章圓柱坐標(biāo)系下的分離變量法071228

1、5圓柱坐標(biāo)系下的分離變量法51極坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程考慮半徑為的一個(gè)薄圓盤(pán)，已知圓盤(pán)內(nèi)部無(wú)熱源，邊界溫度給定，且溫度分布隨時(shí)間演化已趨于穩(wěn)定，試求此時(shí)的溫度分布。上述定解問(wèn)題可表述為 （5.1.1a） (b)其中，表示圓盤(pán)的邊界，即，表示圍成的內(nèi)域。對(duì)于二維平面場(chǎng)問(wèn)題，即物理量的空間分布與無(wú)關(guān)，當(dāng)物體邊界為矩形時(shí)，采用直角坐標(biāo)系比較方便。因?yàn)檫吔绶匠炭煞奖愕赜弥苯亲鴺?biāo)表示出來(lái)，如，但當(dāng)物體邊界為圓形時(shí)采用極坐標(biāo)系可大為簡(jiǎn)化邊界方程，從而給問(wèn)題的求解帶來(lái)方便。而在極坐標(biāo)系下，拉普拉斯方程表示為 （）從而（）定解問(wèn)題可改寫(xiě)成 (5.1.3a) (b)注意到定解問(wèn)題（）中的邊界條件屬于第類，通常稱

2、之為狄里克萊問(wèn)題，也稱第邊值問(wèn)題。若（）中的邊界條件是第類的，則稱相應(yīng)的定解問(wèn)題為牛曼問(wèn)題，也稱第邊值條件。若（）中的邊界條件是第類的，則稱相應(yīng)的定解問(wèn)題為羅賓問(wèn)題。此外，本題研究?jī)?nèi)域中的溫度，通常稱為內(nèi)問(wèn)題。實(shí)際應(yīng)用中，可能遇到求圓形孔洞外圍的溫度場(chǎng)或電勢(shì)場(chǎng)分布問(wèn)題，通常稱為外問(wèn)題。現(xiàn)在回到求解形如（）的定解問(wèn)題上來(lái)。我們沿用在直角坐標(biāo)系下求解偏微分方程定解問(wèn)題的思想，設(shè) （）代入（）得兩邊同除以（為非零解）得由于等式左邊是關(guān)于的函數(shù)，右邊是關(guān)于的函數(shù)，從而只能有 左邊=右邊=常數(shù)設(shè)這個(gè)常數(shù)為，則得到兩個(gè)常微分方程 （）和 （5.1.6a）或者 （b）如同在直角坐標(biāo)系下求解偏微分方程定解問(wèn)題

3、一樣，我們將首先構(gòu)造與定解問(wèn)題相應(yīng)的特征值問(wèn)題，通過(guò)求解特征值問(wèn)題得到平方可積函數(shù)空間中的一組完備正交函數(shù)系，再將解按完備正交函數(shù)系展開(kāi)，最終得到級(jí)數(shù)形式的解表達(dá)式。為此，首先考慮方程（b）附加特定邊界條件構(gòu)成特征值問(wèn)題的可能性。方程（b）為2階歐拉方程，定解條件需要2個(gè)，但(5.1.3)中僅提供1個(gè)?？紤]到溫度在內(nèi)處應(yīng)為有限值，補(bǔ)充定解條件如下 ()從而可分離出 ()但從處的邊界條件中無(wú)法分離出關(guān)于的邊界條件。從而無(wú)法由方程（b）構(gòu)造特征值問(wèn)題?，F(xiàn)在轉(zhuǎn)而考慮由方程（）構(gòu)造特征值問(wèn)題。方程（）是2階常微分方程，其定解問(wèn)題也需要2個(gè)，但（5.1.3）中并沒(méi)有提供關(guān)于的任何信息，但深入考慮本問(wèn)題的

4、特點(diǎn)后，應(yīng)該有 （5.1.9a）（b）因?yàn)楹捅硎就稽c(diǎn)。形如（）的條件稱為周期性條件。有界性條件（5.1.7）和周期性條件（）在原定解問(wèn)題（5.1.3）中都沒(méi)有被明確提出。但原定解問(wèn)題（5.1.3）是關(guān)于和的2階偏微分方程定解問(wèn)題，其定解條件應(yīng)該有4個(gè)。除處的邊界條件外，還應(yīng)該有3個(gè)定解條件。有界性條件（5.1.7）和周期性條件（）正好是在原定解問(wèn)題中沒(méi)有被明確提出的3個(gè)定解條件，他們或者由問(wèn)題的物理性質(zhì)決定，或者由區(qū)域的幾何性質(zhì)決定。像這樣由問(wèn)題的物理性質(zhì)決定，或者由區(qū)域的幾何性質(zhì)決定，而無(wú)需在定解問(wèn)題中明確提出的邊界條件，通常稱為自然邊界條件。自然邊界條件是隱含在定解問(wèn)題本身之中的邊界條件

5、。由周期性條件（）可進(jìn)一步分離出 (5.1.10a) (b)它們與方程()一起構(gòu)成特征值問(wèn)題。方程()的通解為 () 注意到()中的周期為，故即特征值 ()相應(yīng)的非平凡解為 ()由于和是線性無(wú)關(guān)的，所以特征值是2重簡(jiǎn)并的（除外），即每一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征函數(shù)和。所有正交函數(shù)組成函數(shù)空間完備正交函數(shù)系?，F(xiàn)在將代入（b），求解歐拉方程（）（1） 當(dāng)時(shí)， （）（2）當(dāng)時(shí)， 令 則原歐拉方程（）化成從而 （）綜合式（）和（5.1.17）得歐拉方程（5.1.15）通解 （）將和代入（）得（）由于給定方程（）是線性齊次方程，滿足疊加原理，故定解問(wèn)題的解可表示為 （）其中，待定系數(shù),，由邊界條

6、件確定。由處的有界性條件知 （）（）再由處的邊界條件知 （）上式可看成是關(guān)于完備正交函數(shù)系的廣義傅立葉展開(kāi)式從而對(duì)于溫度場(chǎng)分布的狄里克萊外問(wèn)題 （5.1.24a） (b)其求解過(guò)程與狄里克萊內(nèi)問(wèn)題類似。首先補(bǔ)充自然邊界條件1） 同期性條件(5.1.25a)(b)2） 有界性條件，對(duì)于外問(wèn)題，除邊界外，另一邊界是。一般應(yīng)根據(jù)具體物理問(wèn)題，對(duì)物理量在處提出適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，對(duì)于恒定溫度分布問(wèn)題。由于溫度不可能無(wú)限升高，故可提有界性條件如下， （）其次求解特征值問(wèn)題 （）得特征值和特征函數(shù)再次，求解歐拉方程 （）得然后，利用線性疊加原理得到定解問(wèn)題的級(jí)數(shù)形式解最后，利用邊界條件確定待定系數(shù),，。由處的

7、邊界條件（）知由處的邊界條件知 對(duì)于狄里克萊問(wèn)題，不論是內(nèi)問(wèn)題還是外問(wèn)題，在有界性條件，即或限制下，定解問(wèn)題的解總是存在的，且是唯一的。但對(duì)于牛曼問(wèn)題，解不一定存在，即使存在也不唯一。下面不加證明地給出牛曼問(wèn)題的存在唯一性定理定理 對(duì)于牛曼問(wèn)題，設(shè)則有1） 解存在的充分必要條件是2） 解在相差一個(gè)任意常數(shù)條件下可認(rèn)為是唯一的。對(duì)于穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)問(wèn)題，解存在的充分必要條件表示：只有當(dāng)從邊界流入的凈熱量為零時(shí)，所研究的區(qū)域內(nèi)才能存在穩(wěn)定的溫度場(chǎng)。這個(gè)條件是顯然的，試想如果有熱量不斷從邊界流入或流出，則所研究的區(qū)域內(nèi)的溫度場(chǎng)不可能是恒定的。此外，當(dāng)從邊界流入的凈熱量為零時(shí)，溫度場(chǎng)演化終了的溫度還與演化初

8、始條件有關(guān)，因而溫度場(chǎng)可以相差一個(gè)任意常熟。5.2 柱坐標(biāo)系下的亥姆霍斯方程在圓柱坐標(biāo)系下 ()從而亥姆霍斯方程 ()可表示成 ()下面討論亥姆霍斯方程的求解，為此，設(shè) ()代入（）得 ()由于所求解為非平凡解，故可在方程兩邊同除以得(5.2.6)等式左邊第1項(xiàng)和第2項(xiàng)為關(guān)于和的函數(shù)，第3項(xiàng)為關(guān)于的函數(shù)，它們之和要等于常數(shù)，第三項(xiàng)必為常數(shù)。因此，可設(shè) ()即 ()將（）代入（5.2.6）得（）兩邊同乘以得（）上式第一項(xiàng)與第三項(xiàng)之和為關(guān)于的函數(shù)，第二項(xiàng)為關(guān)于的函數(shù)，它們之和為常數(shù)，第二項(xiàng)必為常數(shù)。從而可設(shè)（）即（）將（）代入（5.2.10）得即（）綜合上述分離變量的結(jié)果得到三個(gè)分別關(guān)于，和的常微

9、分方程（5.2.14a）（b）（5.2.14c）（5.2.14a）和（5.2.14b）是我們比較熟悉的亥姆霍斯方程。方程（5.2.14c）稱為m階貝塞爾（Bessel）方程，它是一個(gè)二階變系數(shù)常微分方程。作變量代換（5.2.15a）（b）則貝塞爾方程可改寫(xiě)成如下幾種常用形式（5.2.16a）（b）（5.2.16c）（d）類似上述關(guān)于亥姆霍斯方程的變量分離過(guò)程，我們可以對(duì)拉普拉斯方程（）進(jìn)行變量分離，即設(shè)，分離變量后得到（5.2.18a）（b）（5.2.18c）注意到在本題中（5.2.14c）中的（因?yàn)閷?duì)于拉普拉斯方程）。稱（5.2.18c）為虛變量的貝塞爾方程。作變量代換（5.2.19a）（b

10、）則虛變量的貝塞爾方程可改寫(xiě)成（）5.3貝塞爾方程的求解考慮如下形式的貝塞爾方程（）方程（）是變系數(shù)的二階常微分方程，一般應(yīng)考慮用級(jí)數(shù)解法。由于分別是的一階極點(diǎn)，是的二階極點(diǎn)。故解在的鄰域內(nèi)應(yīng)為關(guān)于的羅朗級(jí)數(shù)，即（）將（）代入（5.3.1）得化簡(jiǎn)后得（）比較上式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)1），的系數(shù)為因?yàn)?，故只能（）從而可解的（）稱（）為指標(biāo)方程。一般地，由（5.3.2）可得到兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解和從而得方程的通解（）一般地，對(duì)2階變系數(shù)微分方程，若從指標(biāo)方程可得2個(gè)解，就稱奇點(diǎn)是方程的正則奇點(diǎn)。對(duì)于貝塞爾方程，顯見(jiàn)是正則奇點(diǎn)。2)，的系數(shù)為（）因?yàn)椋?，只?），的系數(shù)為由此，可得系數(shù)的遞推關(guān)系式（）當(dāng)為

11、奇數(shù)時(shí)，由于，可得當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所有的都依賴于。為使的表達(dá)式盡量簡(jiǎn)單，通常?。ǎ┊?dāng)分別取和時(shí)，得到方程的兩個(gè)解（）（）稱為階第一類貝塞爾函數(shù)；為階的第一類貝塞爾函數(shù)。當(dāng)（整數(shù)）時(shí)，和是線性無(wú)關(guān)的。因?yàn)槿绻途€性相關(guān)，則對(duì)任一點(diǎn)x，它們應(yīng)該有相似的漸進(jìn)性質(zhì)，但當(dāng)時(shí)，從級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)看因此，和不是線性相關(guān)的。當(dāng)（整數(shù)）時(shí)，（）（）可見(jiàn)和是線性相關(guān)的。上式令是考慮到，當(dāng)時(shí)，（）由于當(dāng)（整數(shù)）時(shí)，和是線性無(wú)關(guān)的，所以貝塞爾方程的通解可一般表示為（）但當(dāng)（整數(shù)）時(shí)，由于和是線性相關(guān)的，我們還必須尋找一個(gè)與線性無(wú)關(guān)的特解?？梢宰C明，按如下形式定義的函數(shù)（）不論是否為整數(shù)，都是與線性無(wú)關(guān)的，且是滿足貝塞爾方程的

12、特解。通常稱這個(gè)特解為第二類貝塞爾函數(shù)，或稱牛曼函數(shù)。利用第二類貝塞爾函數(shù)可以將貝塞方程的通解表示為 ()這里v可以是整數(shù)，也可以不是整數(shù)。如果將第類和第類貝塞爾函數(shù)按下列進(jìn)行組合，即 (5.3.18a) (b)則可得貝塞方程的復(fù)數(shù)形式特解，通常稱為第類貝塞爾函數(shù)。又稱漢克爾（Hamkel）函數(shù)。由于漢克爾函數(shù)和第類以及第類貝塞爾函數(shù)都是線性無(wú)關(guān)的，和也是線性無(wú)關(guān)的，所以貝塞方程的通解可以寫(xiě)成 (5.3.19a)或 (b) (5.3.19c)第類貝塞爾函數(shù)具有明確的物理意義，這可以從遠(yuǎn)場(chǎng)漸進(jìn)表達(dá)式進(jìn)行分析(5.3.20a) (b)兩邊同乘以時(shí)間簡(jiǎn)諧因子得， (5.3.21a) (b)可見(jiàn)表示由

13、線源向外以速度擴(kuò)散傳播的行波；而表示以速度向中心會(huì)聚的行波。向外傳播的行波振幅以的速度衰減；而向中心會(huì)聚的行波振幅以的速度增加。而第類貝塞爾函數(shù)與時(shí)間簡(jiǎn)諧因子組合后表示具有固定“波節(jié)”的駐波。對(duì)于圓柱坐標(biāo)系下的貝塞方程 ()考慮到() 是通過(guò)變量代換由(5.2.14c2)的通解可以表示為 () 對(duì)于虛變量的貝塞方程 ()可作類似討論并可得兩個(gè)實(shí)數(shù)解 () ()通常稱為v階的第類虛變量貝塞爾函數(shù)。虛變量的貝塞爾函數(shù)與貝塞爾函數(shù)具有類似的性質(zhì)，即當(dāng)（整數(shù)）時(shí)， ()所以二者是線性相關(guān)的，為此需要一個(gè)與線性無(wú)關(guān)的特解?？梢宰C明，按如下形式定義的函數(shù) ()與線性無(wú)關(guān)，并且滿足虛變量的貝塞爾方程，從而虛

14、變量貝塞爾方程的通解（實(shí)數(shù)解）可以表示為 ()對(duì)于圓柱坐標(biāo)系下的虛變量貝塞方程 ()其通解（實(shí)數(shù)解）可以表示為 ()5.4貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)在上節(jié)關(guān)于貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式中出現(xiàn)了函數(shù)，這里對(duì)函數(shù)作一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹。伽瑪函數(shù)定義為考慮到所以伽瑪函數(shù)滿足遞推關(guān)系式令得令得此外，伽瑪函數(shù)與三角函數(shù)之間存在下列關(guān)系式或者令得從貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式不難得到這說(shuō)明偶數(shù)階的貝塞爾函數(shù)是偶函數(shù)；奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)是奇函數(shù)。貝塞爾函數(shù)的許多性質(zhì)都可以從它的級(jí)數(shù)表達(dá)式推出，但由于貝塞爾函數(shù)不是初等函數(shù)，許多性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程是非常繁瑣的。這里我們重點(diǎn)在于總結(jié)貝塞爾函數(shù)各方面的性質(zhì)，大多數(shù)情況下略去證明過(guò)程。貝塞爾函數(shù)

15、的零點(diǎn)貝塞爾函數(shù)在上的變化如圖和5.4.2所示。m=3m=2m=1m=01.0圖n=1n=0圖使的值稱為的零點(diǎn)。從圖和圖可見(jiàn)，在內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)。不妨記的第i個(gè)零點(diǎn)為。關(guān)于的零點(diǎn)及其分布的以下結(jié)論：1) 對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)；且當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)都是實(shí)數(shù)。2) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。3) 除外，的零點(diǎn)都是1階零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是的階零點(diǎn)。4) 若，則；即零點(diǎn)是以點(diǎn)為中心關(guān)于軸對(duì)稱分布的。5) 在的兩個(gè)正零點(diǎn)之間，分別有且只有1個(gè)和的零點(diǎn)；即的零點(diǎn)與或的零點(diǎn)是相互間插的。6) 對(duì)各階貝塞爾函數(shù)的第1零點(diǎn)，存在關(guān)系式：至于貝塞爾函數(shù)零點(diǎn)的具體數(shù)值可查有關(guān)特殊函數(shù)的函數(shù)表。但當(dāng)時(shí)，可利用漸進(jìn)公式求出零點(diǎn)的近

16、似值。 當(dāng)時(shí)故零點(diǎn)由下式?jīng)Q定即 （k為整數(shù)）從而，且有。貝塞爾函數(shù)的漸進(jìn)性質(zhì)的漸進(jìn)性質(zhì)：1) 在點(diǎn)處的漸進(jìn)性質(zhì)2) 在處的漸進(jìn)性質(zhì)上式表明，當(dāng)時(shí)，是振幅按速度衰減的近似周期振蕩函數(shù)。的漸進(jìn)性質(zhì)1) 在點(diǎn)處的漸進(jìn)性質(zhì)2) 在時(shí)的漸進(jìn)性質(zhì)可見(jiàn)函數(shù)在時(shí)，也是衰減振蕩函數(shù)。和的漸進(jìn)性質(zhì)1) 在的漸進(jìn)性質(zhì)；2) 在時(shí)的漸進(jìn)性質(zhì)對(duì)虛變量的貝塞爾函數(shù)有1) 當(dāng)時(shí)的漸進(jìn)性質(zhì)2) 在時(shí)的漸進(jìn)性質(zhì) 圖 圖貝塞爾函數(shù)的遞推關(guān)系式不同階的貝賽爾函數(shù)之間存在相互聯(lián)系，這種聯(lián)系表現(xiàn)為存在于它們之間的遞推關(guān)系。1）的遞推關(guān)系式（為任意實(shí)數(shù)） （1） （2）遞推關(guān)系式（1）和（2）是基本的，從這兩式還可推得關(guān)系式 （3） （

17、4） （5） （6）特殊情況： a）時(shí)。 從而 b) 時(shí)。 從而2）的遞推關(guān)系式特殊情況 a）時(shí)。 b) 時(shí)。例1 用的遞推關(guān)系式，證明與的零點(diǎn)是相互間插的。證： 設(shè) 由羅爾定理知，使即又 ，所以 證畢由于第類貝賽爾函數(shù)是有第類和第類貝賽爾函數(shù)組合得到的，故第類貝賽爾函數(shù)和也滿足與第類和第類函數(shù)完全相同的遞推關(guān)系式。通常稱滿足遞推關(guān)系（1）和（2）式或者等價(jià)地（3）和（4）的函數(shù)為柱函數(shù)。并可一般地用表示。柱函數(shù)可以是，和之一，也可以是由它們組合得到的任何函數(shù)，例如事實(shí)上，由于彼此線性無(wú)關(guān)，其中任意兩個(gè)的線性組合都是柱函數(shù)?？梢宰C明，柱函數(shù)均滿足貝賽爾方程。證明：由遞推關(guān)系式 (1) (2)消

18、去得： （3）對(duì)（3）式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 （4）再由（1）和（2）消去得 （5）用代替得 （6）將（3）代入（6）得 （7）再將（7）代入（4）得 證畢5.4.4貝賽爾函數(shù)的正交性設(shè)為的正零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，貝賽爾函數(shù)系在區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)正交即稱函數(shù)按展開(kāi)的級(jí)數(shù)為函數(shù)的傅立葉貝賽爾級(jí)數(shù)。其中展開(kāi)系數(shù)5.4.5半奇數(shù)階的貝賽爾函數(shù)半奇數(shù)階的貝塞爾方程是在球坐標(biāo)系下對(duì)波動(dòng)方程采用變量分離法時(shí)導(dǎo)出的。其解為半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)。半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)是它可以用初等函數(shù)表達(dá)。（證明略）。更一般的，由遞推關(guān)系式（5）和（6）可以得5.4.6 整數(shù)階的貝賽爾函數(shù)當(dāng)（整數(shù)）時(shí)有 對(duì)于整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)還

19、有重要公式 （1）通常稱上式左端為整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)的生成函數(shù)。從式（1）可以推出從而可作如下結(jié)論從（1）還可以推出下列兩個(gè)重要的形式1）平面波的駐波展開(kāi)式（2）其中，。2）加法公式 （3）令代入（1）得=利用公式 (令并按n集項(xiàng))可得：此即式（3）。進(jìn)一步還有加法公式其中，是平面上任意兩點(diǎn)和之間的距離，和分別表示由原點(diǎn)到和的距離，是和之間的夾角。如圖所示。圖加法公式是研究圓柱體多重散射問(wèn)題的基本公式。在多重散射問(wèn)題研究中具有十分重要的地位。在（1）式中令，并利用得 =。引入記號(hào)：就得到展開(kāi)式（2）。展開(kāi)式（2）兩邊同乘以時(shí)間簡(jiǎn)諧因子，并令得。上式左邊表示沿與x軸正向成角的方向傳播的平面波；右

20、邊表示不同階數(shù)的柱面駐波。該式表明平面波可以用不同階的駐波疊加得到。它在研究圓柱體對(duì)聲波，彈性波，電磁波等散射問(wèn)題時(shí)具有重要的地位。 對(duì)于整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)，還有如下積分表達(dá)式泊松表達(dá)式貝塞爾表達(dá)式關(guān)于的不等式有5.5 貝賽爾方程的特征值問(wèn)題貝賽爾方程的特征值問(wèn)題可一般地表述為 （5.5.1a） （b） （5.5.1c）貝賽爾方程（5.5.1a）的通解為考慮到當(dāng)時(shí)，所以要滿足有界性條件（b），就必須由（5.5.1c）表示的邊界條件可以是三類邊界條件中的任意一種，下面分別討論。（1） 第類邊界條件，即，此時(shí)，有考慮到，故只能設(shè)是函數(shù)的根，即的零點(diǎn)。由貝賽爾函數(shù)的性質(zhì)知，有無(wú)窮多個(gè)。一般可通過(guò)查閱

21、專門(mén)的貝賽爾函數(shù)數(shù)表確定各階零點(diǎn)。當(dāng)沒(méi)有數(shù)表可查時(shí)，也可通過(guò)下面的公式對(duì)貝賽爾函數(shù)的零點(diǎn)作近似計(jì)算。其中，知道貝賽爾函數(shù)的零點(diǎn)后，即可求得特征值和特征函數(shù)（2）第類邊界條件，即，此時(shí)有考慮到（非平凡解要求）和，從而只能有方程的零點(diǎn)，一般不能從關(guān)于貝賽爾函數(shù)的數(shù)表中獲得。因?yàn)榇蠖鄶?shù)貝賽爾函數(shù)的數(shù)表只提供的零點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，考慮到故的零點(diǎn)可由的零點(diǎn)獲得。當(dāng)時(shí)，可按下面的公式對(duì)的零點(diǎn)作近似計(jì)算。其中從而在第類邊界條件下，特征值及相應(yīng)的特征函數(shù)為注意，當(dāng)時(shí)，是零點(diǎn)，且，故是特征值。當(dāng)時(shí)，故不是問(wèn)題的特征值。（3）第類邊界條件。 此時(shí)，和均不為0，邊界條件成為即從上式求根一般需采用數(shù)值方法。根在幾何上看是曲線

22、與的交點(diǎn)，這樣的交點(diǎn)在上有無(wú)窮多個(gè)。設(shè)這些交點(diǎn)為，則特征值和特征函數(shù)可表示為考慮：當(dāng)所研究的區(qū)域由改成環(huán)域或外域時(shí)，相應(yīng)的特征值問(wèn)題應(yīng)如何求解？在上述三類邊界條件下求得的特征函數(shù)構(gòu)成平方可積函數(shù)空間的完備正交函數(shù)基。因此，對(duì)的任一函數(shù)均可按進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)。在求展開(kāi)系數(shù)時(shí)，需要計(jì)算。下面討論其計(jì)算方法由于特征函數(shù)滿足方程（5.5.1a），故有兩邊同乘，并在區(qū)間上積分得所以（1） 對(duì)于第類邊界條件，由于，從而，故（2） 對(duì)于第類邊界條件由于，從而，故（3） 對(duì)第類邊界條件，但即從而5.6 綜合應(yīng)用例1求半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)圓柱的軸對(duì)稱自由振動(dòng)問(wèn)題。 （1a） （1b） （1c） （1d） （1e）解：設(shè)

23、質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移為。在軸對(duì)稱振動(dòng)的情況下，質(zhì)點(diǎn)位移與坐標(biāo)和無(wú)關(guān)。用分離變量法求解，設(shè) （2）將（2）代入（1a），并注意到在圓柱坐標(biāo)系下，有得兩邊同除以，并引入分離常數(shù)后得 （3） （4）方程（4）是階的貝塞爾方程。其通解為 （5）由有界條件（1b）知， (6)由邊界條件（1c）（第類邊界條件）得，貝塞爾方程的特征值和特征函數(shù) （7） （8）其中，是的零點(diǎn)。即滿足 （9）方程（3）的解為 （10）根據(jù)線性疊加原理，原定解問(wèn)題（1）的通解可表示為 （11）其中系數(shù)和由初始條件確定。由初始條件（1d）得從而再由初始條件（1e）得從而代入（11）得 （12）例2. 求無(wú)限長(zhǎng)圓柱體（半徑為a）體內(nèi)的溫度

24、演化場(chǎng)問(wèn)題。 （1a） （1b） （1c） （1d）解：由于初始溫度分布為常數(shù)，且熱傳導(dǎo)系數(shù)是各向同性的，因而溫度場(chǎng)分布是軸對(duì)稱的?？稍O(shè).代入（1a）得即 （2） （3）式（3）為是階的貝塞爾方程。其通解為 （4）由有界條件（1b）知， (5)再由邊界條件（1c）（第類邊界條件）得，貝塞爾方程的特征值和特征函數(shù) （6） （7）其中，是的零點(diǎn).（其中）將（6）代入（2）得 （8）根據(jù)線性疊加原理，原定解問(wèn)題的解可表示為 （9）其中待定系數(shù)由初始條件確定。由初始條件（1d）得 （10）從而 （11）代入（9）得例3. 半徑為，高為的圓柱體側(cè)面絕熱，上下底面溫度分布保持為和，求圓柱體內(nèi)穩(wěn)定的溫度分布

25、。 解：根據(jù)題意，定解問(wèn)題可表示為 （1a） (1b) (1c) (1d)由于圓柱體是軸對(duì)稱的，上下底面溫度分布和與無(wú)關(guān)，故在本題中溫度分布具有軸對(duì)稱特點(diǎn)。因此，可設(shè)代入（1a）得 進(jìn)一步引入分離常數(shù)得兩個(gè)常微分方程1) 或者2）解法: 方程（4b）是零階貝賽爾方程，其通解為 (6)由于在處溫度不能為，即存在有界性條件 （7）從而（6）中系數(shù)即 （8）再由邊界條件（1b）(第II類邊界)得 （9） （10）其中是或的零點(diǎn)。方程（4a）的通解為 （11）根據(jù)線性疊加原理，定解問(wèn)題的解可表示為 （12）其中待定系數(shù)，和，由上下底面的邊界條件確定，即 （13a） (13b)利用的正交性，可得進(jìn)一步可解得：，。解法方程（5b）是虛變量的貝賽爾方程，其通解為注意到函數(shù)的漸進(jìn)性質(zhì)考慮到有界性條件， 只能齊次邊界條件（1b）要求但由的性質(zhì)知，上式無(wú)解。因此，當(dāng)圓柱側(cè)面具有齊次邊界條件時(shí)，應(yīng)避免出現(xiàn)虛變量的貝賽爾方程。例4. 求解下列圓柱體的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)問(wèn)題 (1a) (1b) (1c) （1d）解， 由于在圓柱體側(cè)面的邊界溫度是的函數(shù)，故本題不是軸對(duì)稱問(wèn)題。一般可設(shè) (2)代入方程（1a），注意到在柱坐標(biāo)系下 (3)經(jīng)分離變量后得到下列三個(gè)微分方程 (4a) （4b） (4c) 或者 (5a) (5b) (5c)考慮到本題中，上下底面是齊次邊界，圓柱側(cè)面是非齊次邊界。方程（5c）與非齊次