基于FFT 變換的平面瞬態(tài)近場(chǎng)聲全息

1、基于FFT 變換的平面瞬態(tài)近場(chǎng)聲全息    摘 要：本文推導(dǎo)了平面瞬態(tài)近場(chǎng)聲全息的重建公式。平面瞬態(tài)近場(chǎng)聲全息實(shí)際上是在平面穩(wěn)態(tài)近場(chǎng)聲全息的基礎(chǔ)上增加了一維對(duì)時(shí)間的傅利葉變換，從而對(duì)全息面上每一頻率所對(duì)應(yīng)的波數(shù)譜，運(yùn)用穩(wěn)態(tài)近場(chǎng)聲全息的重建公式實(shí)現(xiàn)對(duì)重建面上波數(shù)譜的重建，最后對(duì)求得的所有頻率上的波數(shù)譜疊加并進(jìn)行反變換來(lái)獲得重建面上的瞬態(tài)聲壓。數(shù)值仿真證明了基于FFT變換的平面瞬態(tài)近場(chǎng)聲全息的可行性。關(guān)鍵詞：平面瞬態(tài)近場(chǎng)聲全息；平面穩(wěn)態(tài)近場(chǎng)聲全息；波數(shù)譜中圖分類號(hào)：4320，43631 引言目前，近場(chǎng)聲全息技術(shù)（NAH）已成為一種有效地進(jìn)行聲場(chǎng)重建的工具，國(guó)

2、內(nèi)外學(xué)者對(duì)此做了大量的研究，但這些研究大多集中在穩(wěn)態(tài)輻射聲場(chǎng)的重建1,2，而在實(shí)際的工程應(yīng)用中，許多聲源輻射的聲場(chǎng)為瞬態(tài)聲場(chǎng)，例如發(fā)動(dòng)機(jī)急剎車時(shí)的制動(dòng)尖叫噪聲，醫(yī)學(xué)超聲診斷中的脈沖壓電傳感器產(chǎn)生的瞬態(tài)聲場(chǎng)等，對(duì)于這樣的瞬態(tài)聲場(chǎng)，不僅要了解它的空間分布特征，而且要了解它的時(shí)間分布特點(diǎn)。1995 年，Wang3在其博士論文中第一次對(duì)瞬態(tài)聲場(chǎng)進(jìn)行了重建，作者首先運(yùn)用HELS 方法重建出頻域中的聲學(xué)量，再通過(guò)反傅利葉變換獲得時(shí)域信號(hào)；1999 年，Hald4運(yùn)用聲場(chǎng)的非穩(wěn)態(tài)空間變換法（NS-STSF）重建了時(shí)域聲場(chǎng)，該方法利用二維傳聲器陣列測(cè)得全息面上一段時(shí)間內(nèi)的聲壓，對(duì)該聲壓進(jìn)行三維傅利葉變換后帶入

3、重建公式獲得重建面上的聲壓譜，對(duì)該聲壓譜再進(jìn)行三維傅利葉反變換即可得到時(shí)域信號(hào)。2005 年, Jean-Hugh Thomas 等5提出了Real-Time 近場(chǎng)聲全息，該方法將測(cè)得的全息面聲壓信息只進(jìn)行空間域的二維傅利葉變換得到全息面聲壓波數(shù)譜，將該全息面聲壓波數(shù)譜與脈沖響應(yīng)函數(shù)的逆函數(shù)在時(shí)域內(nèi)做卷積，再進(jìn)行二維傅利葉逆變換即可求得時(shí)域信號(hào)。本文首先將對(duì)基于FFT 變換的平面瞬態(tài)NAH 的重建公式進(jìn)行推導(dǎo)，平面瞬態(tài)NAH 的基本思想是通過(guò)對(duì)測(cè)得的全息面聲壓進(jìn)行時(shí)間傅利葉變換獲得其頻譜，再對(duì)每一頻率所對(duì)應(yīng)的全息面聲壓進(jìn)行二維空間傅利葉變換獲得其波數(shù)譜，并運(yùn)用穩(wěn)態(tài)NAH 的重建公式求得重建面上

4、的波數(shù)譜，將求得的所有頻率的波數(shù)譜疊加進(jìn)行三維反變換，即可獲得重建面上的瞬態(tài)聲壓。隨后通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證基于FFT 變換的平面瞬態(tài)NAH 的可行性。2 平面瞬態(tài)NAH 重建公式的推導(dǎo)在z 0 的空間中，聲壓場(chǎng)滿足齊次波動(dòng)方程( , , , ) 1 ( , , , ) 0 2222 = tp x y z tcp x y z t ， z 0 （1）定義p(x, y, z,t) 的三維傅利葉變換和逆變換分別為P k k z p x y z t e dxdydt i k x k y tx yx y + = ( ) ( , , , ) ( , , , ) （2）本課題得到高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(項(xiàng)

5、目編號(hào)：200603590037)的資助。 p x y z t P k k z e dk dk d x yi k x k y tx y( x y )3 ( , , , )(2 )( , , , ) 1 + = （3）對(duì)公式（1）作三維傅利葉變換得( , , , ) 0( , , , ) 222+ =k P k k zzP k k zz x yx y ， z 0 （4）式中， 2 2 2 2z x y k = k k k 。由公式（4）解得ik zx y x yP(k , k , z, ) = P(k , k ,0, )e z ， z 0 （5）繼而由公式（5）可以推得( , , , ) ( ,

6、 , , ) ikz ( zh zs )x y s x y h P k k z = P k k z e ， h s z > z （6）式中，下標(biāo)s 代表重建面，下標(biāo)h 代表全息面。上述公式（6）構(gòu)成了平面瞬態(tài)NAH 的基本公式。若對(duì)公式（6）作三維傅利葉逆變換可得 p x y z t P k k z e dk dk d x yi k x k y ts x y s( x y )3 ( , , , )(2 )( , , , ) 1 + = （7）由公式（7）就可以獲得整個(gè)重建面上的聲壓的空間分布信息和重建面上任意一點(diǎn)的聲壓的時(shí)間變化信息。在公式（6）中，當(dāng) 取某一確定的值時(shí)，該公式即為穩(wěn)態(tài)聲

7、場(chǎng)的重建公式，由此可將平面瞬態(tài)NAH 的基本思想表述為通過(guò)對(duì)測(cè)得的全息面聲壓進(jìn)行時(shí)間傅利葉變換獲得其頻譜，再對(duì)每一頻率所對(duì)應(yīng)的全息面聲壓進(jìn)行二維空間傅利葉變換獲得其波數(shù)譜，并運(yùn)用穩(wěn)態(tài)NAH 的重建公式求得重建面上的波數(shù)譜，將求得的所有頻率的波數(shù)譜疊加進(jìn)行三維反變換，即可獲得重建面上的瞬態(tài)聲壓。3 數(shù)值仿真圖3 活塞、重建面、全息面位置關(guān)系圖設(shè)一個(gè)固定在無(wú)限大障板上的圓形活塞（如圖3 所示），活塞半徑為a=0.1m，圓心位于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，平面障板位于z = 0 的平面上。圓形活塞表面法向振速的時(shí)間分布形式為Gaussian 脈沖形式( 5.26( / 0.5)2 ) ( ) = t t p v

8、 t e （8）式中， p t 為脈沖寬度，在此取m smct a p 340 /10 10× 0.1= = ?；钊砻娣ㄏ蛘袼俚目臻g分布形式為簡(jiǎn)支分布形式( ) 1 ( / )2 0 0 v r = A r a （9）在此取A =1。設(shè)全息面位于h z =0.0408 的平面上，重建面位于s z =0.0136 的平面上，全息面測(cè)量孔徑大小為0.4m×0.4m，測(cè)量間隔為0.02m。采樣時(shí)間長(zhǎng)度為0.04s ，采樣頻率為25KHz。為抑制譜泄露，對(duì)時(shí)域信號(hào)添加了Gaussian 窗40.5( 2 )2Ni Ni w e=， i = 0, 1, L N 1 （10）式中，

9、N 是采樣點(diǎn)數(shù)，選取 =2.6。為減小高波數(shù)誤差成分對(duì)重建結(jié)果的影響，在波數(shù)域采用了一種低通濾波器6 > = r ck kr ck kx y e k ke k kW k kr cr c(1 / ) /( / 1) /0 .51 0 .5( , ) （11）式中， 2 2r x y k = k + k ， c k 為截止波數(shù)，可根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇， 為窗函數(shù)陡度系數(shù)，在此選為0.1。圖4 t=0.0012s 時(shí)的重建面理論聲壓值 圖5 t=0.0012s 時(shí)的重建面重建聲壓值圖6 t=0.002s 時(shí)的重建面理論聲壓值 圖7 t=0.002s 時(shí)的重建面重建聲壓值圖8 t=0.0024s

10、 時(shí)的重建面理論聲壓值 圖9 t=0.0024s 時(shí)的重建面重建聲壓值全息面上的測(cè)量聲壓值和重建面上的理論聲壓值均采用脈沖響應(yīng)法7計(jì)算得到。下面對(duì)聲場(chǎng)中同一時(shí)刻重建面上的理論聲壓值和重建聲壓值進(jìn)行比較，分別取t=0.0012s、t=0.002s、t=0.0024s 三個(gè)時(shí)刻，圖4、圖6、圖8 是直接采用脈沖響應(yīng)法計(jì)算所得的理論聲壓值，圖5、圖7、圖9 是采用上述重建方法所得的重建聲壓值。比較理論值和重建值可以看出，兩者是比較吻合的，只是在重建面邊緣處和峰值最大處存在一定的誤差。為了定量地表示兩者的一致性，定義兩者的均方誤差計(jì)算公式為：100%11 2 ×=PP P （12）式中， 1

11、 P 表示理論聲壓值， 2 P 表示重建聲壓值。采用公式(12)分別計(jì)算了t=0.0012s、t=0.002s、t=0.0024s 三組數(shù)據(jù)的均方誤差，誤差分別為13.59%，16.26%，13.63%。由此可以看出采用上述重建方法所得的重建面聲壓能夠較好地反應(yīng)其真實(shí)的空間分布特征。為了了解重建面上任意一點(diǎn)處的聲壓的時(shí)間分布特點(diǎn)，分別選取了坐標(biāo)為(-0.2m,-0.2m)、(-0.1m,-0.1m)、(0m,0m)三個(gè)點(diǎn)，三個(gè)點(diǎn)處的理論聲壓值和重建聲壓值如圖10、圖11、圖12 所示。圖10 重建面上點(diǎn)(-0.2m, -0.2m)處的聲壓值 圖11 重建面上點(diǎn)(-0.1m, -0.1m)處的聲

12、壓值圖12 重建面上點(diǎn)(0m, 0m)處的聲壓值由上述三組圖可以看出，位于重建面邊緣處的點(diǎn)(-0.2m,-0.2m)的重建聲壓值滯后于理論聲壓值，且在時(shí)間最開始階段存在一定的振蕩，而遠(yuǎn)離重建面邊緣的點(diǎn)(-0.1m,-0.1m)、點(diǎn)(0m,0m)處的重建聲壓值與理論聲壓值吻合地較好。采用公式(12)計(jì)算了(-0.2m,-0.2m)、(-0.1m,-0.1m)、(0m,0m)三組數(shù)據(jù)的均方誤差，誤差分別為30.14%、7.28%、12.34%。由此可以看出采用上述重建方法所得的重建面聲壓也能夠較好地反應(yīng)其真實(shí)的時(shí)間分布特點(diǎn)。4 結(jié)論為實(shí)現(xiàn)對(duì)平面瞬態(tài)聲場(chǎng)的重建，以研究平面瞬態(tài)聲場(chǎng)的空間分布特征和時(shí)間

13、變化特點(diǎn)，論文對(duì)平面瞬態(tài)NAH 的重建公式進(jìn)行了推導(dǎo)，平面瞬態(tài)NAH 實(shí)際上是在平面穩(wěn)態(tài)NAH 的基礎(chǔ)上增加了一維對(duì)時(shí)間的傅利葉變換，從而在頻域中對(duì)每一頻率所對(duì)應(yīng)的波數(shù)譜運(yùn)用穩(wěn)態(tài)NAH 的重建公式實(shí)現(xiàn)對(duì)重建面上波數(shù)譜的重建，最后對(duì)求得的所有頻率上的波數(shù)譜疊加并進(jìn)行反變換，即可獲得重建面上的瞬態(tài)信息。隨后的數(shù)值仿真證明了平面瞬態(tài)NAH 的可行性。由于瞬態(tài)聲場(chǎng)在時(shí)間上不具有可重復(fù)性，因而在實(shí)際測(cè)量中就需要一次性獲得整個(gè)全息面上的聲壓信息，這就對(duì)傳聲器個(gè)數(shù)和性能、計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)能力和計(jì)算能力提出了較高的要求，但隨著傳聲器技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，在實(shí)際的工程應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)對(duì)瞬態(tài)聲場(chǎng)的重建已成為可能。由于在

14、重建過(guò)程中，許多參數(shù)的選?。ɡ缛⒚娴街亟婢嚯x，傳聲器個(gè)數(shù)，采樣頻率等）對(duì)重建結(jié)果有著重要的影響，接下來(lái)的工作將會(huì)對(duì)這些參數(shù)的選取做進(jìn)一步的研究。參考文獻(xiàn)1 Williams E G, Maynad J D, Holographic imaging without the wavelength resolution limitJ, Phys. Rev. Lett.,1980, 45:554-560.2 Maynad J D, Williams E G, Lee Y. Nearfield acoustic holography I: Theory of generalized hologra

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