歐拉法解常微分方程

1、數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院實(shí) 驗(yàn) 報(bào) 告實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱 Eular方法求解一階常微分方程數(shù)值解 所屬課程名稱 偏微分方程數(shù)值解 實(shí) 驗(yàn) 類 型 驗(yàn)證性 實(shí) 驗(yàn) 日 期 2015-3-26 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 成 績(jī) 一、實(shí)驗(yàn)概述：【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?熟練掌握應(yīng)用顯性Eular法和隱式Eular法求解一般一階常微分方程的近似數(shù)值解。【實(shí)驗(yàn)原理】雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法，但解析方法只能用來(lái)求解一些特殊類型的方程。求解從實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中歸結(jié)出來(lái)的微分方程主要靠數(shù)值解法。歐拉方法是一類重要的數(shù)值解法。這類方法回避解y(x)的函數(shù)表達(dá)式，而是尋求它在一系列離散節(jié)點(diǎn)上的近似值，相鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間距稱作步長(zhǎng)。

2、假定步長(zhǎng)為定數(shù)。歐拉方法是一類離散化方法，這類方法將尋求解y(x)的分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算離散值值的代數(shù)問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得了實(shí)質(zhì)性的簡(jiǎn)化。然而隨之帶來(lái)的困難是，由于數(shù)據(jù)量往往很大，差分方法所歸結(jié)出的可能是個(gè)大規(guī)模的代數(shù)方程組。 【實(shí)驗(yàn)環(huán)境】1. 硬件環(huán)境 2. 2.軟件環(huán)境 MATLAB7.02、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：【實(shí)驗(yàn)過(guò)程】（實(shí)驗(yàn)步驟）(一)實(shí)驗(yàn)任務(wù) 描述某種化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的方程，利用顯性和隱形Eualar方法求解下列一階線性微分方程組的近似數(shù)值解： (2) 求解過(guò)程 Eular方法： 一階線性微分方程初值問(wèn)題 （1）方程離散化：差分和差商 （2） 通過(guò)初始值，依據(jù)遞推公式（2）逐步算出就為顯性的Eu

3、lar方法。隱形Eular方法： （3） 公式（3）即為隱式Eular公式。（三）程序算法1. 利用顯式Eular法方求解 利用MATLAB進(jìn)行求解，編寫腳本文件如下：文件名：hql.m %顯性Eular方法 f0=1; g0 =0;z0=0 delta=0.01; time=1; t=0:delta:time; f=zeros(size(t); g=zeros(size(t); z=zeros(size(t); f1=zeros(size(t); g1=zeros(size(t); z1=zeros(size(t); f(1)=f0; g(1)=g0; z(1)=z0; for i=2:le

4、ngth(t) f1(i-1) = -0.04*f(i-1) + 10000*f(i-1)*g(i-1); f(i)=f(i-1)+f1(i-1)*delta; g1(i-1) = 0.04*f(i-1) - 10000*f(i-1)*g(i-1)-3*107*g(i-1)2; g(i)=g(i-1)+g1(i-1)*delta; z1(i-1)=3*107*g(i-1)2; z(i)=z(i-1)+z(i-1)*delta; Fun=f+g+z end figure plot(t,f,'o'); xlabel('t'); ylabel('y1'

5、); title('t-y1變化圖') figure plot(t,g,'o'); xlabel('t'); ylabel('y2'); title('t-y2變化圖') figure plot(t,z,'o'); xlabel('t'); ylabel('y3'); title('t-y3變化圖') figure plot(t,Fun); xlabel('t'); ylabel('y1+y2+y3'); title(&

6、#39;t-y1+y2+y3變化圖')【實(shí)驗(yàn)結(jié)論】 A步長(zhǎng)h=0.001時(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)測(cè)試。結(jié)果如下：迭代第一次時(shí)，結(jié)果與方程描述內(nèi)容相符。迭代第二次時(shí)，結(jié)果與方程描述內(nèi)容基本相符。迭代三次時(shí)，結(jié)果與方程描述內(nèi)容基本相符。迭代1000次時(shí)，模擬結(jié)果已經(jīng)嚴(yán)重脫離事實(shí)，故當(dāng)選擇delta為0.001時(shí)，該迭代方法不收斂。時(shí)間與個(gè)變量直接的變化關(guān)系如圖所示：從上述圖形可以明顯看出，在迭代的不斷進(jìn)行時(shí)，各變量與時(shí)間的變化越來(lái)越大，且嚴(yán)重脫離了方程所描述的現(xiàn)實(shí)意義。B.當(dāng)選擇h=0.00000001時(shí)，模擬結(jié)果如下： 迭代第一次， 與A中結(jié)果相同。 迭代第二次， 跌二次迭代結(jié)果明顯優(yōu)于一中。跌三次迭

7、代結(jié)果，并未產(chǎn)生誤差。地1000次迭代結(jié)果， 結(jié)果明顯是收斂的。 時(shí)間與個(gè)變量直接的變化關(guān)系如圖所示：從圖中能夠清晰看出，當(dāng)h=0.00000001時(shí)，模擬結(jié)果與方程所表示的顯示意義相吻合。說(shuō)明了顯性Eualr方法的收斂性是與步長(zhǎng)的選擇是相關(guān)。這就對(duì)我們們選擇步長(zhǎng)造成了困難，由于選擇的步長(zhǎng)不合適有可能得出錯(cuò)誤的結(jié)論。【實(shí)驗(yàn)小結(jié)】（收獲體會(huì)）1、 軟件使用 在寫MATLAB語(yǔ)言的時(shí)候要深刻理解題的意圖，整理好思緒再做題目，在我運(yùn)算的過(guò)程中，h取值取得越小、越細(xì)微，曲線逼近的越好。2、歐拉法的缺點(diǎn) 簡(jiǎn)單地取切線的端點(diǎn)作為下一步的起點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)步數(shù)增多時(shí)，誤差會(huì)因積累而越來(lái)越大。因此歐拉格式一般不

8、用于實(shí)際計(jì)算。3、 實(shí)驗(yàn)感想 在這次上機(jī)實(shí)驗(yàn)中，我掌握了解決常微分方程的基本方法，同時(shí)學(xué)會(huì)使用計(jì)算機(jī)軟件對(duì)兩種不同方法得到的結(jié)果進(jìn)行判斷，對(duì)我們以后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析很有幫助。三、指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)及成績(jī)：評(píng) 語(yǔ)評(píng)語(yǔ)等級(jí)優(yōu)良中及格不及格1.實(shí)驗(yàn)報(bào)告按時(shí)完成,字跡清楚,文字?jǐn)⑹隽鲿?邏輯性強(qiáng)2.實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)合理3.實(shí)驗(yàn)過(guò)程（實(shí)驗(yàn)步驟詳細(xì),記錄完整,數(shù)據(jù)合理,分析透徹）4實(shí)驗(yàn)結(jié)論正確. 成 績(jī)： 指導(dǎo)教師簽名： 批閱日期：附錄：源 程 序程序1：%顯性Eular方法f0=1; g0 =0;z0=0delta=0.00000001; time=0.00001;t=0:delta:time; f=zeros(s

9、ize(t);g=zeros(size(t);z=zeros(size(t);f1=zeros(size(t);g1=zeros(size(t);z1=zeros(size(t); f(1)=f0;g(1)=g0;z(1)=z0;for i=2:length(t) f1(i-1) = -0.04*f(i-1) + 10000*f(i-1)*g(i-1); f(i)=f(i-1)+f1(i-1)*delta; g1(i-1) = 0.04*f(i-1) - 10000*f(i-1)*g(i-1)-3*107*g(i-1)2; g(i)=g(i-1)+g1(i-1)*delta; z1(i-1)=3*107*g(i-1)2; z(i)=z(i-1)+z(i-1)*delta; Fun=f+g+zend figureplot(t,f,'o');xlabel('t');ylabel('y1');title('t-y1變化圖') figureplot(t,g,'o');xlabel('t');ylabel('y2');title('t-y2變化圖') figureplot(t,z,'o');xlabe