新建模過程與幾何相似性建模講義版概況

1、第1講 建模過程與幾何相似性建模1、數(shù)學模型1.1 數(shù)學建模的一般過程為了解數(shù)學建模的過程，考慮圖1所示的兩個世界。假設我們要了解現(xiàn)實世界中的某些行為和現(xiàn)象，以便對該行為的未來作出預測并分析各種情境對該行為的影響?，F(xiàn)實世界 數(shù)學世界模型數(shù)學運算及法則數(shù)學結(jié)論系統(tǒng)觀察到的行為或現(xiàn)象 圖1 現(xiàn)實世界與數(shù)學世界例如，當研究兩個相互作用的物種的種群量時，我們需要知道在它們的環(huán)境中物種能否共存，或者是一個物種最終占支配地位而迫使另一個物種滅絕；在用藥管理中，要知道正確的劑量以及保持在血液中藥物的安全與有效水平的劑量之間的時間。怎樣構(gòu)建數(shù)學世界中的數(shù)學模型并利用數(shù)學模型幫助我們更好地了解現(xiàn)實世界中的系統(tǒng)呢

2、？在討論怎樣把兩個世界聯(lián)系起來之前，先考慮什么是現(xiàn)實世界中的系統(tǒng)以及我們?yōu)槭裁磳?gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學模型感興趣。一個系統(tǒng)就是由一些有規(guī)律的相互作用或內(nèi)在的依賴關系聯(lián)結(jié)在一起的對象的集合體。建模者希望了解一個特定的系統(tǒng)是怎樣工作的，是什么造成了系統(tǒng)的變化以及系統(tǒng)對某些變化有多敏感。建模者還希望預測系統(tǒng)會發(fā)生什么樣的變化以及何時發(fā)生變化。怎樣獲取這些信息呢？例如，假定目標是要從現(xiàn)實世界所觀察到的現(xiàn)象中得出結(jié)論。一種方法就是對某些實際行為做試驗或?qū)嶒?，然后觀察它們對實際行為的影響。如圖2所示。實際問題的數(shù)據(jù)實際行為模型模型 觀察 簡化 簡化 試驗 分析 驗證 分析實際的預測或解釋現(xiàn)實世界的結(jié)論數(shù)學的結(jié)論數(shù)

3、學的結(jié)論 解釋 解釋 闡明 圖2 獲取有關系統(tǒng)的行為結(jié)論 圖3 作為封閉系統(tǒng)的建模過程盡管這種過程可能降低由不那么直接的方法所引起的保真性的喪式，但是某些情況下我們不希望遵循這種過程。例如，在諸如決定藥物的致命溶度水平或者研究核電廠故障對附近人口密集地區(qū)的輻射影響時，即使是單個試驗的成本也可能高得令人不敢問津?；蛘撸芯坑腥瞬倏v的宇宙飛船的熱屏蔽不同設計的時，我們甚至可能不愿意接受單次試驗的失敗。此外，在研究電離層組成的特殊的變化及其對極地冰帽相應的影響時，甚至不可能做實驗。對圖2的考察提示獲取有關現(xiàn)實世界的結(jié)論的另一種方法，首先對所研究的行為做特定的觀察并識別看來是有關聯(lián)的因素。通常不可能考

4、慮，或者甚至是識別行為所有有關聯(lián)的因素，所以做出消去某些因素的假設。例如，當研究來自核電廠故障造成的輻射影響時，至少開始時可以選擇忽略濕度。其次，猜測所選擇的因素之間的一些暫時的關系，從而創(chuàng)建一個有關該行為的粗略的模型。有了所建立的模型，應用適當?shù)臄?shù)學分析來導出有關該模型的結(jié)論。注意這些結(jié)論只屬于該模型，而不屬于所研究的真正的實際系統(tǒng)?？紤]到在構(gòu)建模型時做了某些簡化以及基于該模型的觀察誤差和局限總是會有的，因此，在做出有關實際行為的任何推斷之前，必須仔細考慮這些異常。綜上所述，就得到如下粗略的建模步驟：（1）通過觀察，識別有關實際行為的主要因素，可能要做些簡化；（2）猜測因素之間的暫時的關系；

5、（3）將數(shù)學分析用于所得到的模型；（4）借助實際問題來解釋數(shù)學結(jié)論。1.2 數(shù)學模型的概念與性質(zhì)數(shù)學模型是為了研究特定的實際系統(tǒng)或現(xiàn)象而設計的數(shù)學結(jié)構(gòu)，包括圖示、符號模擬和實驗結(jié)構(gòu)等。數(shù)學模型可以進以步加以區(qū)分。有些現(xiàn)有的數(shù)學模型與某個特定的實際現(xiàn)象是一致的，從而可以用來研究該現(xiàn)象。有些數(shù)學模型是專門來構(gòu)建并研究一種特定的現(xiàn)象的。圖4說明了模型之間的這種區(qū)分。從某個實際現(xiàn)象出發(fā)，可以通過構(gòu)建一個新的模型或選擇一個現(xiàn)有的模型數(shù)學地表示該現(xiàn)象。另一方面，可以通過實驗或模擬來重復該現(xiàn)象。圖4 模型的類型行為重復有直接重復與間接重復之分。直接重復就是通過做各種實驗性的實驗來直接地重復該行為。從這些試驗

6、中收集數(shù)據(jù)并以某種方式分析數(shù)據(jù)（如統(tǒng)計的方法、曲線擬合的方法等），從而得出某些結(jié)論。例如，預測種群的相互作用、資源的利用以及污染的全局影響等。間接重復就是試圖間接地重復該行為，可以利用諸如對力學系統(tǒng)進行建模的電流模擬器、風洞中縮小了尺寸的超因素飛機模型那樣的縮微模型，或者試圖利用計算機重復一種行為，例如計算機模擬種群的相互作用、資源的利用以及污染的全局影響或早上高峰期電梯系統(tǒng)的運行等。圖4所示的各種模型之間的區(qū)別只是為了易于討論而做的，現(xiàn)實中一個主要的模型可以從現(xiàn)有的模型、模擬和實驗中選取若干模型作為子模型。通過對比這些類型的模型并比較它們描繪現(xiàn)實世界的各種能力可以提供有益的信息。模型具有以下

7、性質(zhì)：（1）保真性：模型表示現(xiàn)實的精確性。為了證明最大的保真性，我們會期望來自現(xiàn)實世界的直接觀察，即使會產(chǎn)生某種檢驗的偏差和測量的誤差。我們會期望實驗模型具有僅次于現(xiàn)實的保真性，因為行為是在諸如實驗室那樣得到更好控制的環(huán)境下直接觀察到的。由于模擬融入了間接的觀察，所以進一步失去了保真性。只要構(gòu)建了數(shù)學模型、簡化了現(xiàn)實世界的條件，結(jié)果就會失去更多的保真性。最后，任何選擇的模型都是基于附加的簡化，而這些簡化甚至不適合特定的問題，從而意味著還會進一步失去保真性?？梢姳Ｕ嫘缘拇涡蛉缦拢簩嶋H觀察實驗模擬構(gòu)建的數(shù)學模型選擇的數(shù)學模型。（2）成 本：建模過程的總費用。一般地，我們期望所選擇的模型成本最小。構(gòu)

8、建數(shù)學模型要簡化所研究的現(xiàn)象，就要承擔相應的附加費用。實驗的確立和操作通常是昂貴的。模擬要用到研制起來十分昂貴的間接設備，而且要包括大量的計算機空間、時間和維護費用。可見成本的次序如下：實際觀察模擬實驗構(gòu)建的數(shù)學模型選擇的數(shù)學模型。（3）靈活性：當收集到了所需要的數(shù)據(jù)時，改變和控制影響該模型的諸多條件的能力。構(gòu)建的數(shù)學模型通常是最靈活的，因為可以相對容易地選擇的建設和條件；選擇的模型是不那么靈活的，因為它們是在特定的條件下研制的。不過，特定的條件常?？梢栽趶V泛的范圍內(nèi)變化。為了略微改變假設和條件，模擬通常需要研發(fā)一些另外的設備。實驗就更不靈活了，因為某些因素在超過特定條件時是很難控制的?？梢婌`

9、活性的次序如下：構(gòu)建的數(shù)學模型選擇的數(shù)學模型模擬實驗實際觀察。1.3 數(shù)學模型的構(gòu)建 構(gòu)建數(shù)學模型，一般有如下幾個步驟：（1）甄別問題 這一步通常是困難的，因為在現(xiàn)實生活中，沒有人會只是簡單地給你一個有待解決的數(shù)學問題。通常你必須從大量的數(shù)據(jù)中搜索和甄別所研究問題的某些特定的方面。此外，考慮到要把描述問題的口頭陳述翻譯成數(shù)學的符號表示，因此在闡明問題時要足夠精確，重要的是要認識到對問題的回答可能不會直接導致合用的問題識別。（2）做出假設 一般來說，不能指望在一個合用的數(shù)學模型中抓住影響問題識別的所有因素。關鍵是通過減少所考慮的因素的數(shù)目來進行簡化。因此，必須確定余下的變量之間的關系。再次是通過

10、假設相對簡單的關系，就能夠降低問題的復雜性。因此做出假設主要有兩方面：(a) 變量分類：是什么影響到（1）所識別的問題的行為？把他們作為變量列出來。模型要解釋的因變量（可能有多個），剩下的變量中一部分是自變量。每個列出的量被分為因變量、自變量或兩者都不是。有兩個理由可以忽略某些變量。首先，相對于與該行為有關的其他因素，這個變量的影響可能較小。其次，以幾乎相同的方式影響各種選擇的因素可能可以忽略，即使這個因素對所研究的問題有很重要的影響。例如，考慮確定演講廳最佳形狀的問題，其中黑板或投影儀的易讀性是支配準則。照明肯定是關鍵因素，但可能會以幾乎同樣的方式影響所有可能的形狀。通過忽略這種在以后可能會

11、融合進一個分開的、改進的模型中的因素，分析就可能大大簡化。(b) 確定研究中的所選擇的變量之間的相互關系：在能夠假設變量之間的關系之前，一般必須做出某些進一步的簡化。問題可能十分復雜，以至于看不出一開始確定的所有變量之間的關系。在這種情況下，可能要研究子模型，即分別研究自變量中的一個或幾個。最后再把子模型合在一起。（3） 求解或解釋模型 把所有的子模型合在一起看看該模型告訴我們什么。在某些情況，模型可能包含為得到我們正在尋求的信息，必須要求解的數(shù)學方程或不等式。問題的陳述常常要求模型的最好的或最優(yōu)的解。常常會發(fā)現(xiàn)，為完成這一步我們的準備是很不夠的，或者可能會得到一個不會求解或不會解釋的難于處理

12、的問題。碰到這種情況，我們也許應該回到（2）并做出另外的簡化假設，有時甚至要回到（1）去重新定義問題。（4）驗證模型 在能夠利用模型之前，必須檢驗模型。在設計檢驗和收集數(shù)據(jù)之前，要先問幾個問題。首先，該模型是否回答了（1）中甄別的問題，或者是否偏離了我們構(gòu)建該模型的關鍵問題？其次，該模型有實用價值嗎？既我們確實能收集必要的數(shù)據(jù)來運作模型嗎？第三，模型有普遍意義嗎？一旦通過了這種常識性的檢驗，就要利用由經(jīng)驗觀察得到的實際數(shù)據(jù)來檢驗模型。要謹小慎微地以如下方式來設計檢驗，即在實際應用模型時預期會碰到的各個自變量的取值范圍內(nèi)觀察結(jié)果。在（2）中所做的假設在一個限定的自變量的范圍之內(nèi)是合理的，但對這個

13、范圍之外的值卻是很不合理的。例如，牛頓第二定律的常用解釋為“作用在物體上的力等于物體的質(zhì)量乘以物體的加速度”，直到物體的速度趨于光速之前這個定律都是合理的模型。從任何檢驗中得出的結(jié)論都要小心。正如不能簡單地用支持定理的許多特殊情形來證明定理一樣，也不能根據(jù)模型收集到的特殊的證據(jù)來推出廣泛的一般結(jié)論。一個模型不能成為一條定律，就是因為定律是在一些特定的情形下重復得到驗證的，而模型的合理性要通過收集到的數(shù)據(jù)來證實。（5）實施模型 首先要用決策者和用戶能懂的術語來解釋模型是否對他們有用。其次模型要處于用戶看來是好的狀態(tài)，如經(jīng)濟實用。最后也要包括推進模型運作所必須的數(shù)據(jù)。（6）維修模型 注意模型是從（

14、1）甄別的特定的問題和（2）中所做的假設推出來的。原先的問題會有變化嗎？某些先前忽略的因素會變得重要嗎？子模型需要修改嗎？如果回答是，就可能要對模型進行修改。1.4 構(gòu)建模型的迭代性構(gòu)建模型是一個迭代的過程。從考察一些系統(tǒng)和甄別我們希望預測或解釋的特定行為開始，再識別變量和簡化假設，到最后生成一個模型，一般是從一個相當簡單的模型開始，再根據(jù)我們確認過程所指示的結(jié)果來修改模型。如果我們不能提出一個新的模型或求解我們已有的模型，就必須簡化模型。這是通過把某些變量當作常量處理、忽略或者集成某些變量、在子模型中假設簡單的關系或者進一步限制所研究的問題來完成的。另一方面，如果結(jié)果不夠精確，就必須改進模型

15、。改進一般與簡化相反。它是通過引進額外的變量、假設變量之間的更為復雜的關系或者擴展問題的范圍來完成的。通過簡化和改進，我們確定了模型的一般性、現(xiàn)實性和精確性。不能過分強調(diào)這種過程，但是這種過程構(gòu)成了建模的藝術。 表1 數(shù)學建模的藝術：根據(jù)需要簡化或改進模型 模型簡化 模型改進 1 限制問題的識別 1 擴展問題2 忽略一些變量 2 考慮額外的變量3 若干變量合并的效果 3 仔細考慮每個變量4 令某些變量為常數(shù) 4 允許某些量的變化5 假設簡單的（線性）關系 5 考慮非線性關系6 融入更多的假設 6 減少假設的數(shù)量 2、利用比例性建模定義 與成正比例（反比例），記作（）存在常數(shù)，使得（）。性質(zhì) （

16、1）反身性 ；（2）對稱性 ；（3）傳遞性 ，。幾何意義 由比例的定義可知，因此定義了平面上一條通過坐標原點且傾角的直線。因此，并非所有的直線都表示正比例關系：軸上的截距為零且傾角。當應用比例模型時，沒有認識到這一點可能會導致錯誤的結(jié)果。例如，假設我們有興趣預測已載貨物船只的排水量。因為浮體排出的水量等于排出的水量，所以可以試著假設排出的總水量與已裝貨物的重量成正比?？墒牵驗槲囱b貨物的船只早已排出了相當于它自身重的水量，所以這個假設是有缺陷的。盡管排出的總水量對已裝貨物的重量是一條直線，但它不是一條通過原點的直線，所以比例性不正確。比例性模型實際關系a）實際關系b） 圖5 比例性作為一種簡化

17、的假設實際上，這個比例關系可能是一個依賴于軸上的截距的大小以及直線的斜率的合理的簡化假設。因為對較小的來說，它還可能在自變量的定義域之內(nèi)，但相對誤差更大，如圖5所示。如果斜率幾乎為零，那么比例性可能是一個很差的假設，因為與初始的排水量相比，載貨重量的影響顯得小了。另一方面，如果初始的排水量比較小而斜率很大，那么初始的排水量的影響很快就會變小，從而比例性就是一個好的簡化假設。 表2 著名的比例性 虎克定律：，其中是恢復力，是被拉長或壓縮弦的距離。 牛頓定律：或，其中是作用力，是加速度，是物體的質(zhì)量。 歐姆定律：，其中是電流，是電壓，是導線的電阻。 波義耳定律：，其中氣體的體積，是壓力，是反比例系

18、數(shù)。 愛因斯坦的相對論：，其中是光速，是能量，是物體的質(zhì)量。 開普勒第三定律：T=CR3/2，其中T是周期（天），R是行星到太陽的平均距離。 例1 開普勒第三定律1601年，德國天文學家開普勒成為布拉格天文臺的臺長。開普勒曾經(jīng)幫助第谷收集了13年的有關火星的相對運動的觀察資料。到1609年，開普勒已經(jīng)形成了他的頭兩條定律：（1）每個行星都沿條橢圓軌道運行，太陽在該橢圓的一個焦點處。（2）對每個行星來說，在相等的時間里，該行星和太陽的聯(lián)線掃過相等的面積。開普勒花了許多年來驗證并形成了表2中的第三定律，它建立了軌道周期與從太陽到行星的平均距離之間的關系。表3中的數(shù)據(jù)來自1993年的世界年鑒。 表3

19、 軌道周期與太陽到行星的平均距離 行星 周期（天數(shù)） 平均距離（百萬英里）水星 88.0 36金星 224.7 67.25地球 365.3 93火星 687.0 141.75木星 4331.8 483.80土星 10760.0 887.97天王星 30684.0 1764.50海王星 60188.3 2791.05冥王星 90466.8 3653.90 圖6畫出了周期對平均距離的3/2次方的圖形。該圖形近似于一條通過原點的直線。任取過原點的這條直線上的兩點，很容易地估計其斜率（比例常數(shù)）：斜率=（90466.8-88）/（220869.1-216）0.410，估計其模型為。 圖6 作為比例性的

20、kepler第三定律3、利用幾何相似性建模 3.1 幾何相似性的概念 幾何相似性是一個與比例性有關的概念，而且有助于簡化數(shù)學建模的過程。定義 如果兩個物體各點之間存在一個一一對應,使得對應點之間的距離之比對所有可能的點對都不變（等于一個常數(shù)），則稱這兩個物體是幾何相似的。例如，考慮圖7中畫的兩個盒子。令表示圖7(a)中的兩點和之間的距離，而表示圖7(b)中的兩點和之間的距離。在這兩個圖形中其他相應的點以及相應的點之間的距離都以同樣的方式表示。對幾何相似的盒子，對某個常數(shù)，下式必真。這是因為，如果在圖7中的兩個盒子是幾何相似的，那么三角形和必定相似。同樣的討論適用于諸如和那樣相應的三角形對。因此

21、，對應角相等的物體是幾何相似的。換言之，對于兩個幾何相似的物體來說，它們的形狀是一樣的，且一個物體只是另一個物體的簡單放大復制而已。我們可以把幾何相似的物體設想為相互按比例確定的復制品，就像建筑制圖中所有的尺寸都是按某個常數(shù)因子按比例確定的。當兩個物體是幾何相似時，其結(jié)果就是諸如體積和表面積那樣的量的某些計算的簡化。對于圖7中所畫的盒子，它們體積之比為，表面積之比為。圖7 兩個相似的幾何物體一旦規(guī)定了比例，不但立即知道這些量的比，而且可以把表面積的比例性通過某個選定的特征量表示出來。如果選擇長度作為特征量，那么由于，有 ，于是常數(shù)，即表面積和特征量長度的平方成正比：。類似地，體積和長度的立方成

22、正比：。所以，如果我們對依賴于一個物體的長度、表面積和體積的某個函數(shù)，例如感興趣，就可以把所有變量用某個選擇好的、諸如長度那樣的特征量表示出來，得出。幾何相似性是一種強有力地簡化假設。3.2 檢驗幾何相似性幾何相似性的原則提供了確定所收集的對象之間是否有比例性的一種方便的檢驗方法。因為幾何相似性的定義要求對所有相應的點對之間的距離之比是一樣的，所以我們可以檢驗這種要求來看看給定集合中的物體是否是幾何相似的。例如，我們知道圓都是幾何相似的。如果表示圓的周長，是其直徑而是給定的圓心角所對應的弧長，由幾何學知道 和 。因此，對任何兩個圓 及 。即當我們沿任何兩個圓周行走時，它們相應點之間的距離之比總

23、等于它們的直徑之比，這種觀察支持了圓是幾何相似性的合理性。3.3 建模實例例2 從不動的云層落下的雨滴。假定我們對從不動的云層落下的雨滴的終極速度感興趣。考察圖6有關自由落體的圖解，作用在雨滴上的力僅有重力和阻力。假設作用在雨滴上的空氣阻力與雨滴的表面積和雨滴速度的平方的乘積成正比，雨滴的質(zhì)量和雨滴的重量成正比：。在終極速度處有，所以牛頓第二定律簡化為。假設以及和重量成正比。因為，有。其次我們假設所有的雨滴都是幾何相似的。這個假設使我們能把面積和體積聯(lián)系起來使得對任何特征維數(shù)有 和 。因此。因為重量和質(zhì)量與體積成正比，由比例的傳遞性得。記終極速度為，由方程得。對終極速度求解，得 或 。所以雨滴

24、的終極速度與其質(zhì)量的六分之一次方成正比。例3 釣魚比賽中的建模（1）情景 出于保護的目的，垂釣俱樂部想鼓勵會員在釣到魚后馬上把它們放生。該俱樂部還希望根據(jù)釣到欲的總重量來給予以下獎勵：100磅俱樂部的榮譽會員、大獎賽期間釣魚總重量冠軍，等等。如果不用稱，垂釣者怎樣確定所釣到的魚的重量呢？（2）識別問題 我們可以如下地識別該問題：根據(jù)某個容易測量的量來預測魚的重量。（3）假設 容易識別出許多影響魚的重量的因素。根據(jù)不同種類的魚的不同的部位和肉、骨頭的密度等，它們會有不同的形狀和不同的密度。性別也起著重要的作用，特別是在產(chǎn)卵季節(jié)，不同的季節(jié)可能對重量有相當大的影響。因為要尋求垂釣的一般法則，所以一

25、開始只考慮單一魚種，例如鱸魚，并且假定這種魚的平均密度是不變的。以后，如果發(fā)現(xiàn)結(jié)果不滿意或者確定密度的巨大變化確實存在的話，那么改進模型可能是值得的。此外，還忽略性別和季節(jié)因素。因此，一開始我們預測魚的重量只是其大小（體積）和密度的函數(shù)。假設所有的鱸魚都是幾何相似的，任何鱸魚的體積都是和某個特征量的立方成正比。注意我們沒有假定任何特定的形狀，而是假定鱸魚是互相成比例的模型。當對于所有可能的點對，兩條不同的鱸魚相應的點對之間的距離之比保持常數(shù)時，鱸魚的基本外型可以是很不規(guī)則的。這種思想體現(xiàn)在圖8中?？傞L度總長度總長度 圖8 幾何相似的魚只是簡單地成比例的數(shù)學模型現(xiàn)在選擇魚的長度作為特征量。因此，

26、鱸魚的體積具有比例性。因為重量等于體積乘以平均密度，并且我們假定平均密度是常數(shù)，由此立即得到。（4）驗證模型 考慮在垂釣大獎賽期間收集到的數(shù)據(jù)：長度l(英寸): 14.5 12.5 17.25 14.5 12.625 17.75 14.125 12.625重量w（盎司）：27 17 41 26 17 49 23 16如果模型是正確的，那么對的圖形應該是一條過原點的直線。圖9給出了展示為近似直線的圖形（注意這里這種判斷是定性的，可以用所收集到的數(shù)據(jù)的最佳擬合模型的解析方法求解）。根據(jù)迄今給出的少量數(shù)據(jù)，至少是為了進一步檢驗該模型，我們接受該模型。因為數(shù)據(jù)點（14.53，26）位于所畫直線之上，可

27、以估計得到該直線的斜率為26/3049=0.00853，從而得出模型 （1）當然，如果把直線畫得稍微不同一些，那么就會得到稍微不同的斜率。（用數(shù)據(jù)擬合的方法可以求得使模型和給定數(shù)據(jù)點之間的平方的偏差之和極小的系數(shù)為）。模型（1）的圖形如圖9所示。圖9如果模型是正確的，那么對的圖形應該是一條過原點的直線模型（1）提供了一種方便的普遍法則，以下是根據(jù)模型計算得出的數(shù)據(jù)：長度l（英寸）：12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 重量w（盎司）：15 19 23 29 35 42 50 59 68 79 91 104 118 133 150即使根據(jù)所得到

28、的有限的數(shù)據(jù)來看，模型似乎是合理的，但垂釣者也可能不喜歡這個法則。因為該法則并不獎勵釣到肥魚：該模型以同樣的方式來對待肥魚和瘦魚。我們來討論一下，用魚的橫截面是相似的假設來代替魚都是幾何相似的假設。這并不意味著魚的橫截面要有特殊的形狀，而只是要求滿足幾何相似的定義。我們選后面要定義的腰圍作為特征量?，F(xiàn)在假設魚的重量主要來自魚的主體。魚的頭和尾占總重量的比重相對小些，以后如果證明我們的模型應該改進的話，可以把常數(shù)項加進去。其次假定主體的橫截面是可變的。于是魚的體積就可以通過平均橫截面的面積乘以其有效長度來求得：。怎樣測量有效長度和平均橫截面的面積呢？垂釣者和以前一樣，測量魚的長度并假設比例性。為

29、估計平均截面面積，垂釣者要帶一個布制量尺并測量魚的最寬處的周長，稱這個測量值為腰圍。假設平均橫截面的面積和腰圍的平方成正比。把這兩個比例性假設結(jié)合起來就給出：。最后，和以前一樣假設密度不變，使得對某個正常數(shù)有。做出了若干假設之后，可以對我們的模型做一個初步的檢驗。再次考慮以下數(shù)據(jù)。長度l（英寸）：14.5 12.5 17.25 14.5 12.625 17.75 14.125 12.625 腰圍g（英寸）：9.75 8.375 11.0 9.75 8.5 12.5 9.0 8.5重量w（盎司）： 27 17 41 26 17 49 23 16因為模型提出了和之間的比例性，考慮對的散點圖，如圖1

30、0所示。散點 圖10檢驗和之間的比例性數(shù)據(jù)近似位于一條過原點的直線上，所以比例性的假設是合理的?，F(xiàn)在對應于魚的重量為41盎司的點正好位于圖10所示的直線上，所以可以估算斜率為（用數(shù)據(jù)擬合的方法可以求得使模型和給定數(shù)據(jù)點之間的平方的偏差之和極小的系數(shù)為），于是得出模型 。 （2）垂釣者或許會對新法則（2）感興趣，因為要長增加一倍導致魚的重量增加到原來的四倍。例4 汽車燃油里程（1）情景 在石油短缺與能源禁運造成的能源危機期間，人們總是想要了解油料開支是怎樣因車速而變化的。我們覺得一低速和低排擋行駛時，汽車轉(zhuǎn)換能量的效率不高，而高速行駛時作用在汽車上的阻力會迅速增加。于是以下的期望看來是合理的，即

31、存在一個或多個速度，汽車以這些速度行駛會產(chǎn)生最優(yōu)的燃油里程（每加侖燃油行駛的最大公里數(shù)）。如果確實如此，那么低于或超過該速度，燃油里程數(shù)就會減少，了解這種減少是怎樣產(chǎn)生的會很有益處。有報道稱：時速超過50英里/小時后，每增加5英里/小時就要損失行駛1英里的耗油。在某貨運公司，那些堅持以55英里/每小時行駛的司機減少了12%的耗油，每年節(jié)省631000加侖的燃油。一般認為駕駛最佳油小的范圍在35-45/小時。（2）識別問題 什么是汽車的速度與燃油之間的關系？通過對這個問題的回答，我們可以評估這條法則的精確性。（3）假設 讓我們來考慮影響燃油里程的因素。首先是推動汽車前行的動力。這些力取決于燃料燃

32、燒提供的功率、發(fā)動機轉(zhuǎn)換潛在功率的效率、齒輪比、空氣的濕度以及包括車速在內(nèi)的許多其他因素。其次是阻礙汽車前進的阻力，包括依賴于汽車重量的摩擦效應、車胎的類型和狀況以及路面的狀況?？諝獾淖枇κ橇硪环N阻力，它依賴于車速、車輛的表面積和形狀、風速以及空氣的密度。此外還有司機的駕駛習慣，以常速駕駛還是不斷地加速？路面平坦還是崎嶇？等等。因此燃油里程（推進力，阻力，駕駛習慣，等等）。很顯然，如果要考慮車型、司機習慣以及路面狀況的所有可能的組合，對原問題的回答將會很煩瑣。因為做這樣的研究實在是心有余而力不足，所以要限制待處理的問題。（4）限制的問題識別 對于一位特定的司機來說，某天駕駛著汽車在平坦的高速公

33、路上，為了節(jié)省燃油而在最優(yōu)速度附近以不變的速度行駛。在這樣的限制問題下，可以認為諸如空氣的濕度、空氣的密度和路面狀況那樣的環(huán)境都是不變的。因為我們已經(jīng)規(guī)定了司機正在駕駛的車，確定了車的狀況、車的形狀和表面以及燃油的種類。通過限制駕駛的速度在最優(yōu)速度附近，得到了發(fā)動機效率不變以及在車速變化小時齒輪比不變的簡化假設。限制原來提出的問題是獲得容易處理的模型的強有力的方法。圖示報刊上給出的經(jīng)驗法則。如果你畫出每加侖損失的英里數(shù)對速度減少50的圖形，那將是圖9所示的一條過原點的直線。我們來看看這個線性圖形是否定性正確。因為汽車是以常速度行駛的，所以加速度為零。于是，牛頓第二定律給出的合力必為零，或者推進

34、力與阻力必相等，即，其中分別表示推進力和阻力。首先考慮推進力。每加侖汽油包含一定的能量（記為）。如果表示單位時間的耗油，那么就表示該車可利用的功率。假定功率的轉(zhuǎn)化率是不變的，由此得出轉(zhuǎn)換后的功率與成正比。因為對常力而言，功率等于力和速度的乘積，于是得如下的比例性關系，通過進一步假設燃油轉(zhuǎn)換成能量的比率不變，上面的比例性關系簡化為 。 （3）現(xiàn)在來考慮阻力。因為我們把問題限制為高速公路上的速度，與空氣阻力相比較，假設摩擦力很小是合理的。在高速公路的速度下，這些阻力的一個有意義的子模型為，其中是垂直于汽車運動方向的汽車的橫截面面積。因為在我們的限定問題中是常數(shù)，故得 ，于是 。 （4）比例性（4）

35、給出了然油消耗率應該以速度的立方的定性信息。但是，燃油消耗率并不能很好地反映燃油的效率：盡管比例性（4）說明汽車高速行駛時在單位時間里用掉更多的燃油，但汽車也開得更快了。所以，我們定義燃油里程如下： 燃油里程數(shù)。 （5）因此，汽車里程和速度的平方成反比。4、習題1、車輛的停止的距離 考慮經(jīng)常在司機培訓班上給出的下列規(guī)則：正常的駕駛條件對車與車之間的跟隨距離要求是每10英里的速率可以允許一輛車距的跟隨距離，但在不利的天氣和道路條件下跟隨距離可以更長。做到這點的一種方法就是利用2秒法則，這種方法不管車速為多少，都能測量出正確的跟隨距離。看著你前面的汽車剛剛駛過的一個高速公路上涂有柏油的地方或立交橋的影子那樣的固定點，然后默數(shù)“一千