概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ch

1、2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布一. 連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)定義 若X是隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為，如果存在非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任意的有 （2.3.1）則稱X是連續(xù)型隨機(jī)變量，而稱為X的概率密度函數(shù)（簡(jiǎn)稱密度函數(shù)或密度）.1. 密度函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1） （）（2） （）性質(zhì)（2）表明，曲線與x軸圍成的面積是1.反之，若任意一個(gè)定義在上的函數(shù)具有以上兩個(gè)性質(zhì)，則由（）定義的函數(shù)是一個(gè)分布函數(shù).2. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)有 （）（2.3.4）式說(shuō)明了：X落在中的概率，恰好等于在區(qū)間上由曲線形成的曲邊梯形的面積.3. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有 . 這說(shuō)明：（1）象離散型隨機(jī)變量那樣用列舉法來(lái)描述連續(xù)型隨機(jī)變量不但做不到

2、，而且也毫無(wú)意義.（2）由不能推出；由不能推出. 即概率為0的隨機(jī)事件不一定是不可能事件，概率為1的隨機(jī)事件不一定是必然事件. （3） 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X，有 （）4. 分布密度函數(shù)的數(shù)值反映了隨機(jī)變量X取的臨近值的概率的大小. 這是因?yàn)?. 由（）式可以看出，在上連續(xù)，且若在點(diǎn)連續(xù)，則 （）例 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 . 求（1）常數(shù)A；（2）X的分布函數(shù)；（3）X落在區(qū)間中的概率.解 （1）由密度函數(shù)的性質(zhì)（） 得 .（2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上得 （3）.二. 常用的連續(xù)型分布1. 均勻分布: 若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 （）則稱X服從區(qū)間上的均勻分布，記為XU.這時(shí), 的分布函數(shù)為

3、 （）若隨機(jī)變量X服從區(qū)間上的均勻分布，則X在區(qū)間中落在其中某子區(qū)間的概率僅與子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與此點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).2. 指數(shù)分布: 或 若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 （）其中是常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為.這時(shí), 的分布函數(shù)為 （） 指數(shù)分布有著重要的應(yīng)用：常用它來(lái)作為各種“壽命”分布的近似，例如動(dòng)物的壽命，電子元件的使用壽命，電話的通話時(shí)間，排隊(duì)等候服務(wù)的時(shí)間等都常常假定服從指數(shù)分布.例2.3.3 某種晶體管壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分布（單位：小時(shí)）. 某電子儀器裝配有此晶體管5個(gè)，并且每個(gè)晶體管損壞與否相互獨(dú)立. 求此電子儀器在1000小時(shí)內(nèi)恰好有兩個(gè)晶體管損壞的概率.解 設(shè)為

4、第只晶體管的壽命”，由題意知的密度函數(shù)為于是以Y記5只晶體管中壽命不小于1000小時(shí)的只數(shù)，則Y，因此，所求概率為 3. 正態(tài)分布: 若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為（）其中，是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為X.可以驗(yàn)證確實(shí)是一個(gè)密度函數(shù).即 （1）0. （2） 這時(shí)，的分布函數(shù)為， ）密度函數(shù)是一條鐘形曲線：中間高，兩邊低. 特別地，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，相應(yīng)的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別記為和，即有 = ， （） ， （）對(duì)于的分布函數(shù)值可以通過(guò)變換得到.推導(dǎo)如下：X，.例 設(shè)X，則，由此，當(dāng)或時(shí)，有,.例 設(shè)隨機(jī)變量X.（1）求；（2）求常數(shù)，使；（3）求常數(shù)，使.解 （1）

5、= = （2），查表得 于是. （3），即，查表得于是. 例2.3.8 設(shè)X，則. 特別地，當(dāng)時(shí)，有 這表明試驗(yàn)中位于以內(nèi)的數(shù)據(jù)占99.73%，因此可以說(shuō)，在一次試驗(yàn)中，隨機(jī)變量X幾乎總是落在之中，此即“3”原則. 這也與前面提到的密度函數(shù)的性質(zhì)是一致的，在點(diǎn)附近越高，隨機(jī)變量在點(diǎn)附近取值的概率也越大.2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般地，設(shè)X為一隨機(jī)變量，為一已知的函數(shù)，其定義域包含了X的一切取值，則也是一隨機(jī)變量.一. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布若X為離散型隨機(jī)變量，則也是離散型隨機(jī)變量. 由X的分布列不難求出Y的分布列. 設(shè)X的分布列為則隨機(jī)變量Y=的分布列為當(dāng)然這里可能有一些的值是相等的，只

6、要把它們作適當(dāng)?shù)暮喜⒕涂梢粤?或用公式來(lái)表示， 若Y的可能取值為，則， （）例 已知X的分布列為， 求的分布列.解 當(dāng)X分別取 -2，-1，0， 1， 2時(shí)，因此Y的取值 9， 4，1， 0， 1， 故的分布列為 例 已知 求: 與 的分布列二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布若X為連續(xù)型隨機(jī)變量X ，為連續(xù)函數(shù)，則 Y=g(X)也是連續(xù)型隨機(jī)變量. 如何由X的密度函數(shù)求Y的密度函數(shù)呢？其一般方法是：先求Y的分布函數(shù)FY(y)，然后再通過(guò)求導(dǎo)得出Y的密度函數(shù)pY(y).例 已知隨機(jī)變量X，求的密度函數(shù).解 當(dāng)時(shí)，=0；當(dāng)時(shí)=因此Y的密度函數(shù)為 （）具有密度函數(shù)（）式的分布稱為自由度為1的分布. 對(duì)于為單調(diào)函數(shù)，的分布密度可以直接由下列定理給出.定理 設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為，在內(nèi)大于零，又函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)且其反函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，且其密度函數(shù)為 （）其中是的值域.例 已知隨機(jī)變量X，是常數(shù)，.求Y的密度函數(shù).解 顯然函數(shù)滿足定理中條件，應(yīng)用定理結(jié)論， 的反函數(shù)為，得Y的密度函數(shù)為： =由此可知Y，此例說(shuō)明服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量經(jīng)線性變換后仍然服從正態(tài)分布. 特別地，取 ，則有 即任一正態(tài)分布通過(guò)上述線性變換都可變成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.例2.4.6 隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 ， 求的密度.推論 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度