極值點偏移問題的處理策略及探究

1、極值點偏移問題的處理策略所謂極值點偏移問題， 是指對于單極值函數(shù)， 由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性。若函數(shù)f(x)在x X0處取得極值，且函數(shù) y f(x)與直線y b交于A(xi,b) ,B(X2,b)兩點，則AB的中點為M (三六,b),而往往X。 上盧.如下圖 所示.極值點沒有偏移此類問題在近幾年高考及各種?？迹鳛闊狳c以壓軸題的形式給出，很多學(xué)生對待此類問題經(jīng)常是束手無策。 而且此類問題變化多樣，有些題型是不含參數(shù)的，而更多的題型又是含有參數(shù)的。不含參數(shù)的如何解決？含參數(shù)的又該如何解決，參數(shù)如何來處理？是否有更方便的方法來解決？其實，處理的手段有很多，方法也就

2、有很多，我們先來看看此類問題的基本特征，再從幾個典型問題來逐一探索！【問題特征】【處理策略】一、不含參數(shù)的問題.f仇)例1. (2010天津理)已知函數(shù)f(x) xex(x R),如果x1 x2,且f(x1)證明：x1 x22.【解析】法一：f (x) (1 x)ex,易得f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減，x 時，f(x) , f(0) 0, x 時，f(x) 0,函1數(shù)f (x)在x 1處取得極大值f(1),且f (1),如圖所示.e由 f(x1) f (x2), x1x2,不妨設(shè) x1x2,則必有 0 x1 1 x2,構(gòu)造函數(shù)F(x) f(1x) f (1 x),x (0

3、,1,x 2x則 F (x) f (1 x) f (1 x) (e 1) 0,所以 F(x)在 x (0,1上單調(diào)遞增, eF(x) F(0) 0,也即 f(1 x) f (1 x)對 x (0,1恒成立.由 0x11x2,則 1x1(0,1,所以 f(1 (1x。f (2x1)f(1 (1xj)f(x1)f(x2),即 f(2x1)f(xz),又因為2 x1,x2 (1,)，且f(x)在(1,)上單調(diào)遞減,所以2x1x2,即證x1x2 2.法二：欲證 x1x22,即證x22x1,由法一知 0x11x2，故 2X),x2(1,),又因為f (x)在(1,)上單調(diào)遞減，故只需證 f(x2)f(2

4、 xi),又因為 f (xi)f(x2),故也即證f(x1)f(2 x1),構(gòu)造函數(shù) H (x) f(x)f (2 x),x (0,1),則等價于證明H(x) 0對x (0,1)恒成立.一 一1 x由 H (x) f (x) f(2 x) e(12x2、_._ e ) 0,則H(x)在x (0,1)上單調(diào)遞增，所以H(x) H(1) 0 ,即已證明 H (x)0對x (0,1)恒成立，故原不等式x1x22亦成立.法三：由 f (x1)f(x2),得xexx?ex2，化簡得ex2xx2，x1不妨設(shè)x2x1,由法一知，ox11x2 .令tx2x1,則t0, x2tx1,代入式,得 ett一x1 ,

5、反解出x1,則x1x22x1tt2tt ,故要證：x1x22 ,x1e 1e 1 2t 一. tt即證：- t2,又因為e 1 0,等價于證明：2t (t 2)(e 1)0，e 1構(gòu)造函數(shù) G(t)2t (t 2)(et 1),(t0),則 G(t)(t 1)et 1,G (t)tet0,故G(t)在t (0,)上單調(diào)遞增，G (t) G (0) 0,從而G(t)也在t (0,)上單調(diào)遞增，G(t) G(0) 0 ,即證式成立，也即原不等式 x1 x2 2成立.法四：由法三中l(wèi)n x2ln x1,也即式，兩邊同時取以e為底的對數(shù)，得x2 x1 lnax10 1lnx21nxi1,從而 x1x2

6、(x1x2)lnx2lnx1ln區(qū)Jln看,x2x1x2x1x2 x1 x10 1 Xix1人x2 ,八一t 1 .八令t (t1),則欲證：x1x22,等價于證明：1nt2x1t 1構(gòu)造 M (t 1)1nt(1 )ln t,(t 1),則 M (t) -1 2t21ntt 1 t 1t(t 1)又令 (t) t2 1 2tlnt,(t 1),則 (t) 2t 2(lnt 1) 2(t 1 lnt),由于 t 1 Int對t (1,)恒成立，故(t) 0, (t)在t (1,)上單調(diào)遞增，所以(t)(1) 0,從而M (t) 0 ,故M在t (1,)洛比塔法(t 1)ln tlim(t 1)

7、lnt) x 1 (t 1)1卿1n即證M (t)2 即證式成立，也即原不等式XiX22成立.【點評】以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式, 用構(gòu)造新的函數(shù)來達到消元的目的， 方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元, 換成新變元來表示，從而達到消元的目的 .二、含參數(shù)的問題.方法一、二利 將兩個舊的變元都例2.已知函數(shù)f (x) X aex有兩個不同的零點 Xi,X2,求證:X1x22.【解析】思路1：函數(shù)f (X)的兩個零點，等價于方程xe x a的兩個實根，從而這一問題與例1完全等價，例1的四種方法全都可以用；思路2：也可以利用參數(shù) a這個媒介去構(gòu)造出新的函數(shù) 因為函數(shù)f (

8、x)有兩個零點X1, X2 ,.解答如下:所以X1X2由(2)得:XiaeX2ae2X1X2(1) a(eX1X2 e ),要證明X1X22,只要證明a(eX1X2、e ) 2 ,由(2)得:X1/ x1x2 a(eeX2)，即 aX1X2ex1eX2，X2即證：(X1X2)不妨設(shè)X1ex1記tex2(X1X2因此只要證明：tete再次換元令1,構(gòu)造新函數(shù)F(x)求導(dǎo)F (x)所以F (x)X0,X1Inx,In x2(xx(x 1)20,et2(e1 1)et 1即證In x，F(xiàn)(1)(x 1)202x(x 1)0,2(x 1) 0 x 1得 F(x)在(1,)遞增,因此原不等式X1X22獲

9、證.【點評】含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元(1,)XX2的基礎(chǔ)上，又多了一個參數(shù),故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù)， 從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù)。例3.已知函數(shù)f(x) ln x ax, a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2 ,試證明：xi x2 e2.【解析】法一：消參轉(zhuǎn)化成無參數(shù)問題：_ln x_f(x) 0 In x ax In x ae , x1,x2是萬程f(x) 0的兩根，也是萬程 In x ae1nx 的兩根，則 1nxi,lnx2是 x aex,設(shè) u1 In x1 ,u2 In x2, g(x) x

10、e x ,則UiU22 ,此問題等價轉(zhuǎn)化成為例2g(ui) g(U2),從而 xx2 e In x In x2 21,下略.法二：利用參數(shù) a作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)：不妨設(shè)x1 x,In 為ax10,In x2 ax20, In x1In x2a(xix2),In xiIn x2a(xix2),In xiIn x2a ,欲證明 x)x2e2,即證 In xiIn x22.xi x2In x In x2a(xi x2),，即證 a2xi x2，原命題等價于證明In xiIn x2xi x2，即證：In82(xi "令 t 上,(t i),xi x2x2 xi x2x2構(gòu)造 g(t)

11、 Int 2(t ；),t法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：i,此問題等價轉(zhuǎn)化成為例2中思路二的解答，下略In xiIn x2a xix2In x2In xiX2xi，設(shè) xix2,t&,(txii),則 x2tx4In xit In tInIn x1xi反解出:In xiInt ，1n x2IntxiIntIn xi IntInt t Intt i t i故 xix2In xiIn x2Int 2,轉(zhuǎn)化成法二，下同，略例4.設(shè)函數(shù)f (x) ex axa(aR)，其圖像與 x軸交于 A(xi,0) , B(x2,0)兩點，且xix2 .證明：f (. x x2) 0.【解析】由f (x) e

12、x ax a, f (x),2a ,易知：a的取值范圍為(e ,), f (x)在(,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,)上單調(diào)遞增.法一：利用通法構(gòu)造新函數(shù)，略; 法二：將舊變元轉(zhuǎn)換成新變元：%eax1- X2_e ax20,兩式相減得:0, *e2 e15X2 X,(t0),則f (Xx1 X2 ,2一 X2*e2 e1)，X2Xi設(shè) g(t) 2t (ete tMt(ete t)0,所以g(t)在t(0,)上單調(diào)遞減，故g(t)x1 X2e 2g(0) 0,而0 ,2t所以fx2-)0,又f (x) exa是R上的遞增函數(shù)，且X1X2x|x22, - f ( . X1X2)0.容易想到，但

13、卻是錯解的過程:欲證:f (.X1x2) 0,即要證：fX1X22x1 X22 a 0,也即證:X1 X2e_2a ，想到：對ex1ax10,ex1ex2ax20,ex2a(X1 1),兩 a(x2 1),式相乘ex1 x2a2(x11)(X2 1),即證：(Xi1)(X21)1 .考慮用基本不等式(X1 1)(X2 1)X22)2，也即只要證:X1X24 .由于 X11,X23In a .當(dāng)取a e將得到x2 3,從而X1 x24.而二元一次不等式X1x24對任意a2.(e ,)不恒成立，故此法錯誤.【迷惑】此題為什么兩式相減能奏效，而變式相乘卻失??？兩式相減的思想基礎(chǔ)是什么？其他題是否也可

14、以效仿這兩式相減的思路【解決】此題及很多類似的問題，都有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景拉格朗日中值定理：若函數(shù)f ( x)滿足如下條件:(1)函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù);(2)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得f() f(b) f(a)b a當(dāng)f(b) f(a)時，即得到羅爾中值定理.上述問題即對應(yīng)于羅爾中值定理，設(shè)函數(shù)圖像與X軸交于A(x1,0), B(x2,0),兩點，因此kAB 0f (x2) f (xi)(ex e") a(xi X2)a ,x2x1x2 x1 0 0 ,由于 f(xi) f(x2) 0,顯然 f(xi) f(xi) 0與 f(x)f(x1)

15、 0,與已知f(xi)f(x2) 0不是充要關(guān)系，轉(zhuǎn)化的過程中范圍發(fā)生了改變.例5. (II年，遼寧理)已知函數(shù) f(x) ln x ax2 (2 a)x.(I)討論f(x)的單調(diào)性；iii(II)設(shè) a 0,證明：當(dāng) 0 x 時，f (- x) f (- x)；aaa(III )若函數(shù)y f(x)的圖像與x軸交于A, B兩點，線段 AB中點的橫坐標為x0,證明:f(x。) 0.i【解析】 易得：當(dāng)a 0時，f (x)在(0,)上單調(diào)遞增；當(dāng)a 0時，f(x)在(0) aI上單倜遞增，在(一，)上單調(diào)遞減 aiii (II)法一：構(gòu)造函數(shù) g(x) f (- x) f (- x),(0 x )

16、,利用函數(shù)單調(diào)性證明，方 aaa法上同，略；I - i法一：構(gòu)造以a為王兀的函數(shù)，設(shè)函數(shù)h(a)f ( x) f (- x),則aax x2x3a2,ih(a) ln(i ax) ln(i ax) 2ax, h (a) 2x 2，由 0 x ,i ax i ax i a xa一八i /i . .、_ .一一.，、_八i解得 0 a 一，當(dāng) 0 a 一時，h(a) 0,而 h(0) 0 ,所以 h(a) 0 ,故當(dāng) 0 x 一 xxa一 ii時，f (- x) f (- x).aa(III)由(I)知，只有當(dāng)a 0時，且f(x)的最大值f()0,函數(shù)yf(x)才會有兩aii 一 i個奪點，不妨設(shè)

17、 A(xi,0), B(x2,0),0xi x2 ,則 0 xi 一 x2 ,故一 X (0,一)，由aaam 一 2 一 i i一 i i一 一(II)得：f(-xi)f (- xi)f(-(xi)f (xi)f(x2),又由 f (x)在aa aa aJ2- x x2i(-,)上單調(diào)遞減，所以 x2X,于是%-一2一,由(I)知，f (x0)0.aa2a【問題的進一步探究】 對數(shù)平均不等式的介紹與證明兩個正數(shù)a和b的對數(shù)平均定義：L(a,b) 1n aa(aIn b b).(a b),對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系:a bJab L(a,b) 5(此式記為對數(shù)平均不等式)取等條件：

18、當(dāng)且僅當(dāng) a b時，等號成立.a b只證：當(dāng)a b時，Jab L(a,b) .不失一般性，可設(shè) a b.證明如下:2不等式 1n a 1n b構(gòu)造函數(shù)f (x) 21n xa1na，a ,b 、ab b ' b : a,1(x -),(x 1),則 f (x) x21n x x，(其中 x J：2 /1“ 1、2 _1 2(1 -).因為 xx x x1)1時,f (x) 0,所以函數(shù)f (x)在(1,)上單調(diào)遞減，故f (x) f (1) 0 ,從而不等式 成立;(II)再證:a bL(a,b)2不等式lna lnb 2a b) a b.a2(b1),2(x 1)a八In - -b

19、In x -/(其中x J 1)b(g1)(x 1)'b )b構(gòu)造函數(shù)g (x) In x11),則 g (x) 一 x4(x 1)2(x I .因為x 1時, x(x 1)(I)先證：job L(a,b)g (x) 0,所以函數(shù)g(x)在(1,)上單調(diào)遞增，故g(x) g(1) 0,從而不等式 成立;a b綜合(I) (II)知，對 a,b R ,都有對數(shù)平均不等式 Jab L(a,b) 2-成立，當(dāng)且 僅當(dāng)a b時，等號成立.前面例題用對數(shù)平均不等式解決例 1. (2010 天津理)已知函數(shù) f(x) xe x(x R)，如果 x1 x2,且 f(x) f (x2),證明：x1x2

20、2.【解析】法五：由前述方法四，可得1%x2,利用對數(shù)平均不等式得：1n 為 1n x2X x2x1 x21 ,即證：x1x22,秒證.In x11nx22說明：由于例2,例3最終可等價轉(zhuǎn)化成例1的形式，故此處對數(shù)平均不等式的方法省略.例4.設(shè)函數(shù)f(x) ex ax a(a R),其圖像與 x軸交于A(x1,0), B(x2,0)兩點，且Xix2 .證明：f (. x1 x2) 0 .ex1ex2【解析】法三：由前述方法可得：a (1 x1 In a x2),等式兩邊取以e為x1 1 x2 1底的對數(shù)，得 In ax1In(x11)x2ln(x21),化簡彳導(dǎo):1(x-_(x_!2一,由In

21、(x1 1) ln(x2 1)對數(shù)平均不等式知：1 (x1 1)(x21)(X1)(x21)，即x1x2(x1x2)0,In(x1 1) ln( x2 1)故要證f (.花)0證 Jx1x2 In a 證2，x1x2 x1In(x1 1)x2ln(x21)證 ln(x1 1) In(x21) x x2 2"涇 證 In(x1x2(x1x?)1)x1 x2 2"憶- x1x2 (x1 x2) 0In( xix2 (x1 x2) 1) In1 0 ,而 x1 x22 x1x2Q Kx2)2 0 In(x1x2(x, x2)1) x,x22., x1x2顯然成立，故原問題得證.例

22、5. (11年，遼寧理)已知函數(shù) f(x) In x ax2 (2 a)x.(I)討論f(x)的單調(diào)性；111(II)設(shè) a 0,證明：當(dāng) 0 x 時，f( x) f( x)； aaa(III )若函數(shù)y f(x)的圖像與x軸交于A, B兩點，線段 AB中點的橫坐標為x0,證明:f(x。) 0.【解析】(I) (II)略，(III )由 f (x,)f(x2) 0故要證 f (x0) 0x0 "x-x2 -2 a根據(jù)對數(shù)平均不等，此不等式顯然成立，故原不等式得證2 In x1In x2x1x2x1x2【挑戰(zhàn)今年高考壓軸題】Xi, X2 .(2016年新課標I卷理數(shù)壓軸21題)已知函數(shù)

23、f (x) (x 2)ex 2 e-，則 g ”x 1 a(x 1)2有兩個零點證明：x1 x2 2.【解析】由f (x) (x 2)ex a(x1)2,得 f(x) (x 1)(ex 2a),可知 f(x)在(,1)上單調(diào)遞減，在(1,)上單調(diào)遞增.要使函數(shù)y f (x)有兩個零點總,，則必須a0.法一：構(gòu)造部分對稱函數(shù)不妨設(shè)xx2,由單調(diào)性知x1(,1),x2(1,)，所以 2x2(,1)，又f (x)在(,1)單調(diào)遞減，故要證:為 x2 2,等價于證明:f(2x2)f(xi) 0,又 f (2x2)2 x2x2e/，、2a(x2 1),且 f(x2) (x2x92)e 22a(x2 1)

24、01- f (2 x2)x2e2 ”(x22)ex2 ,構(gòu)造函數(shù)g(x)2 xxe(x 2)ex,(x(1,)，由單調(diào)性可證，此處略.法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)由已知得：f X f x20 ,故可整理得：a二x2 ex121x2 2 e22-x21x2那么g2x 21 x3- ex 11 時，g' xx單調(diào)遞減；當(dāng)1時,0,g x單調(diào)遞增.0,構(gòu)造代數(shù)式:m1 12md em e 1 , mm 1故h m單調(diào)遞增，有2m2 2m貝 U h' m 2 e 0 ,m 1因此，對于任意的 m 0,由g X g x2可知為、x2不可能在g x的同一個單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)必有 1 x2g Xig X2令 m 1 為 0,則有 g 11 % g 11 Xig 2而 2 x11 , x21, g x 在 1,上單調(diào)遞增，因此：g 2 * g x2整理得：x1x22 .法三：參變分離再構(gòu)造對稱函數(shù)由法二，得g xxx 2 e2-x 1,構(gòu)造G( x)g