線(xiàn)性代數(shù)正交規(guī)范化-文檔資料

1、定義定義1 1維向量維向量設(shè)有設(shè)有n,2121 nnyyyyxxxx第一節(jié)第一節(jié) 向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性一、內(nèi)積的定義和性質(zhì)一、內(nèi)積的定義和性質(zhì)內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì) :,為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)維維向向量量為為其其中中 nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx時(shí)時(shí)有有且且當(dāng)當(dāng) nnyxyxyxyx 2211,令令 . ,的的與與為為向向量量稱(chēng)稱(chēng)yxyx內(nèi)積內(nèi)積定義定義2 2 非非負(fù)負(fù)性性. 1齊齊次次性性. 2三角不等式三角不等式. 3 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的維維向向量量為為稱(chēng)

2、稱(chēng)xnx長(zhǎng)度長(zhǎng)度范數(shù)范數(shù)向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：; 0,0; 0,0 xxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng);xx .yxyx 維維向向量量間間的的夾夾角角單單位位向向量量及及n .,11 為為稱(chēng)稱(chēng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx 單位向量單位向量 yxyxyx,arccos,0, 02 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 的的與與維維向向量量稱(chēng)稱(chēng)為為yxn夾角夾角 正交的概念正交的概念 正交向量組的概念正交向量組的概念. ,0,yxyx與與稱(chēng)向量稱(chēng)向量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 正交正交., 0,與與任任何何向向量量都都正正交交則則若若由由定定義義知知 xx 若一非零向量組中的向量?jī)蓛烧?，則稱(chēng)該向若一非零向量組中的向量?jī)蓛烧唬瑒t稱(chēng)該向量組

3、為正交向量組量組為正交向量組, 0021111 T由由.01 從從而而有有. 02 r 同同理理可可得得.,21線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)故故r 使使設(shè)有設(shè)有r ,21證明證明02211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1aT0111 T 正交向量組的性質(zhì)正交向量組的性質(zhì)線(xiàn)性無(wú)關(guān).線(xiàn)性無(wú)關(guān)., , , ,則則非零向量,非零向量,是一組兩兩正交的是一組兩兩正交的, , , ,維向量維向量若若定理定理rrn 2121 1例例1 1 已知三維向量空間中兩個(gè)向量已知三維向量空間中兩個(gè)向量 121,11121 正交，試求正交，試求 使使 構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基基.3 321 , 向量

4、空間的正交基向量空間的正交基., 212121的的正正交交基基向向量量空空間間是是則則稱(chēng)稱(chēng)組組是是兩兩兩兩正正交交的的非非零零向向量量且且的的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間若若VVrrr 即即 02,0,3213232131xxxxxx 解之得解之得. 0,231 xxx則有則有若令若令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基.321 ,則有則有0,3231 解解 ., 0, 213213正正交交且且分分別別與與設(shè)設(shè) Txxx 規(guī)范正交基規(guī)范正交基. ,)( , 3212121 的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基是是則稱(chēng)則稱(chēng)向量向量

5、兩兩正交且都是單位兩兩正交且都是單位如果如果的一個(gè)基的一個(gè)基是向量空間是向量空間維向量維向量設(shè)設(shè)定義定義VeeeeeeRVVeeenrrnr .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如12,re ee若是規(guī)范正交基， 則1122rreee ,Tiiiee其中（1）正交化正交化，取，取 ，11a2122111,aa ,21的的一一個(gè)個(gè)基基為為向向量量空空間間若若Vaaar 求規(guī)范正交基的方法求規(guī)范正交基的方法稱(chēng)稱(chēng)為為這這樣樣一一個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題價(jià)價(jià)等等與與使使位位向向量量的的單單就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基要要求求的

6、的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間設(shè)設(shè),21212121rrrreeeeeeVV ., 21范正交化范正交化這個(gè)基規(guī)這個(gè)基規(guī)把把r 121121112211,rrrrrrrrraaaa 111,.rrrbb那么兩兩正交 且與等價(jià)（2）單位化，?。﹩挝换?，取121212,rrreee.,21的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為那那么么Veeer313233121122,aaa 11 , .rr上述由線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組構(gòu)造出正交向量組的過(guò)程 稱(chēng)為施密特正交化過(guò)程施密特正交化過(guò)程例例3.,014,131,121 321量規(guī)范正交化特正交化過(guò)程把這組向試用施密設(shè)aaa解解;11ab 取取bbbaab121

7、2221, 12164131;11135 bbbabbbaab222312133321, 1113512131014.1012 再把它們單位化，取再把它們單位化，取bbe111 ,12161 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即合所求即合所求eee例例.,111 321321兩兩正交兩兩正交使使求一組非零向量求一組非零向量已知已知aaaaaa 解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即應(yīng)滿(mǎn)足方程應(yīng)滿(mǎn)足方程.110,10121 它的基礎(chǔ)解系為它的基礎(chǔ)解系為把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于

8、于是是得得其其中中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a定義定義4 4 . , 1正正交交矩矩陣陣為為稱(chēng)稱(chēng)則則即即滿(mǎn)滿(mǎn)足足階階方方陣陣若若AAAEAAAnTT 122333212333221333正交矩陣的性質(zhì)111.性質(zhì) 、 正交矩陣的行列式等于 或12AAA .T性質(zhì) 、 如果 是正交矩陣，則13AA.性質(zhì) 、 如果 是正交矩陣，則也是正交矩陣性質(zhì)4、 如果A,B是同階正交矩陣，則AB也是正交矩陣.證明證明TAAEE 定理定理 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211 為正交矩陣的充要

9、條件是為正交矩陣的充要條件是 的行向量都的行向量都是單位向量且兩兩正交是單位向量且兩兩正交AA ETnTTn ,2121ETnnTnTnTnTTTnTT 212221212111 njijijiijTji, 2 , 1, 0;, 1 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 性質(zhì)性質(zhì) 正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變證明證明,為正交變換為正交變換設(shè)設(shè)Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 則則有有定義定義5 5 若若 為正交陣，則線(xiàn)性變換為正交陣，則線(xiàn)性變換 稱(chēng)為正稱(chēng)為正交變換交變換Pxy P1 1將一組基規(guī)范正交化的方法：將一組基規(guī)范正交化的方法： 先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將先用施密特正交化方