論文對平面瞬態(tài)NAH 的重建公式進行了推導，平面瞬態(tài)NAH 實際上是在平面穩(wěn)態(tài)NAH 的基礎上增加了一維對時間的傅利葉變換，從而在頻域中對每一頻率所對應的波數(shù)譜運用穩(wěn)態(tài)NAH 的重建公式實現(xiàn)對重建面上波數(shù)譜的重建，最后對求得的所有頻率上的波數(shù)譜疊加并進行反變換，即可獲得重建面上的瞬態(tài)信息。隨后的數(shù)值仿真證明了平面瞬態(tài)NAH 的可行性。由于瞬態(tài)聲場在時間上不具有可重復性，因而在實際測量中就需要一次性獲得整個全息面上的聲壓信息，這就對傳聲器個數(shù)和性能、計算機存儲能力和計算能力提出了較高的要求，但隨著傳聲器技術和計算機技術的不斷發(fā)展，在實際的工程應用中實現(xiàn)對瞬態(tài)聲場的重建已成為可能。由于在

14、重建過程中，許多參數(shù)的選取（例如全息面到重建面距離，傳聲器個數(shù)，采樣頻率等）對重建結果有著重要的影響，接下來的工作將會對這些參數(shù)的選取做進一步的研究。參考文獻1 Williams E G, Maynad J D, Holographic imaging without the wavelength resolution limitJ, Phys. Rev. Lett.,1980, 45:554-560.2 Maynad J D, Williams E G, Lee Y. Nearfield acoustic holography I: Theory of generalized hologra

15、phy and        development of NAHJ, J. Acoust. Soc. Am., 1985, 78(4): 1395-1413.3 Z. Wang, Helmholtz Equation-Least-Squares (HELS) method for inverse acoustic radiation problemsD, Ph.D.dissertation. Wayne State University, Detroit, Michigan, 1995.4 J. Hald, Ti

16、me domain acoustical holographyC, Proceedings of Inter-noise 1995, 10-12 July 1995, NewportBeach, USA.5 J.-H. Thomas, V. Grulier, et al. Real-Time Nearfield Acoustic Holography (RT-NAH): a technique fortime-continuous reconstruction of a source signalC, Proceedings of Novem 2005, 18-21 April 2005,Sa

17、int-Raphaël, France.6 Veronesi W A, Maynad J D. Nearfield acoustic holography(NAH) : Holographic reconstruction algorithmsand computer implementationJ, J. Acoust. Soc. Am., 1987, 81(5): 1307-1322.7 Geraid R. Harris, Transient field of a baffled planar piston having an arbitrary vibration amplit

18、udedistributionJ, J. Acoust. Soc. Am., 1981, 70(1): 186-2004.Planar transient nearfield acoustical holography based onfast Fourier transformZhang Xiaozheng, Bi Chuanxing, Zhang Yongbin, Xu LiangInstitute of Sound and Vibration Research, Hefei University of Technology, Hefei (230009)AbstractThe formula for reconstructing the planar transient sound fields from the planar source is deduced inthis paper. By adding one dimension Fourier transform of time to the stationary nearfield acousticalh