空間向量的直角坐標及其運算一

1、9.6空間向量的直角坐標及其運算(一)教學目的：1.掌握空間右手直角坐標系的概念，會確定一些簡單幾何體（正方體、長方體）的頂點坐標；2.掌握空間向量坐標運算的規(guī)律；3.會根據(jù)向量的坐標，判斷兩個向量共線或垂直；4.會用中點坐標公式解決有關(guān)問題.教學重點：空間右手直角坐標系，向量的坐標運算.教學難點：空間向量的坐標的確定及運算.授課類型：新授課. 課時安排：1課時. 教具：多媒體、實物投影儀.內(nèi)容分析：本節(jié)有兩個知識點：向量和點的直角坐標及向量的坐標運算、夾角和距離公式.一小節(jié)，我們在直角坐標系下，使向量運算完全坐標化.掉基底，使空間一個向量對應一個三維數(shù)組，這樣使向量運算更加方便.上一小節(jié)已學

2、習向量運算的基礎(chǔ)上，把向量運算完全坐標化，對學生已不會感到抽象和困難.第2個知識點中，我們給出空間解析幾何兩個最基本的公式：夾角和距離公式.這個知識點中，作為向量坐標計算的例題，還順便證明了直線與平面垂直的“性質(zhì)定理”.過解一些立體幾何的應用題，就可為學生今后進一步學習空間解析幾何、高維向量和矩陣打下基礎(chǔ).要求學生理解空間向量坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算，掌握兩點的距離公式.握直線垂直于平面的性質(zhì)定理.教學過程：一、復習引入：1.面向量的坐標表示分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得把叫做向量的（直角）坐標，記作其中叫做

3、在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，特別地，.2平面向量的坐標運算若，則，.若，則3(¹)的充要條件是x1y2-x2y1=04平面兩向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量，試用和的坐標表示.設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，所以又，所以這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.5.平面內(nèi)兩點間的距離公式（1）設(shè)，則或.（2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式)6.向量垂直的判定:設(shè)，則7.兩向量夾角的余弦（） cosa,b=cosq=8空間向量的基本定理：若是空間的一個基底，是空間任意一向量，存在唯一的實數(shù)組使二、講解新課：

4、1.間直角坐標系：（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量都叫坐標向量通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；（3）作空間直角坐標系時，一般使（或），；（4）在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個坐標系為右手直角坐標系.定立幾中建立的坐標系為右手直角坐標系.2空間直角坐標系中的坐標：如圖給定空間直角坐標系和向量，設(shè)為坐

5、標向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標3空間向量的直角坐標運算律：（1）若，則，（2）若，則一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.三、講解范例：例1.知，求，解：，例2求點關(guān)于平面，平面及原點的對稱點.解：在平面上的射影，在平面上的射影為，點關(guān)于平面的對稱點為，關(guān)于平面及原點的對稱點分別為，例3在正方體中，分別是的中點，求證平面證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長為個單位長度，

6、設(shè)，分別以為坐標向量建立空間直角坐標系，則，又，所以，平面四、課堂練習：1已知ABCDA1B1C1D1是棱長為2的正方體，E、F分別是BB1和DC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系，試寫出圖中各點的坐標分析：要求點E的坐標，過點E與x軸、y軸垂直的平面已存在，只要過E作平面垂直于z軸交E點，此時|x|y|z|，當?shù)姆较蚺cx軸正向相同時，x0，反之x0，同理確定y、z的符號，這樣可求得點E的坐標.解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，,D1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)2已知(

7、2，3,5)，(3,1，4)，求，8，.解：（2，3,5）（3,1，4）（1，2,1），（2，3,5）（3,1，4）（5，4,9），88（2，3,5）（16，24,40），（2，3,5）（3,1，4）6（3）（20）29.3在正方體要ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CD的中點，求證：D1F平面ADE證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則又D1FAE，又ADAEA，D1F平面ADE本例中坐標系的選取具有一般性，在今后會常用到，這樣選取可以使正方體各頂點的坐標均為非負，且易確定.原點的坐標為(0,0,0)，x軸上的坐標為(x,0,0)，y軸上的坐標為(0,y,0)，z軸上的坐標為(0,0,z).要使一向量a(x,y,z)與z軸垂直，只要z0即可.實上，要使向量a與哪一個坐標軸垂直，只要向量a的相應坐標為0.鞏固練習P39練習16五、小結(jié)：空間右手直角坐標系的概念，會確定一些簡單幾何體的頂點坐標；掌握空間向量坐標運算的規(guī)律；3.會根據(jù)向量的坐標，判斷兩個向量共線或垂直；4.會用中點坐標公式解決有關(guān)問題.5用向量坐標法證明或計算幾何問題的基本步驟：建系設(shè)坐標向量點的坐標化向量的直角坐標運算.六、課后作業(yè)：七、板書設(shè)計（略）.八、課后記：教學以單位正交基底建立直角坐標系時，根據(jù)前面向量分解定理，引導學生體會從一般到特殊的思想方