2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試福建卷(文)

1、2015 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(福建卷)(文科) 一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1若(1i)(23i)abi(a，bR，i 是虛數(shù)單位)，則 a，b 的值分別等于( ) A3，2 B3，2 C3，3 D1，4 2若集合 Mx|2x2，N0，1，2，則 MN 等于( ) A0 B1 C0，1，2 D0，1 3.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( ) Ay x Byex Cycos x Dyexex 4 閱讀如圖所示的程序框圖， 運(yùn)行相應(yīng)的程序， 若輸入 x的值為 1， 則輸出 y 的值為( ) A2 B7 C8

2、D128 5若直線xayb1(a0，b0)過(guò)點(diǎn)(1，1)，則 ab 的最小值等于( ) A2 B3 C4 D5 6若 sin 513，且 為第四象限角，則 tan 的值等于( ) A.125 B125 C.512 D512 7設(shè) a(1，2)，b(1，1)，cakb.若 bc，則實(shí)數(shù) k 的值等于( ) A32 B53 C.53 D.32 8. 如圖，矩形 ABCD 中，點(diǎn) A 在 x 軸上，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(1，0)，且點(diǎn) C 與點(diǎn) D 在函數(shù) f(x)x1，x0，12x1，x0的圖象上. 若在矩形 ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于( ) A.16 B.14 C.38 D

3、.12 9某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于( ) A82 2 B112 2 C142 2 D15 10 變量x， y滿足約束條件xy0，x2y20，mxy0.若z2xy的最大值為2， 則實(shí)數(shù)m等于( ) A2 B1 C1 D2 11已知橢圓 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為 F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為 M，直線 l：3x4y0 交橢圓 E 于 A，B 兩點(diǎn)若|AF|BF|4，點(diǎn) M 到直線 l 的距離不小于45，則橢圓 E的離心率的取值范圍是( ) A.0，32 B.0，34 C.32，1 D.34，1 12“對(duì)任意 x0，2，ksin xcos xx”是“k0，q0)的兩

4、個(gè)不同的零點(diǎn)，且 a，b，2 這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 pq 的值等于_ 三、解答題(本大題共 6 小題，共 74 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟) 17(本小題滿分 12 分)等差數(shù)列 an中，a24，a4a715. (1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) bn2an2n，求 b1b2b3b10的值 18(本小題滿分 12 分)全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國(guó)網(wǎng)民中影響力的綜合指標(biāo)根據(jù)相關(guān)報(bào)道提供的全網(wǎng)傳播 2015 年某全國(guó)性大型活動(dòng)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”融合指數(shù)的數(shù)據(jù)，對(duì)名列前 20 名的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如

5、表所示. 組號(hào) 分組 頻數(shù) 1 4，5) 2 2 5，6) 8 3 6，7) 7 4 7，8 3 (1)現(xiàn)從融合指數(shù)在4，5)和7，8內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取 2 家進(jìn)行調(diào)研，求至少有 1 家的融合指數(shù)在7，8內(nèi)的頻率； (2)根據(jù)分組統(tǒng)計(jì)表求這 20 家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)的平均數(shù) 19. (本小題滿分 12 分)已知點(diǎn) F 為拋物線 E：y22px(p0)的焦點(diǎn)，點(diǎn) A(2，m)在拋物線 E上，且|AF|3. (1)求拋物線 E 的方程； (2)已知點(diǎn) G(1，0)，延長(zhǎng) AF 交拋物線 E 于點(diǎn) B，證明：以點(diǎn) F 為圓心且與直線 GA相切的圓，必與直線 GB 相切 20

6、(本小題滿分 12 分)如圖，AB 是圓 O 的直徑，點(diǎn) C 是圓 O 上異于 A，B 的點(diǎn)，PO垂直于圓 O 所在的平面，且 POOB1. (1)若 D 為線段 AC 的中點(diǎn)，求證：AC平面 PDO； (2)求三棱錐 P- ABC 體積的最大值； (3)若 BC 2，點(diǎn) E 在線段 PB 上，求 CEOE 的最小值 21(本小題滿分 12 分)已知函數(shù) f(x)10 3sinx2cosx210cos2x2. (1)求函數(shù) f(x)的最小正周期； (2)將函數(shù) f(x)的圖象向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移 a(a0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，且函數(shù) g(x)的最大值為 2. 求函數(shù)

7、 g(x)的解析式； 證明：存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù) x0，使得 g(x0)0. 22(本小題滿分 14 分)已知函數(shù) f(x)ln x（x1）22. (1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)證明：當(dāng) x1 時(shí)，f(x)x1； (3)確定實(shí)數(shù) k 的所有可能取值，使得存在 x01，當(dāng) x(1，x0)時(shí)，恒有 f(x)k(x1) 參考答案與詳解 一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.解析：選 A (1i)(23i)32iabi，所以 a3，b2. 2.解析：選 D MNx|2x20，1，20，1. 3.解

8、析：選 D 對(duì)于 A，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不符合要求；對(duì)于 B，f(x)f(x)，故不符合要求；對(duì)于 C，滿足 f(x)f(x)，故不符合要求；對(duì)于 D，f(x)exex(exex)f(x)，yexex為奇函數(shù)，故選 D. 4.解析：選 C 由程序框圖知，y2x，x2，9x，x0，b0， 故 ab(ab)1a1b2baab224，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取到，故選 C. 6解析：選 D 法一：因?yàn)?為第四象限的角， 故 cos 1sin2 151321213， 所以 tan sin cos 5131213512. 法二：因?yàn)?是第四象限角，且 sin 513，所以可在 的終邊上取一點(diǎn) P(1

9、2，5)，則 tan yx512. 7解析：選 A cakb(1k，2k), 又 bc，所以 1 (1k)1 (2k)0，解得k32. 8.解析：選 B 因?yàn)?f(x)x1，x0，12x1，x0，B 點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，所以 C 點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，D 點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)，A 點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，故矩形 ABCD 的面積為 2 36，陰影部分的面積為12 3 132，故 P32614. 9解析：選 B 由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示 直角梯形斜腰長(zhǎng)為1212 2，所以底面周長(zhǎng)為 4 2，側(cè)面積為 2 (4 2)82 2， 兩底面的面積和為 212 1 (12

10、)3， 所以該幾何體的表面積為 82 23112 2. 10解析：選 C 對(duì)于選項(xiàng) A，當(dāng) m2 時(shí)，可行域如圖，直線 y2xz 的截矩可以無(wú)限小，z 不存在最大值，不符合題意，故 A 不正確； 對(duì)于選項(xiàng) B，當(dāng) m1 時(shí)，mxy0 等同于 xy0，可行域如圖，直線 y2xz的截矩可以無(wú)限小，z 不存在最大值，不符合題意，故 B 不正確； 對(duì)于選項(xiàng) C，當(dāng) m1 時(shí)可行域如圖，當(dāng)直線 y2xz 過(guò)點(diǎn) A(2，2)時(shí)截距最小，z最大為 2，滿足題意，故 C 正確； 對(duì)于選項(xiàng) D，當(dāng) m2 時(shí)，可行域如圖，直線 y2xz 與直線 OB 平行，截距最小值為 0，z 最大為 0，不符合題意，故 D 不

11、正確 11解析：選 A 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及橢圓的定義可得 A，B 兩點(diǎn)到橢圓左、右焦點(diǎn)的距離為 4a2(|AF|BF|)8，所以 a2. 又 d|3 04 b|32（4）245，所以 1b2，所以 eca1b2a2 1b24.因?yàn)?1b2，所以 0e32. 12解析：選 B 令 f(t)sin tt，則 f(t)cos t10 恒成立，所以 f(t)sin tt 在0，上是減函數(shù)， f(t)f(0)0， 所以 sin tt(0t) 令 t2x， 則 sin 2x2x0 x2， 所以 2sin xcos x2x，所以 sin xcos xx.當(dāng) k1 時(shí)，ksin xcos xx，故必要性成立；

12、當(dāng) x3時(shí)，ksin 2x2x 可化為 k43，取 k43，不等式成立，但此時(shí) k1，故充分性不成立 二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分把答案填在題中橫線上) 13解析：設(shè)男生抽取 x 人，則有45900 x900400， 解得 x25. 答案：25 14 解析： B180 75 45 60 ， 由正弦定理， 得BCsin AACsin B， 即BCsin 453sin 60，解得 BC 2. 答案： 2 15解析：因?yàn)?f(x)2|xa|，所以 f(x)的圖象關(guān)于直線 xa 對(duì)稱又由 f(1x)f(1x)，知 f(x)的圖象關(guān)于直線 x1 對(duì)稱，故 a1，且 f(x

13、)的增區(qū)間是)1，由函數(shù) f(x)在)m，上單調(diào)遞增，知)m，)1，所以 m1，故 m 的最小值為 1. 答案：1 16解析：不妨設(shè) ab，由題意得abp0，abq0， a0，b0， 則 a，2，b 成等比數(shù)列，a，b，2 成等差數(shù)列， ab（2）2，a22b，a4，b1，p5，q4，pq9. 答案：9 三、解答題(本大題共 6 小題，共 74 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟) 17解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d. 由已知得a1d4，（a13d）（a16d）15，解得a13，d1. 所以 ana1(n1)dn2. (2)由(1)可得 bn2nn， 所以 b1b2b3b10 (2

14、1)(222)(233)(21010) (22223210)(12310) 2（1210）12（110） 102 (2112)55 211532 101. 18解：(1)融合指數(shù)在7，8內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為 A1，A2，A3；融合指數(shù)在4，5)內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為 B1，B2.從融合指數(shù)在4，5)和7，8內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取 2 家的所有基本事件是： A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共 10 個(gè) 其中，至少有 1 家融合指數(shù)在7，8內(nèi)的基本事件是：A1，A2，A1，A3，A2，A3，

15、A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，共 9 個(gè) 所以所求的概率 P910. (2)這 20 家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)平均數(shù)等于 452205.58206.57207.53206.05. 19.解：(1)由拋物線的定義得|AF|2p2. 因?yàn)閨AF|3，即 2p23，解得 p2， 所以拋物線 E 的方程為 y24x. (2)法一：因?yàn)辄c(diǎn) A(2，m)在拋物線 E：y24x 上， 所以 m 2 2. 由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè) A(2，2 2) 由 A(2，2 2)，F(xiàn)(1，0)可得直線 AF 的方程為 y2 2(x1)由y2 2（x1），y24x，得2x2

16、5x20， 解得 x2 或 x12，從而 B12， 2 . 又 G(1，0)， 所以 kGA2 202（1）2 23，kGB 2012（1）2 23， 所以 kGAkGB0，從而AGFBGF，這表明點(diǎn) F 到直線 GA，GB 的距離相等，故以 F 為圓心且與直線 GA 相切的圓必與直線 GB 相切 法二：設(shè)以點(diǎn) F 為圓心且與直線 GA 相切的圓的半徑為 r. 因?yàn)辄c(diǎn) A(2，m)在拋物線 E：y24x 上，所以 m 2 2. 由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè) A(2，2 2) 由 A(2，2 2)，F(xiàn)(1，0)可得直線 AF 的方程為 y2 2(x1)由y2 2（x1），y24x， 得 2x25x2

17、0， 解得 x2 或 x12，從而 B12， 2 . 又 G(1，0)， 故直線 GA 的方程為 2 2x3y2 20， 從而 r|2 22 2|894 2 17 . 又直線 GB 的方程為 2 2x3y2 20， 所以點(diǎn) F 到直線 GB 的距離 d|2 22 2|894 217r. 這表明以點(diǎn) F 為圓心且與直線 GA 相切的圓必與直線 GB 相切 20解：(1)在 AOC 中 ，因?yàn)?OAOC，D 為 AC 的中點(diǎn)，所以 ACDO. 又 PO 垂直于圓 O 所在的平面，所以 POAC. 因?yàn)?DOPOO，DO，PO平面 PDO， 所以 AC平面 PDO. (2)因?yàn)辄c(diǎn) C 在圓 O 上，

18、所以當(dāng) COAB 時(shí)，C 到 AB 的距離最大，且最大值為 1. 又 AB2，所以 ABC 面積的最大值為12 2 11. 又因?yàn)槿忮F P- ABC 的高 PO1， 故三棱錐 P- ABC 體積的最大值為13 1 113. (3)在 POB 中，POOB1，POB90 ， 所以 PB1212 2. 同理 PC 2，所以 PBPCBC. 在三棱錐 P- ABC 中，將側(cè)面 BCP 繞 PB 旋轉(zhuǎn)至平面 BCP，使之與平面 ABP 共面，如圖所示 當(dāng) O，E，C共線時(shí)，CEOE 取得最小值 又因?yàn)?OPOB，CPCB，所以 OC垂直平分 PB，即 E 為 PB 的中點(diǎn) 從而 OCOEEC2262

19、2 62， 即 CEOE 的最小值為2 62. 21解：(1)因?yàn)?f(x)10 3sinx2cosx210cos2x2 5 3sin x5cos x5 10sinx65， 所以函數(shù) f(x)的最小正周期 T2. (2)將 f(x)的圖象向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到 y10sin x5 的圖象，再向下平移 a(a0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到 g(x)10sin x5a 的圖象 又已知函數(shù) g(x)的最大值為 2， 所以 105a2，解得 a13. 所以 g(x)10sin x8. 要證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù) x0，使得 g(x0)0，就是要證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù) x0，使得 10sin x080，即 sin x045. 由4532知，存在 003，使得 sin 045. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知， 當(dāng)