直紋面成為可展曲面的充要條件大三論文2

1、直紋面成為可展曲面的充要條件摘要 可展曲面是特殊的直紋面，直紋面成為可展曲面必須滿足一定的條件.本文根據(jù)可展曲面的定義，從該曲面是否為單參數(shù)曲面族的包絡(luò)、高斯曲率是否為零、直紋面是否可以展為平面等幾個方面，對直紋面成為可展曲面的幾個充要條件作了初步的探討.關(guān)鍵詞 直紋面；可展曲面；包絡(luò)；高斯曲率；等距對應(yīng)1直紋面與可展曲面的定義1.1直紋面的定義 由直線的軌跡所成的曲面稱為直紋面，這些直線稱為直紋面的直母線. 直紋面上取一條曲線，它的參數(shù)表示是.曲線和所有直母線相交，即過曲線的每一點，有一條直母線，曲線稱為直紋面的導(dǎo)線.設(shè)是過導(dǎo)線上點的直母線上的單位向量.導(dǎo)線上點到直母線任一點的距離為，則向徑

2、可以表示成 （1）,這就是直紋面的參數(shù)表示.1.2可展曲面的定義直紋面上任一點的法向量平行于，從（1）容易算出：，所以.當(dāng)點在曲面上沿一條直線移動時有兩種情形：情形1：與不平行，即.情形2：與平行，即.對于第2種情形的直紋面我們稱為可展曲面，也就是說，可展曲面是沿一條直母線有同一個切平面的直紋面.2直紋面成為可展曲面的幾個充要條件2.1定理1：一個曲面是可展曲面該曲面或是柱面，或是錐面，或是任意空間曲線的切線曲面.證明：由于柱面、錐面、任意空間曲線的切線曲面是直紋面，所以直紋面的參數(shù)方程為.(1)因為柱面的常向量，所以.則.故柱面是可展曲面.(2)錐面的腰曲線為一點，導(dǎo)線也為一點，故常向量，所

3、以. 從而.故錐面是可展曲面.(3)任意空間曲線的切線曲面的切線，故，從而.任意空間曲線的切線曲面是可展曲面.：對于可展曲面有，取腰曲線為導(dǎo)線，即此時有.(1) 當(dāng)時，常向量，這表示為腰曲線退化為一點，也就是說，各條直母線上的腰點都重合.我們得到以所有母線上公共的腰點為頂點的錐面.(2) 當(dāng)時，由條件，并且，得到.這時得到切于腰曲線的切線曲面.(3) 當(dāng)時，常向量，這表示柱面.例1求證正螺面是不可展曲面.證明：令，則所給的曲面可寫為.則，從而，則 = = =.當(dāng)時，有.故正螺面是不可展曲面.2.2定理2：設(shè)直紋面的參數(shù)方程是，則是可展曲面的充分必要條件是，向量函數(shù)，滿足方程. *證明：對直紋面

4、的參數(shù)方程求導(dǎo)得到，因此曲面的法向量是.如果是可展曲面，則在直母線上的任意兩個不同點和，其中，曲面的法向量應(yīng)該互相平行，即根據(jù)向量的雙重向量積的公式，我們有 = = =.由于，所以上式末端的混合積為零，即*式成立.上面的論證過程是可逆的，因此*式也是直紋面為可展曲面的充分條件，定理成立.例2證明曲面是可展曲面.證明：令，則由題得，則，則 = = = =0.即.故所給曲面為可展曲面.2.3定理3：曲面上的曲線是曲率線的充分必要條件是沿此曲線的曲面的法線組成一可展曲面.證明：設(shè)曲面上的曲線是曲率線，則根據(jù)羅德里格定理可知，即，其中為對應(yīng)的主曲率.由此得出，所以有因此沿此曲線，曲面的法線組成的曲面是

5、可展曲面.反之，設(shè)是曲面上一條曲線.曲面沿此曲線的法線構(gòu)成一個可展曲面.于是有由于是單位向量，所以.而且是曲面的切向量，因而.由此可得或. 根據(jù)羅德里格定理,是主方向.因此曲線是曲面的曲率線.例3求證撓曲線的副法線曲面不是可展曲面.證明：設(shè)有空間撓曲線，曲線的副法線曲面為，則，故副法線曲面不是可展曲面.2.4 定理4：一曲面為可展曲面的充要條件是此曲面為單參數(shù)平面族的包絡(luò).證明：充分性：單參數(shù)平面族為.則特征線方程為.它是平面與平面的交線，即為直線，所以這些特征線的軌跡為直紋面，即包絡(luò)面為直紋面，下證是可展的.由于包絡(luò)面沿特征線（現(xiàn)為直母線）與族中曲面（平面）相切，所以此平面是直母線所有點的公

6、共切平面，即沿一條直母線有同一個切平面，按可展曲面的定義，它是可展的.必要性：設(shè)曲面可展.由于直紋面的坐標(biāo)曲線為直母線和與導(dǎo)線平行的曲面，所以對于可展曲面，它的直母線就是線（=常數(shù)），當(dāng)變化時，得到族線，所以可展曲面可以看成是由單參數(shù)的直母線族所構(gòu)成的，即可展區(qū)面的直母線族僅與單參數(shù)有關(guān)，而且經(jīng)過給定的母線，可引唯一的切平面，因此，所有切于可展曲面的切平面也只與一個參數(shù)有關(guān)，這就是說可展曲面在它每一點處切于它的單參數(shù)平面族中的某一平面，即可展曲面是這個單參數(shù)平面族的包絡(luò).例4 求證可展曲面是單參數(shù)平面族的包絡(luò).證明：先求所給單參數(shù)平面族的包絡(luò).令，則.將方程組中，的參數(shù)消去得到.即證得可展曲面

7、是單參數(shù)平面族的包絡(luò).2.5 定理5：一個曲面為可展曲面的充要條件是它的高斯曲率恒等于零.證明：如果曲面是可展的，則沿同一直母線的單位法向量不變，即，零向量與任意另外的向量共線，因此有.根據(jù)羅德里格定理，沿直母線的方向是主方向，并且主曲率（或），于是 .反之，如果，則.設(shè)，這時對應(yīng)它的方向是漸進(jìn)方向也是主方向，所以這一族漸進(jìn)曲線也是曲率線. 根據(jù)羅德里格定理,沿漸進(jìn)曲線有，因而，即常向量.這說明單位法向量沿漸進(jìn)曲線保持常向量.因此，在所有漸進(jìn)曲線上曲面的法線都互相平行.又對于漸進(jìn)曲線的切向量有.所以沿漸進(jìn)曲線有常向量.設(shè)是漸進(jìn)曲線上某定點的向徑，則由以上結(jié)果有，即.由此得到連接漸進(jìn)曲線上的定點

8、和漸進(jìn)曲線上任意點的向量垂直于，因而必在點的切平面上，所以漸進(jìn)曲線的所有點都在點的切平面上.于是，這個包含漸進(jìn)曲線而且垂直于沿它的常法向量的平面，就是漸進(jìn)曲線所有點的切平面.換句話說，對同一條漸進(jìn)曲線上的點，其切平面是同一個.由此可見，曲面是一個單參數(shù)平面族的包絡(luò)面，因而是可展曲面.例5求取面的高斯曲率.解：令，則所給曲面為，則，則，則 = =0.即.故該曲面是可展曲面，從而其高斯曲率為0.2.6定理6：可展曲面可以與平面成等距對應(yīng)（簡稱展為平面）.證明:在直角坐標(biāo)系下，平面的第一基本形式為，在極坐標(biāo)系下，通過變換，得第一基本形式，（1） 柱面：其中為沿柱面母線的單位常向量，是與柱面母線正交的

9、一條曲線，是它的弧長.于是，從而第一基本形式為.這與上述平面的第一基本形式有相同的形式，因此柱面可以展為平面，.(2)錐面：，其中為常向量，為錐面母線上的單位向量，而是單位球面曲線的弧長，則有，于是，第一基本形式為，這與上述平面的第一基本形式有相同的形式，因此錐面可以展為平面.（3） 切線曲面：其中為曲線的切向量，為曲線的弧長.于是，有.上式中出現(xiàn)曲率，但沒有撓率，所以如果兩條曲線曲率相同，即使撓率不同，它們的切線曲面也有相同的第一基本形式，即是等距的，由此，現(xiàn)給定曲率和撓率分別為，由曲線論基本定理，除空間位置差別外，確定了唯一一條曲線，當(dāng)從連續(xù)變到時，得到一個連續(xù)的曲線的曲線族,這些曲線族的切線曲面也變動，但由于曲率不變，因此這些切線曲面是等距的.當(dāng)=0是=0，此時曲線為平面曲線，但平面曲線的切線還在此平面上，這時的切線曲面就是平面曲線所在的平面，但第一基本形式不變，因此切線曲面也可展成曲面.又由前面結(jié)論，可展區(qū)面只有以上三種，綜上所述，命題成立. 例6 證明曲面可以展為平面.證明：令， 則所給曲面為，則，從而，則 = = =.即故曲面是可