極坐標(biāo)、參數(shù)方程

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系和參數(shù)方程高考以選擇、填空、計算題的形式出現(xiàn)，主要以計算題為主。選擇、填空一般是5分。計算題是在高考題最后三選一的第2題，分值為10分。極坐標(biāo)以選擇填空為主，難度不大，參數(shù)方程以解答題為主，10分左右。1 、極坐標(biāo)知識及應(yīng)用2課時2 、參數(shù)方程知識及應(yīng)用2課時3 、坐標(biāo)系及參數(shù)方程綜合應(yīng)用4課時大綱要求：1、理解坐標(biāo)系的作用2、了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。3、能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化。4、能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形（如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）

2、的方程。通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義。5、了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的方法相比較，了解它們的區(qū)別。6、了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義。7、能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程。8、了解平擺線、漸開線的生成過程、并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程。9、了解其他擺線的生成過程，了解擺線在實際中的應(yīng)用，了解擺線在表示行星運(yùn)動軌道中的作用。命題規(guī)律:1、?？純?nèi)容：(1)根據(jù)問題的幾何特征選擇坐標(biāo)系，平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，極坐標(biāo)系、直線、和圓的極坐標(biāo)方程。(2)根據(jù)問題的條件

3、引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程。2、常見題型：主要以填空題和解答題為主，難度中等。命題趨勢：1、熱點(diǎn)預(yù)測：預(yù)測本專題內(nèi)容任然是2014年高考的熱點(diǎn)。極坐標(biāo)以選擇填空為主，參數(shù)方程以解答為主。2、趨勢分析：預(yù)測2014年高考對本專題考查保持平穩(wěn)，內(nèi)容仍以極坐標(biāo)參數(shù)方程化為普通方程為主，注重基本運(yùn)算及極坐標(biāo)參數(shù)方程的應(yīng)用。知識點(diǎn)：一、坐標(biāo)系1 .平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換xx(小0)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換甲乂t()的作用yy(0)下，點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)到點(diǎn)P'(x：y),稱呼為平面直角坐標(biāo)系

4、中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換.2 .極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)o ,叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)。引一條射線Ox,叫做極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系注：極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.（2）極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為P；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角/xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為e.有序數(shù)對（

5、p,8）叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作m（p,e）.一般地，不作特殊說明時，我們認(rèn)為P之0,日可取任意實數(shù).特別地,當(dāng)點(diǎn)m在極點(diǎn)時,它的極坐標(biāo)為（0,e）（eeR）.和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定P>0,0<2n,那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)（P,8）表示;同時，極坐標(biāo)（P,6）表示的點(diǎn)也是唯一確定的.3 .極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化（1）互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，如圖所示：（2）互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是（x,y）,極坐標(biāo)是（P,8）（P>0）,于是極坐標(biāo)

6、與直角坐標(biāo)的互化公式如表點(diǎn)M直角坐標(biāo)（x,y）極坐標(biāo)（p,e）互化公式x=PcosB'y=PsinQP2=x2十y2tanQ=(x手0)x在一般，f#況下，由tan日確定角時，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限最小正角4.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓Qt/-；P=r(0<0<2jt)圓心為（r,0）,半徑為r的圓AJTJTP=2rcos8(<9<)22圓心為仁上）,半2徑為r的圓Go工P2rsin日(0WH<n)過極點(diǎn)，傾斜角為a的直線&.X1)0=a(PwR)或8=n+c(PwR)2)日=a(P殳0)和日=n+ct(P之0)過

7、點(diǎn)（a,0），與極軸垂直的直線1(u.O)-rPcos8=a(<9<)22過點(diǎn)（a,t）,與極2軸平行的直線-i4O9,y)XPsin6=a(0<8<n)注：由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，即(P,e),(P,2n+0),(-P,n+0),(-P,-n+日),都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對于極坐標(biāo)方程P=8,點(diǎn)M(土,工)可以表示為4 4二二一：二5二(一,一+2兀)或(一,2n)或(-一,)等多種形式，其中，只有(一,一)的極坐標(biāo)滿足方44444444程

8、"二、參數(shù)方程1 .參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)xf(t)x()，并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上y=g(t)那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2 .參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)x,y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求xf(t)出另一個變數(shù)

9、與參數(shù)的關(guān)系y=g(t),那么!()就是曲線的參數(shù)方程，在參數(shù)方程與y=g(t)普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3 .圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓。的半徑為r,點(diǎn)M從初始位置M0出發(fā)，按逆時針方向在圓O上作x=rcos1勻速圓周運(yùn)動，設(shè)M(x,y),則(6為參數(shù))。ytrsini這就是圓心在原點(diǎn)O,半徑為r的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是OM0轉(zhuǎn)過的角度。圓心為（a,b）,半徑為r的圓的普通方程是（xa）2+（yb）2=r2,

10、x=arcosi，/一它的參數(shù)方程為：（日為參數(shù)）。y=brsin14 .橢圓的參數(shù)方程22以坐標(biāo)原點(diǎn)O為中心，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+與=1（aab>0）,其參abix=acos數(shù)方程為xw為參數(shù)），其中參數(shù)中稱為離心角；焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方y(tǒng)二bsin22x=bcos程是yy+4=1（aAbA0）,其參數(shù)方程為（中為參數(shù)），其中參數(shù)邛仍為離心aby=asin：角，通常規(guī)定參數(shù)中的范圍為中C0,2n）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)邛的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角a區(qū)分開來，除了在四個頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在0到2兀冗的范圍內(nèi)），

11、在其他任何一點(diǎn)，兩個角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)0Eo（E一時，相應(yīng)地也有2/冗0<<-,在其他象限內(nèi)類似。25 .雙曲線的參數(shù)方程22以坐標(biāo)原點(diǎn)O為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為"4=1（a>0,bA0）,abx=asec；：3：其參數(shù)方程為x（中為參數(shù)），其中中正0,2立）且中#W#3-y=btan2222焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是-y2-x2-=l（a>0,b>0）,其參數(shù)方程為abx=bcotrbm（中為參數(shù)，其中甲W（0,2n）eM甲/n.y=acsc以上參數(shù)邛都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6 .拋物線的參數(shù)方程12以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)開口

12、向右的拋物線y2=2Px（p>0）的參數(shù)方程為x =2pt2 y = 2pt（t為參數(shù)）.7 .直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)M0（X0,y0）,傾斜角為a（a#土）的直線l的普通方程是y-y0=tana（x-X0）,2一，x=X0+tcosot而過M0（x0,yO）,傾斜角為a的直線l的參數(shù)方程為0（t為參數(shù)）。y=y°tsin;注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點(diǎn)M0（x0,y0）,傾斜角為a的直線l的參數(shù)、x=x0tcos.s.,萬程為0（t為參數(shù)），其中t表示直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)y=y0tsin工M（x,y）為終點(diǎn)的有向線段M°M的數(shù)量，當(dāng)點(diǎn)M在M。上方

13、時，t>0；當(dāng)點(diǎn)M在M。下方時，t<0;當(dāng)點(diǎn)M與M。重合時，t=0。我們也可以把參數(shù)t理解為以M。為原點(diǎn)，直線l向上的方向為正方向的數(shù)軸上的點(diǎn)M的坐標(biāo)，其單位長度與原直角坐標(biāo)系中的單位長度相同。高考題型示例及解答:1.12012高考真題新課標(biāo)理23】本小題滿分10分）選彳44;坐標(biāo)系與參數(shù)方程x=2cos*已知曲線C1的參數(shù)方程是）（中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸y=3sin為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C2的坐標(biāo)系方程是P=2,正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，n且A,B,C,D依逆時針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2,）3（1）求點(diǎn)A,B,C,D的直角坐標(biāo)；設(shè)p為Ci上任意一點(diǎn)，

14、求|pa|2+|pb|2+|pc|2+|pd|2的取值范圍【答案】點(diǎn)4Asl的極坐標(biāo)為仁今當(dāng)值當(dāng)C當(dāng)）36j6點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為二4L一、1?。何?。1%=2e5科<2）設(shè)網(wǎng)項J。則；,單為參數(shù)）：嶺二有口舉r=|Adtp+|PJ|If|TC|3-fr|j®P=4x?+Va+«=5620sin*56z_6（Lfxlby）2.12012高考真題陜西理15】（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）直線2Pcos8=1與圓P=2cos日相交的弦長為【答案】0【解析】直線2pcos&=1與圓pcos8的普通方程為2.Y-1和口-19圓心到直線的距離為1三二!，所以弦長為ij：（3=0.x=

15、t1.3.12012局考真題湖南理9】在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：,（t為參數(shù)）y=1-2tx=asin與曲線C2:x,（日為參數(shù)，a>0）有一個公共點(diǎn)在X軸上，則a=_.y=3cos1【答案】:一YZ+13【解析】曲線U：,直魚坐標(biāo)方程為1二3一工一馬慧軸交點(diǎn)為Q.。）；）二1一%2t=£?sin8f1-*曲線C；/:直焦坐標(biāo)方程為+=1,其與.v軸交點(diǎn)為（-髭0）,（60）.1=jcospq*9由。>0.曲線C與曲線U有一個公共點(diǎn)在X軸上，知口二.L*74.12012高考真題上海理10】如圖，在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)M（2,0）的直線l與極軸的夾角若將l的極坐標(biāo)方程

16、寫成P=f（日）的形式，則f（日）=【答案】a=【解析】設(shè)直線上的任一點(diǎn)為P3：可，因為二R*=二，所以r-疆r2sin即一=,即二一=-5in(工一一)sin(S')sin(&)sin(-c-j6666C的直角坐標(biāo)方程為5.12012高考真題江西理15（1）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）曲線x2+y2-2x=0,以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立積坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為【解析】因為Y+j=r所以代入直角坐標(biāo)方程整理得口二-二夕=0,所以0一二二8營二0，即極坐標(biāo)方程為Q=【答案】/?=2cos56.12012高考真題湖北理16（選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系

17、xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知射線兀fx=t+1,日=一與曲線彳2（t為參數(shù)）4y=（t-1）2相交于A,B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為一»【答案】尸弓二,.fKf-1【解析】3=士在直角坐標(biāo)系下的一般方程為l=«工已J?）,將參數(shù)方程一一（為4y=（r-l?參數(shù)）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程為j=5-1）：=0-1-1）；="-萬表示一條拋物線，聯(lián)立上面兩個方程消去工有/-工丫-4=0,設(shè)一九5兩點(diǎn)及其中點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)分V.+te弋別為匯，則有韋達(dá)定理r二3二二，又由于點(diǎn)P點(diǎn)在直線V二上，因此的中點(diǎn)產(chǎn)二二）TT7.12012高

18、考真題安徽理13】在極坐標(biāo)系中，圓P=4sin6的圓心到直線9=L（Pwr）的6距離是【答案】有【解析】mp=44口9=4的圓心C；,直線2g二二仍三為一廠后-th點(diǎn)c到直癡的距離是二862228.12012高考真題天津理12】已知拋物線的參數(shù)方程為X=Pt,（t為參數(shù)）,其中p>0,J=2pt焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1.過拋物線上一點(diǎn)M作l的垂線，垂足為E.若|EF|=|MF|,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3,貝Up=.【答案】2【解析】消去參數(shù)t得拋物線方程為y2=2px,準(zhǔn)線方程為x=-2，因M為拋物線上一2點(diǎn)，所以有|mf|=|me|,又|mf|ef|,所以三角形MEF為等邊三角形，則EF|=MF=2p=3（R）=3+2，解得p=2。