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1、9.6空間向量的直角坐標(biāo)及其運算(一)教學(xué)目的:1.掌握空間右手直角坐標(biāo)系的概念,會確定一些簡單幾何體(正方體、長方體)的頂點坐標(biāo);2.掌握空間向量坐標(biāo)運算的規(guī)律;3.會根據(jù)向量的坐標(biāo),判斷兩個向量共線或垂直;4.會用中點坐標(biāo)公式解決有關(guān)問題.教學(xué)重點:空間右手直角坐標(biāo)系,向量的坐標(biāo)運算.教學(xué)難點:空間向量的坐標(biāo)的確定及運算.授課類型:新授課. 課時安排:1課時. 教具:多媒體、實物投影儀.內(nèi)容分析:本節(jié)有兩個知識點:向量和點的直角坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)運算、夾角和距離公式.一小節(jié),我們在直角坐標(biāo)系下,使向量運算完全坐標(biāo)化.掉基底,使空間一個向量對應(yīng)一個三維數(shù)組,這樣使向量運算更加方便.上一小節(jié)已學(xué)

2、習(xí)向量運算的基礎(chǔ)上,把向量運算完全坐標(biāo)化,對學(xué)生已不會感到抽象和困難.第2個知識點中,我們給出空間解析幾何兩個最基本的公式:夾角和距離公式.這個知識點中,作為向量坐標(biāo)計算的例題,還順便證明了直線與平面垂直的“性質(zhì)定理”.過解一些立體幾何的應(yīng)用題,就可為學(xué)生今后進一步學(xué)習(xí)空間解析幾何、高維向量和矩陣打下基礎(chǔ).要求學(xué)生理解空間向量坐標(biāo)的概念,掌握空間向量的坐標(biāo)運算,掌握兩點的距離公式.握直線垂直于平面的性質(zhì)定理.教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入:1.面向量的坐標(biāo)表示分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.作一個向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數(shù)、,使得把叫做向量的(直角)坐標(biāo),記作其中叫做

3、在軸上的坐標(biāo),叫做在軸上的坐標(biāo),特別地,.2平面向量的坐標(biāo)運算若,則,.若,則3(¹)的充要條件是x1y2-x2y1=04平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個非零向量,試用和的坐標(biāo)表示.設(shè)是軸上的單位向量,是軸上的單位向量,那么,所以又,所以這就是說:兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.5.平面內(nèi)兩點間的距離公式(1)設(shè),則或.(2)如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、,那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式)6.向量垂直的判定:設(shè),則7.兩向量夾角的余弦() cosa,b=cosq=8空間向量的基本定理:若是空間的一個基底,是空間任意一向量,存在唯一的實數(shù)組使二、講解新課:

4、1.間直角坐標(biāo)系:(1)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直,且長為,這個基底叫單位正交基底,用表示;(2)在空間選定一點和一個單位正交基底,以點為原點,分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸:軸、軸、軸,它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系,點叫原點,向量都叫坐標(biāo)向量通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面,分別稱為平面,平面,平面;(3)作空間直角坐標(biāo)系時,一般使(或),;(4)在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向軸的正方向,食指指向軸的正方向,如果中指指向軸的正方向,稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo):如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量,設(shè)為坐

5、標(biāo)向量,則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使,有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作在空間直角坐標(biāo)系中,對空間任一點,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使,有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作,叫橫坐標(biāo),叫縱坐標(biāo),叫豎坐標(biāo)3空間向量的直角坐標(biāo)運算律:(1)若,則,(2)若,則一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).三、講解范例:例1.知,求,解:,例2求點關(guān)于平面,平面及原點的對稱點.解:在平面上的射影,在平面上的射影為,點關(guān)于平面的對稱點為,關(guān)于平面及原點的對稱點分別為,例3在正方體中,分別是的中點,求證平面證明:不妨設(shè)已知正方體的棱長為個單位長度,

6、設(shè),分別以為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系,則,又,所以,平面四、課堂練習(xí):1已知ABCDA1B1C1D1是棱長為2的正方體,E、F分別是BB1和DC的中點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,試寫出圖中各點的坐標(biāo)分析:要求點E的坐標(biāo),過點E與x軸、y軸垂直的平面已存在,只要過E作平面垂直于z軸交E點,此時|x|y|z|,當(dāng)?shù)姆较蚺cx軸正向相同時,x0,反之x0,同理確定y、z的符號,這樣可求得點E的坐標(biāo).解:D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),,D1(0,0,2),E(2,2,1),F(xiàn)(0,1,0)2已知(

7、2,3,5),(3,1,4),求,8,.解:(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1),(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9),88(2,3,5)(16,24,40),(2,3,5)(3,1,4)6(3)(20)29.3在正方體要ABCDA1B1C1D1中,E、F分別為BB1、CD的中點,求證:D1F平面ADE證明:不妨設(shè)已知正方體的棱長為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則又D1FAE,又ADAEA,D1F平面ADE本例中坐標(biāo)系的選取具有一般性,在今后會常用到,這樣選取可以使正方體各頂點的坐標(biāo)均為非負(fù),且易確定.原點的坐標(biāo)為(0,0,0),x軸上的坐標(biāo)為(x,0,0),y軸上的坐標(biāo)為(0,y,0),z軸上的坐標(biāo)為(0,0,z).要使一向量a(x,y,z)與z軸垂直,只要z0即可.實上,要使向量a與哪一個坐標(biāo)軸垂直,只要向量a的相應(yīng)坐標(biāo)為0.鞏固練習(xí)P39練習(xí)16五、小結(jié):空間右手直角坐標(biāo)系的概念,會確定一些簡單幾何體的頂點坐標(biāo);掌握空間向量坐標(biāo)運算的規(guī)律;3.會根據(jù)向量的坐標(biāo),判斷兩個向量共線或垂直;4.會用中點坐標(biāo)公式解決有關(guān)問題.5用向量坐標(biāo)法證明或計算幾何問題的基本步驟:建系設(shè)坐標(biāo)向量點的坐標(biāo)化向量的直角坐標(biāo)運算.六、課后作業(yè):七、板書設(shè)計(略).八、課后記:教學(xué)以單位正交基底建立直角坐標(biāo)系時,根據(jù)前面向量分解定理,引導(dǎo)學(xué)生體會從一般到特殊的思想方

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