梁的彎曲應(yīng)力

1、第11章 梁的彎曲應(yīng)力教學(xué)提示：梁純彎曲和橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力；梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力；提高彎曲強(qiáng)度的若干措施、薄壁桿件的切應(yīng)力流和彎曲中心。教學(xué)要求：掌握梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，理解橫力彎曲正應(yīng)力計(jì)算仍用純彎曲公式的條件和近似程度。掌握中性層、中性軸和翹曲等基本概念和含義。熟練掌握彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件的建立和相應(yīng)的計(jì)算。了解什么情況下需要對(duì)梁的彎曲切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。從彎曲強(qiáng)度條件出發(fā)，掌握提高彎曲強(qiáng)度的若干措施。在外荷載作用下，梁截面上一般都有彎矩和剪力，相應(yīng)地在梁的橫截面上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。彎矩是垂直于橫截面的分布內(nèi)力的合力偶矩；而剪力是切于橫截面的

2、分布內(nèi)力的合力。本章研究正應(yīng)力和剪應(yīng)力的分布規(guī)律，從而對(duì)平面彎曲梁的強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算。11.1梁的彎曲正應(yīng)力平面彎曲情況下，一般梁橫截面上既有彎矩又有剪力，如圖11.1所示梁的AC、DB段。而在CD段內(nèi)，梁橫截面上剪力等于零，而只有彎矩，這種情況稱為純彎曲。下面推導(dǎo)梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力公式。應(yīng)綜合考慮變形幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力學(xué)關(guān)系等三個(gè)方面。11.1.1 彎曲正應(yīng)力一般公式1、變形幾何關(guān)系為研究梁彎曲時(shí)的變形規(guī)律，可通過(guò)試驗(yàn)，觀察彎曲變形的現(xiàn)象。取一具有對(duì)稱截面的矩形截面梁，在其中段的側(cè)面上，畫(huà)兩條垂直于梁軸線的橫線mm和nn，再在兩橫線間靠近上、下邊緣處畫(huà)兩條縱線ab和cd，如圖11.

3、2(a)所示。然后按圖11.1(a)所示施加荷載，使梁的中段處于純彎曲狀態(tài)。從試驗(yàn)中可以觀察到圖11 .2(b)情況：（1）梁表面的橫線仍為直線，仍與縱線正交，只是橫線間作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。（2）縱線變?yōu)榍€，而且靠近梁頂面的縱線縮短，靠近梁底面的縱線伸長(zhǎng)。（3）在縱線伸長(zhǎng)區(qū)，梁的寬度減小，而在縱線縮短區(qū)，梁的寬度則增加，情況與軸向拉、壓時(shí)的變形相似。根據(jù)上述現(xiàn)象，對(duì)梁內(nèi)變形與受力作如下假設(shè)：變形后，橫截面仍保持平面，且仍與縱線正交；同時(shí)，梁內(nèi)各縱向纖維僅承受軸向拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。前者稱為彎曲平面假設(shè)；后者稱為單向受力假設(shè)。根據(jù)平面假設(shè)，橫截面上各點(diǎn)處均無(wú)剪切變形，因此，純彎時(shí)梁的橫截面上不存在剪應(yīng)力。

4、根據(jù)平面假設(shè)，梁彎曲時(shí)部分纖維伸長(zhǎng)，部分纖維縮短，由伸長(zhǎng)區(qū)到縮短區(qū)，其間必存在一長(zhǎng)度不變的過(guò)渡層，稱為中性層，如圖11.2(c)所示。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。對(duì)于具有對(duì)稱截面的梁，在平面彎曲的情況下，由于荷載及梁的變形都對(duì)稱于縱向?qū)ΨQ面，因而中性軸必與截面的對(duì)稱軸垂直。綜上所述，純彎曲時(shí)梁的所有橫截面保持平面，仍與變彎后的梁軸正交，并繞中性軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，而所有縱向纖維則均處于單向受力狀態(tài)。從梁中截取一微段dx，取梁橫截面的對(duì)稱軸為y軸，且向下為正，如圖11.3 (b)所示，以中性軸為y軸，但中性軸的確切位置尚待確定。根據(jù)平面假設(shè)，變形前相距為dx的兩個(gè)橫截面，變形后各自繞中性軸相對(duì)旋轉(zhuǎn)

5、了一個(gè)角度d，并仍保持為平面。中性層的曲率半徑為，因中性層在梁彎曲后的長(zhǎng)度不變，所以又坐標(biāo)為y的縱向纖維ab變形前的長(zhǎng)度為變形后為故其縱向線應(yīng)變?yōu)?（a）可見(jiàn)，縱向纖維的線應(yīng)變與纖維的坐標(biāo)y成正比。2、物理關(guān)系因?yàn)榭v向纖維之間無(wú)正應(yīng)力，每一纖維都處于單向受力狀態(tài)，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，由胡克定律知將(a)式代入上式，得 (b)這就是橫截面上正應(yīng)力變化規(guī)律的表達(dá)式。由此可知，橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而在距中性軸為y的同一橫線上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均相等，這一變化規(guī)律可由圖11.4來(lái)表示。3、靜力學(xué)關(guān)系以上已得到正應(yīng)力的分布規(guī)律，但由于中性軸的位置與中性層曲率半徑的大小均尚未

6、確定，所以仍不能確定正應(yīng)力的大小。這些問(wèn)題需再?gòu)撵o力學(xué)關(guān)系來(lái)解決。如圖11.5所示，橫截面上各點(diǎn)處的法向微內(nèi)力dA組成一空間平行力系，而且由于橫截面上沒(méi)有軸力，僅存在位于x-y平面的彎矩M，因此， (c) (d) (e) 以式(b)代入式(c)，得 (f)上式中的積分代表截面對(duì)z軸的靜矩Sz。靜距等于零意味著z軸必須通過(guò)截面的形心。以式(b)代入式(d)，得 (g)式中，積分是橫截面對(duì)y和z軸的慣性積。由于y軸是截面的對(duì)稱軸，必然有Iyz=0,所示上式是自然滿足的。以式(b)代入式(e)，得 （h）式中積分 （i）是橫截面對(duì)z軸（中性軸）的慣性矩。于是，(h)式可以寫(xiě)成 （11.1）此式表明，

7、在指定的橫截面處，中性層的曲率與該截面上的彎矩M成正比，與EIz成反比。在同樣的彎矩作用下，EIZ愈大，則曲率愈小，即梁愈不易變形，故EIz稱為梁的抗彎剛度。再將式(11.1)代入式(b),于是得橫截面上y處的正應(yīng)力為 （11.2）此式即為純彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式。式中M 為橫截面上的彎矩；Iz 為截面對(duì)中性軸的慣性矩；y 為所求應(yīng)力點(diǎn)至中性軸的距離。當(dāng)彎矩為正時(shí)，梁下部纖維伸長(zhǎng)，故產(chǎn)生拉應(yīng)力，上部纖維縮短而產(chǎn)生壓應(yīng)力；彎矩為負(fù)時(shí)，則與上相反。在利用（11.2）式計(jì)算正應(yīng)力時(shí)，可以不考慮式中彎矩M和y 的正負(fù)號(hào)，均以絕對(duì)值代入，正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力可以由梁的變形來(lái)判斷。應(yīng)該指出，以上公式雖然

8、是純彎曲的情況下，以矩形梁為例建立的，但對(duì)于具有縱向?qū)ΨQ面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圓形截面梁等仍然可以使用。同時(shí)，在實(shí)際工程中大多數(shù)受橫向力作用的梁，橫截面上都存在剪力和彎矩，但對(duì)一般細(xì)長(zhǎng)梁來(lái)說(shuō)，剪力的存在對(duì)正應(yīng)力分布規(guī)律的影響很小。因此，（11.2）式也適用于非純彎曲情況。11.1.2 最大彎曲正應(yīng)力由式(11.2)可知，在y=ymax即橫截在由離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，彎曲正應(yīng)力最大，其值為式中，比值Iz/ymax僅與截面的形狀與尺寸有關(guān)，稱為抗彎截面系數(shù)，也叫抗彎截面模量。用Wz表示。即為 （11.3）于是，最大彎曲正應(yīng)力即為 （11.4）可見(jiàn)，最大彎曲正應(yīng)力與彎矩成正比，與

9、抗彎截面系數(shù)成反比?？箯澖孛嫦禂?shù)綜合反映了橫截面的形狀與尺寸對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響。圖11.6中矩形截面與圓形截面的抗彎截面系數(shù)分別為 (11.5) (11.6)而空心圓截面的抗彎截面系數(shù)則為 (11.7)式中=d/D，代表內(nèi)、外徑的比值。至于各種型鋼截面的抗彎截面系數(shù)，可從型鋼規(guī)格表中查得（見(jiàn)附錄）。例11.1 圖11.7所示懸臂梁，自由端承受集中荷載F作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm，a=2m，F(xiàn)=1.5KN。計(jì)算A截面上K 點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力。解 先計(jì)算截面上的彎矩截面對(duì)中性軸的慣性矩則A 截面上的彎矩為負(fù)，K 點(diǎn)是在中性軸的上邊，所以為拉應(yīng)力。11.2 平面圖形的幾何性質(zhì)構(gòu)件

10、在外力作用下產(chǎn)生的應(yīng)力和變形，都與構(gòu)件的截面的形狀和尺寸有關(guān)。反映截面形狀和尺寸的某些性質(zhì)的一些量，如拉伸時(shí)遇到的截面面積、扭轉(zhuǎn)時(shí)遇到的極慣性矩和這一章前面遇到的慣性矩、抗彎截面系數(shù)等，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)。為了計(jì)算彎曲應(yīng)力和變形，需要知道截面的一些幾何性質(zhì)?，F(xiàn)在來(lái)討論截面的一些主要的幾何性質(zhì)。11.2.1形心和靜矩若截面形心得坐標(biāo)為yC和zC（C 為截面形心），將面積得每一部分看成平行力系，即看成等厚、均質(zhì)薄板的重力，根據(jù)合力矩定理可得形心坐標(biāo)公式 （a）靜矩又稱面積矩。其定義如下，在圖11.8中任意截面內(nèi)取一點(diǎn)M（z,y）,圍繞M點(diǎn)取一微面積dA，微面積對(duì)z軸的靜矩為ydA，對(duì)y軸的靜矩為

11、zdA，則整個(gè)截面對(duì)z和y軸的靜矩分別為： (b)有形心坐標(biāo)公式知： (c)上式中yC和zC是截面形心C的坐標(biāo)，A是截面面積。當(dāng)截面形心的位置已知時(shí)可以用上式來(lái)計(jì)算截面的靜矩。從上面可知，同一截面對(duì)不同軸的靜矩不同，靜矩可以是正負(fù)或是零；靜矩的單位是長(zhǎng)度的立方，用m3 或cm3 、mm3等表示；當(dāng)坐標(biāo)軸過(guò)形心時(shí)，截面對(duì)該軸的靜矩為零。當(dāng)截面由幾個(gè)規(guī)則圖形組合而成時(shí)，截面對(duì)某軸的靜矩，應(yīng)等于各個(gè)圖形對(duì)該軸靜矩的代數(shù)和。其表達(dá)式為 (d) (e)而截面形心坐標(biāo)公式也可以寫(xiě)成 (f) (g)11.2.2慣性矩、慣性積和平行移軸定理在圖11.8中任意截面上選取一微面積dA，則微面積dA對(duì)z軸和y軸的慣

12、性矩為z2dA和Y2dA。則整個(gè)面積對(duì)z軸和y軸的慣性矩分別記為Iz和Iy，而慣性積記為Izy，則定義： (h) (i)極慣性矩定義為： (j)從上面可以看出，慣性矩總是大于零，因?yàn)樽鴺?biāo)的平方總是正數(shù)，慣性積可以是正、負(fù)和零；慣性矩、慣性積和極慣性矩的單位都是長(zhǎng)度的四次方，用m4 或cm4 、mm4等表示。同一截面對(duì)不同的平行的軸，它們的慣性矩和慣性積是不同的。同一截面對(duì)二根平行軸的慣性矩和慣性積雖然不同，但它們之間存在一定的關(guān)系。下面討論二根平行軸的慣性矩、慣性積之間的關(guān)系。圖11.9所示任意截面對(duì)任意軸對(duì)z´軸和y´軸的慣性矩、慣性積分別為Iz´、Iy

13、0; 和Izy 。過(guò)形心C有平行于z´、y´的兩個(gè)坐標(biāo)軸z和y，截面對(duì)z、y軸的慣性矩和慣性積為Iz、Iy 和Izy。對(duì)oz´y´坐標(biāo)系形心坐標(biāo)為C（a,b）。截面上選取微面積dA，dA的形心坐標(biāo)為則按照慣性矩的定義有上式中第一項(xiàng)為截面對(duì)過(guò)形心坐標(biāo)軸y軸的慣性矩；第三項(xiàng)為面積的a2倍；而第二項(xiàng)為截面過(guò)形心坐標(biāo)軸y軸靜矩乘以2a 。根據(jù)靜矩的性質(zhì)，對(duì)過(guò)形心軸的靜矩為零，所以第二項(xiàng)為零。這樣上式可以寫(xiě)為 (k)同理可得： (l) (m)也就是說(shuō)，截面對(duì)于平行于形心軸的慣性矩，等于該截面對(duì)形心軸的慣性矩再加上其面積乘以兩軸間距離的平方；而截面對(duì)于平行于過(guò)形心軸

14、的任意兩垂直軸的慣性積，等于該面積對(duì)過(guò)形心二軸的慣性積再加上面積乘以相互平行的二軸距之積。這就是慣性矩和慣性積的平行移軸定理。例11.2 計(jì)算圖11.10 所示T 形截面的形心和過(guò)它的形心z軸的慣性矩。解 （1）確定截面形心位置選參考坐標(biāo)系oz´y´，如圖11.10所示。將截面分解為上面和下面兩個(gè)矩形部分，截面形心C的縱坐標(biāo)為（2）計(jì)算截面慣性矩上面矩形與下面矩形對(duì)形心軸z的慣性矩分別為11.3 梁的彎曲剪應(yīng)力當(dāng)進(jìn)行平面彎曲梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，一般來(lái)說(shuō)，彎曲正應(yīng)力是支配梁強(qiáng)度計(jì)算的主要因素，但在某些情況上，例如，當(dāng)梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，這時(shí)梁的最大彎矩比較

15、小，而剪力卻很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，這時(shí)剪應(yīng)力可達(dá)到相當(dāng)大的數(shù)值，剪應(yīng)力就不能忽略了。下面介紹幾種常見(jiàn)截面上彎曲剪應(yīng)力的分布規(guī)律和計(jì)算公式。11.3.1矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力圖11.11(a)所示矩形截面梁，在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)承受荷載作用。設(shè)橫截面的高度為h，寬度為b，為研究彎曲剪應(yīng)力的分布規(guī)律，現(xiàn)作如下假設(shè)：橫截面上各點(diǎn)處的剪應(yīng)力的方向都平行于剪力，并沿截面寬度均勻分布。有相距dx的橫截面從梁中切取一微段，如圖11.12(a)。然后，在橫截面上縱坐標(biāo)為y處，再用一個(gè)縱向截面m-n，將該微段的下部切出，如圖11.12(b)。設(shè)橫截面上y處的剪應(yīng)力為，則由剪應(yīng)力互等定理可知，縱橫面m-n

16、上的剪應(yīng)力在數(shù)值上也等于。因此，當(dāng)剪應(yīng)力確定后，也隨之確定。如圖11.12(a)所示，由于存在剪力FQ，截面1-1與2-2的彎矩將不相同，分別為M和M+dM ,因此，上述兩截面的彎曲正應(yīng)力也不相同。設(shè)微段下部橫截面m1與n2的面積為,在該兩截面上由彎曲正應(yīng)力所構(gòu)成的軸向合力分別為N1與N2，則由微段下部的軸向平衡方程x=0可知，由此得 (a)由圖11-12(c)可知 式中，積分代表截面對(duì)z軸的靜矩，并用Sz*表示，因此有 (b) (c)將式(b)和式(c)代入式(a)，于是得 （11.8）式中：Iz代表整個(gè)橫截面對(duì)中性軸矩z的慣性距；而Sz*則代表y處橫線一側(cè)的部分截面對(duì)z軸的靜距。對(duì)于矩形截

17、面，如圖11.13所示，其值為將上式及Iz=bh3/12代入式(11.8)得 （11.9）由此可見(jiàn)：矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布(圖11.13)；在截面的上、下邊緣()，剪應(yīng)力=0；在中性軸(y=0),剪應(yīng)力最大，其值為 （11.10）11.3.2 工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力工字形截面梁由腹板和翼緣組成。其橫截面如圖11.14所示。中間狹長(zhǎng)部分為腹板，上、下扁平部分為翼緣。梁橫截面上的剪應(yīng)力主要分布于腹板上，翼緣部分的剪應(yīng)力情況比較復(fù)雜，數(shù)值很小，可以不予考慮。由于腹板比較狹長(zhǎng)，因此可以假設(shè)：腹板上各點(diǎn)處的彎曲剪應(yīng)力平行于腹板側(cè)邊，并沿腹板厚度均勻分布。腹板的剪應(yīng)力平行于腹板的豎

18、邊，且沿寬度方向均勻分布。根據(jù)上述假設(shè)，并采用前述矩形截面梁的分析方法，得腹板上y處的彎曲剪應(yīng)力為：式中，Iz為整個(gè)工字形截面對(duì)中性軸z的慣性矩，Sz*為y處橫線一側(cè)的部分截面對(duì)該軸的靜矩，b為腹板的厚度。由圖11.14(a)可以看出，y處橫線以下的截面是由下翼緣部分與部分腹板的組成，該截面對(duì)中性軸z的靜矩為因此，腹板上y處的彎曲剪應(yīng)力為 （11.11）由此可見(jiàn)：腹板上的彎曲剪應(yīng)力沿腹板高度方向也是呈二次拋物線分布，如圖11.14(b)所示。在中性軸處(y=0)，剪應(yīng)力最大，在腹板與翼緣的交接處(y=±h/2)，剪應(yīng)力最小，其值分別為或 （11.12） （11.13）從以上兩式可見(jiàn)，

19、當(dāng)腹板的寬度b遠(yuǎn)小于翼緣的寬度B，max與min實(shí)際上相差不大，所以可以認(rèn)為在腹板直剪應(yīng)力大致是均勻分布的?？捎酶拱宓慕孛婷娣e除剪力FQ，近似地得表示腹板的剪應(yīng)力，即 （11.14）在工字形截面梁的腹板與翼緣的交接處，剪應(yīng)力分布比較復(fù)雜，而且存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，為了減小應(yīng)力集中，宜將結(jié)合處作成圓角。11.3.3 圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力對(duì)于圓截面梁，在矩形截面中對(duì)剪應(yīng)力方向所作的假設(shè)不再適用。由剪應(yīng)力互等定理可知，在截面邊緣上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方向必與圓周相切，因此，在水平弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)上的剪應(yīng)力的作用線相交于y軸上的某點(diǎn)p，如圖11.15(a)。由于對(duì)稱，AB中點(diǎn)C的剪應(yīng)力必定是垂直的，因而也通過(guò)p

20、點(diǎn)。由此可以假設(shè)，AB弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的作用線都通過(guò)p點(diǎn)。如再假設(shè)AB弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的垂直分量y是相等的，于是對(duì)y來(lái)說(shuō)，就與對(duì)矩形截面所作的假設(shè)完全相同，所以，可用公式來(lái)計(jì)算，即 （11.15）式中，b為AB弦的長(zhǎng)度，Sz*是圖11.15(b)中陰影部分的面積對(duì)z軸的靜矩。在中性軸上，剪應(yīng)力為最大值max。其值為 （11.16）式中，F(xiàn)Q/A是梁橫截面上平均剪應(yīng)力。 例11.3 梁截面如圖11.16(a)所示，橫截面上剪力FQ=15KN。試計(jì)算該截面的最大彎曲剪應(yīng)力，以及腹板與翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力。截面的慣性矩Iz=8.84×106m4。解（1）最大彎曲剪應(yīng)力。最大彎曲剪應(yīng)力發(fā)生在中

21、性軸上。中性軸一側(cè)的部分截面對(duì)中性軸的靜矩為所以，最大彎曲剪應(yīng)力為（2）腹板、翼緣交接處的彎曲剪應(yīng)力。由圖11.16(b)可知，腹板、翼緣交接線一側(cè)的部發(fā)截面對(duì)中性軸z的靜矩為所以，該交接處的彎曲剪應(yīng)力為11.4 梁的強(qiáng)度條件在一般情況下，梁內(nèi)同時(shí)存在彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力，為了保證梁的安全工作，梁最大應(yīng)力不能超出一定的限度，也即，梁必須要同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。以下將據(jù)此建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。11.4.1 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，而該處的剪應(yīng)力一般為零或很小，因而最大彎曲正應(yīng)力作用點(diǎn)可看成是處于單向受力狀態(tài)，所以，彎曲

22、正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 （11.16）即要求梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力max不超過(guò)材料在單向受力時(shí)的許用應(yīng)力。對(duì)于等截面直梁，上式變?yōu)?（11.17）利用上述強(qiáng)度條件，可以對(duì)梁進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度校核、截面選擇和確定容許荷載。11.4.2 彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件最大彎曲剪應(yīng)力通常發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處，而該處的彎曲正應(yīng)力為零，因此，最大彎曲剪應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)，相應(yīng)的強(qiáng)度條件為 （11.18）即要求梁內(nèi)的最大彎曲剪應(yīng)力max不超過(guò)材料在純剪切時(shí)的許用剪應(yīng)力。對(duì)于等截面直梁，上式變?yōu)?(11.19)在一般細(xì)長(zhǎng)的非薄壁截面梁中，最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大彎曲剪應(yīng)力。因此，對(duì)于一般細(xì)長(zhǎng)的非薄壁截面梁，通常強(qiáng)度的計(jì)算由正

23、應(yīng)力強(qiáng)度條件控制。因此，在選擇梁的截面時(shí)，一般都是按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇，選好截面后再按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。但是，對(duì)于薄壁截面梁與彎矩較小而剪力卻較大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷載作用在支座附近的梁等，則不僅應(yīng)考慮彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，而且彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件也可能起控制作用。例11.4 圖11.17(a)所示外伸梁，用鑄鐵制成，橫截面為T(mén)字形，并承受均布荷載q作用。試校該梁的強(qiáng)度。已知荷載集度q=25N/mm，截面形心離底邊與頂邊的距離分別為y1=95mm和y2=95mm，慣性矩Iz=8.84×10-6m4，許用拉應(yīng)力t=35MPa，許用壓應(yīng)力c=140Mpa。解（1）危險(xiǎn)截面與危

24、險(xiǎn)點(diǎn)判斷。梁的彎矩如圖11.17(b)所示，在橫截面D與B上，分別作用有最大正彎矩與最大負(fù)彎矩，因此，該二截面均為危險(xiǎn)截面。截面D與B的彎曲正應(yīng)力分布分別如圖11.17(c)與(d)所示。截面D的a點(diǎn)與截面B的d點(diǎn)處均受壓；而截面D的b點(diǎn)與截面B的c點(diǎn)處均受拉。由于|MD|>|MB|，|ya|>|yd|,|因此|a|>|d|即梁內(nèi)的最在彎曲壓應(yīng)力c,max發(fā)生在截面D的a點(diǎn)處。至于最大彎曲拉應(yīng)力t,max, 究竟發(fā)生在b點(diǎn)處，還是c點(diǎn)處，則須經(jīng)計(jì)算后才能確定。概言之，a,b,c三點(diǎn)處為可能最先發(fā)生破壞的部位。簡(jiǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。（2）強(qiáng)度校核。由式(11.2 )得a,b,c三點(diǎn)處的

25、彎曲正應(yīng)力分別為由此得可見(jiàn)，梁的彎曲強(qiáng)度符合要求。例11.5 懸臂工字鋼梁AB圖11.18(a)，長(zhǎng)l=1.2m，在自由端有一集中荷載F，工字鋼的型號(hào)為18號(hào)，已知鋼的許用應(yīng)力=170Mpa，略去梁的自重，(1)試計(jì)算集中荷載F的最大許可值。(2)若集中荷載為45 kN，拭確定工字鋼的型號(hào)。解（1）梁的彎矩圖如圖1118(c)所示，最大彎矩在靠近固定端處，其絕對(duì)值為Mmax=Fl=1.2F N·m由附錄中查得，18號(hào)工字鋼的抗彎截面模量為Wz=185×103mm3由公式(11.16)得1.2F(15×10-6)(170×106)因此，可知F的最大許可值為

26、103N=26.2kN(2)最大彎矩值Mmax=Fl=1.2×45×103N·m=54×103N·m按強(qiáng)度條件計(jì)算所需抗彎截面系數(shù)為查附錄可知，22b號(hào)工字鋼的抗彎截面模量為325cm3 ，所以可選用22b號(hào)工字鋼。例11.6 例11.5中的18號(hào)工字鋼懸臂梁，按正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算，在自由端可承受的集中荷載F=26.2KN。已知鋼材的抗剪許用應(yīng)力=100Mpa。試按剪應(yīng)力校核梁的強(qiáng)度，繪出沿著工字鋼腹板高度的剪應(yīng)力分布圖，并計(jì)算腹板所擔(dān)負(fù)的剪力FQ1。解（1）按剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核。截面上的剪力FQ =26.2kN。由附錄查得18號(hào)工字鋼截面的幾個(gè)主

27、要尺寸如圖11.19(a)所示，又由表查得Iz=1660×104mm4,由公式(517),得腹板上的最大剪應(yīng)力可見(jiàn)工字鋼的剪應(yīng)力強(qiáng)度是足夠的。（2）沿腹板高度剪應(yīng)力的計(jì)算。將工字鋼截面簡(jiǎn)化如圖11.19(b)所示，圖中h1=1802×10.7=158.6(mm)b1=d=6.5mm由公式(11.14)得腹板上最大剪應(yīng)力的近似值為這個(gè)近似值與上面所得26.2Mpa比較，略偏小，誤差為3.9%。腹板上的最小剪應(yīng)力在腹板與翼緣的連接處，翼緣面積對(duì)中性軸的靜矩為由公式(11.8)得腹板上的最小剪應(yīng)力為得出了max和min值可作出沿著腹板高度的剪應(yīng)力分布圖如圖11.19(c)所示。（

28、3）腹板所擔(dān)負(fù)剪力的計(jì)算。腹板所擔(dān)負(fù)的剪力FQ1等于圖11.19(c)所示剪力分布圖的面積A1乘以腹板厚度b1。剪力分布圖面積可以用圖11.19(c)中虛線將面積分為矩形和拋物線弓形兩部分，得由此得可見(jiàn)，腹板所擔(dān)歲的剪力占整個(gè)截面剪力FQ的96.6%。11.5 提高梁強(qiáng)度的措施前面已指出，在橫力彎曲中，控制梁強(qiáng)度的主要因素是梁的最大正應(yīng)力，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件 為設(shè)計(jì)梁的主要依據(jù)，由這個(gè)條件可看出，對(duì)于一定長(zhǎng)度的梁，在承受一定荷載的情況下，應(yīng)設(shè)法適當(dāng)?shù)匕才帕核艿牧Γ沽鹤畲蟮膹澗亟^對(duì)值降低，同時(shí)選用合理的截面形狀和尺寸，使抗彎截面模量W值增大，以達(dá)到設(shè)計(jì)出的梁滿足節(jié)約材料和安全適用的要求。關(guān)于

29、提高梁的抗彎強(qiáng)度問(wèn)題，分別作以下幾方面討論。11.5.1 合理安排梁的受力情況在工程實(shí)際容許的情況下，提高梁強(qiáng)度的一重要措施是合理安排梁的支座和加荷方式。例如，圖11.20(a)所示簡(jiǎn)以梁，承受均布載荷q作用，如果將梁兩端的鉸支座各向內(nèi)移動(dòng)少許，例如移動(dòng)0.2l，如圖11.20(b)，則后者的最大彎矩僅為前者的1/5。又如，圖11.21(a)所示簡(jiǎn)支梁AB，在跨度中點(diǎn)承受集中荷載P作用，如果在梁的中部設(shè)置一長(zhǎng)為1/2的輔助梁CD 如圖11.21(b)，這時(shí)，梁AB內(nèi)的最大彎矩將減小一半。上述實(shí)例說(shuō)明，合理安排支座和加載方式，將顯著減小梁內(nèi)的最大彎矩。11.5.2選用合理的截面形狀從彎曲強(qiáng)度考慮

30、，比較合理的截面形狀，是使用較小的截面面積，卻能獲得較大抗彎截面系數(shù)的截面。截面形狀和放置位置不同Wz/A比值不同，因此，可用比值Wz/A來(lái)衡量截面的合理性和經(jīng)濟(jì)性，比值愈大，所采用的截面就愈經(jīng)濟(jì)合理。現(xiàn)將跨中受集中力作用的簡(jiǎn)支梁為例，其截面形狀分別為圓形、矩形和工字形三種情況作一粗略比較。設(shè)三種梁的面積、跨度和材料都相同，容許正應(yīng)力為170MPa。其抗彎截面系數(shù)Wz和最大承載力比較見(jiàn)表11.1。表11.1 幾種常見(jiàn)截面形狀的Wz和最大承載力比較截面形狀尺寸Wz最大承載力圓形.矩形.工字鋼.×從表中可以看出，矩形截面比圓形截面好，工字形截面比矩形截面好得多。從正應(yīng)力分布規(guī)律分析，正應(yīng)

31、力沿截面高度線性分布，當(dāng)離中性軸最遠(yuǎn)各點(diǎn)處的正應(yīng)力，達(dá)到許用應(yīng)力值時(shí)，中性軸附近各點(diǎn)處的正應(yīng)力仍很小。因此，在離中性軸較遠(yuǎn)的位置，配置較多的材料，將提高材料的應(yīng)用率。根據(jù)上述原則，對(duì)于抗拉與抗壓強(qiáng)度相同的塑性材料梁，宜采用對(duì)中性軸對(duì)稱的截面，如工字形截面等。而對(duì)于抗拉強(qiáng)度低于抗壓強(qiáng)度的脆性材料梁，則最好采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面，便如T字形和槽形截面等。 采用變截面梁一般情況下，梁內(nèi)不同橫截面的彎矩不同。因此，在按最大彎矩所設(shè)計(jì)的等截面梁中，除最大彎矩所在截面外，其余截面的材料強(qiáng)度均未得到充分利用。因此，在工程實(shí)際中，常根據(jù)彎矩沿梁軸線的變化情況，將梁也相應(yīng)設(shè)計(jì)成變截面的。橫截面沿梁軸線變化

32、的梁，稱為變截面梁。如圖.22（）(b)所示上下加焊蓋板的板梁和懸挑梁，就是根據(jù)各截面上彎矩的不同而采用的變截面梁。如果將變截面梁設(shè)計(jì)為使每個(gè)橫截面上最大正應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力值，這種梁稱為等強(qiáng)度梁。顯然，這種梁的材料消耗最少、重量最輕，是最合理的。但實(shí)際上，由于自加工制造等因素，一般只能近似地做到等強(qiáng)度的要求。圖.22（）（d）所示的車輛上常用的疊板彈簧、魚(yú)腹梁就是很接近等強(qiáng)度要求的形式。本章小結(jié)1、梁平面彎曲時(shí)，橫截面上一般有兩種內(nèi)力剪力和彎矩 。與此相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力也有兩種剪應(yīng)力和正應(yīng)力。剪應(yīng)力與截面相切，而正應(yīng)力與截面垂直。2、梁平面彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式為：正應(yīng)力在橫截面上沿高度成線性分布，在中性軸處正應(yīng)力為零，截面上下邊緣處正應(yīng)力最大。3、梁平面彎曲時(shí)剪應(yīng)力計(jì)算公式為：這個(gè)公式是由矩形截面梁推出的，但也可推廣應(yīng)用于關(guān)于梁縱向?qū)ΨQ面對(duì)稱的其它截面形式。如工字形、T形截面梁等。對(duì)不同截面梁計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意代入相應(yīng)的和。剪應(yīng)力沿截