泰勒公式的證明及應(yīng)用(1)

1、一摘要3前言3      二、 泰勒公式極其極其證明 .3                         （一）帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式3（二）帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式4（三）帶有柯西型余項(xiàng)的泰勒公式5（四）積分型泰勒公式6（五）二元函數(shù)的泰勒公式.7三、 &#

2、160;泰勒公式的若干應(yīng)用8（一）利用泰勒公式求極限8（二）利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)9（三）利用泰勒公式判斷斂散性10（四）利用泰勒公式證明中值定理12（五）利用泰勒公式證明不等式13（六）利用泰勒公式求近似和值誤差估計(jì)15（七）利用泰勒公式研究函數(shù)的極值16四、 我對(duì)泰勒公式的認(rèn)識(shí)16參考文獻(xiàn) 17英文翻譯17公式的證明及應(yīng)用【摘要】數(shù)學(xué)中的著名的公式都是一古典的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它們?cè)跀?shù)學(xué)，化學(xué)與物理領(lǐng)域都有很廣泛的運(yùn)用。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中公式有著重要地位，它對(duì)計(jì)算極限，斂散性的判斷，不等式的證明、中值問(wèn)題及高階導(dǎo)的計(jì)算以及近似值的計(jì)算等方面都有很大的作用。在本文中，我將談到關(guān)于公式的幾種形式及其證明方法

3、并對(duì)以上幾個(gè)方面進(jìn)一步的運(yùn)用，和我對(duì)幾者之間的一些聯(lián)系和差異的看法。并通過(guò)具體事例進(jìn)行具體的說(shuō)明相關(guān)運(yùn)用方法【關(guān)鍵詞】泰勒公式 佩亞諾余項(xiàng) 拉格朗日余項(xiàng) 極限 級(jí)數(shù)1、常見(jiàn)公式定義及其證明我們通常所見(jiàn)的公式有皮亞諾型、拉格朗日型、柯西型與積分型，還有常用的二元函數(shù)的公式和高階函數(shù)的公式。定義：設(shè)函數(shù)存在n階導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成n次多項(xiàng)式，稱(chēng)為函數(shù)在該點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)稱(chēng)為泰勒系數(shù)。1.1首先是帶皮亞諾型余項(xiàng)的公式：若函數(shù)在點(diǎn)存在且有階導(dǎo)數(shù)，則有即. (2)其中是由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造的一個(gè)次多項(xiàng)式， （3）稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的多項(xiàng)式，的各項(xiàng)系數(shù)稱(chēng)為系數(shù)。從上易知與其多項(xiàng)式在點(diǎn)有相同的函數(shù)值和相同的直

4、至階導(dǎo)數(shù)值，即，. （4）證明：設(shè)，現(xiàn)在只要證 由關(guān)系式（4）可知，并易知 ，因?yàn)榇嬖?，所以在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)。于是，當(dāng)且時(shí)，允許接連使用洛必達(dá)法則次，得到稱(chēng)為公式的余項(xiàng)，形如的余項(xiàng)稱(chēng)為佩亞諾型余項(xiàng)，所以（2）式又稱(chēng)為帶有皮亞諾型余項(xiàng)的公式。1.2其次是帶有拉格朗日型余項(xiàng)的公式：若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，至少存在一點(diǎn)，使得 （1）證明：作輔助函數(shù)所需證明的（1）式即為或不妨設(shè)，則與在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，又因，所以由柯西中值定理證得，其中。它的余項(xiàng)為，稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng)。所以（1）式又稱(chēng)為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的公式。1.3柯西型公式：若函數(shù)在上存在

5、直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，使得 （5）證明：作輔助函數(shù)應(yīng)用柯西中值定理可得，存在，使得令 即可得到（5）式。1.4 積分型公式：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到的導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)x 在內(nèi)時(shí), 可表示為的一個(gè)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和:其中 證明：由公式得：即 從而有其中 1.5 二元函數(shù)的公式：若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)內(nèi)的任一點(diǎn)，存在相應(yīng)的，使得 （6）（6）式稱(chēng)為二元函數(shù)在點(diǎn)的階公式，其中證明：作輔助函數(shù) 由定理的假設(shè)，一元函數(shù)在上滿(mǎn)足一元函數(shù)定理?xiàng)l件，于是有 （7）應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可求得的各階導(dǎo)數(shù)：當(dāng)時(shí)，則有 （8）及 （9）將（8），（

6、9）式代入（7）式就得到了公式（6）。2、公式的應(yīng)用： 求極限、求高階導(dǎo)數(shù)、判斷斂散性、證明中值定理、證明不等式、求近似值和誤差估計(jì)、研究函數(shù)極值2.1 求極限例1、求極限解：又，將用公式展開(kāi)則2.2 求高階導(dǎo)數(shù)例2、設(shè)，求。分析：這道題若直接求高階導(dǎo)數(shù)比較困難，因此我們考慮在處的麥克勞林展開(kāi)式。解：（）又在處的麥克勞林展開(kāi)式為（）比較（），（）中的系數(shù)可得，由展開(kāi)的唯一性，并有公式的各項(xiàng)系數(shù)則可得到高階導(dǎo)數(shù)，即。在高階倒數(shù)的求解中能更加直接的借助公式的特殊形式更快更直接的對(duì)其進(jìn)行展開(kāi)，再對(duì)展開(kāi)的各項(xiàng)進(jìn)行最基本的導(dǎo)數(shù)求解使計(jì)算更加的簡(jiǎn)潔方便。23 判斷斂散性例3、討論級(jí)數(shù)，的斂散性。解：，于是

7、當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。例4、設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。分析：由條件中的在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)可知使用公式，再由可得出關(guān)系，這使得在點(diǎn)處的展開(kāi)式更簡(jiǎn)單，便于利用比較判別法判斷收斂。解：由及在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)可得出，將在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)展開(kāi)成一階公式，又由題中在屬于某鄰域內(nèi)含點(diǎn)的一個(gè)小閉區(qū)間連續(xù)，因此存在，使，于是，令，則。因?yàn)槭諗浚越^對(duì)收斂。例5、判斷廣義積分的斂散性。分析：在判斷廣義積分收斂性時(shí)，通常選取廣義積分進(jìn)行比較，在此通過(guò)研究無(wú)窮小量的階來(lái)有效地選擇中的值，從而判定的斂散性。我們要注意到如果收斂，則也收斂。而在這道題中，由于

8、，所以是瑕點(diǎn)，由比較判別法可知，若時(shí)，收斂；時(shí)，發(fā)散。解：從而有。因?yàn)榘l(fā)散，所以發(fā)散，因此原積分發(fā)散。例6、討論無(wú)窮積分的斂散性。解：選取，因?yàn)?，而，由無(wú)窮積分的斂散性判別定理知收斂。對(duì)于公式在判斷數(shù)學(xué)積分問(wèn)題中收斂性起到的作用通過(guò)以上例子有了具體的說(shuō)明。數(shù)學(xué)中的斂散性根據(jù)不同的積分形式有不同的方法判斷，而公式在很多的積分都有其運(yùn)用其主要原因就是其能使得式子在經(jīng)過(guò)展開(kāi)后變成簡(jiǎn)單的式子更加直觀方便的計(jì)算。2.4 證明中值定理例7、設(shè)函數(shù)在上三階可導(dǎo)。證明存在一點(diǎn)，使得證明：設(shè)存在一個(gè)常數(shù)，使得令則。由定理可知，至少存在一點(diǎn)，使得。即將在展開(kāi)為公式有，比較得，則。2.5 利用證明不等式2.5.1證

9、明積分不等式例8、設(shè)是上的連續(xù)正值函數(shù)，且，證：。證明：將在點(diǎn)展開(kāi)為一階展式。2.5.2證明導(dǎo)數(shù)不等式例9、設(shè)函數(shù)在上二次可微，且，試證存在一點(diǎn)使。分析：函數(shù)在上二次可微，且最小值，所以在內(nèi)一定存在極值點(diǎn)，該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，題中可知二次可微，我們可以想到展式，并且是在最小值點(diǎn)處展開(kāi)。解：不妨設(shè)在為在上的最小值點(diǎn)，則，在處的展開(kāi)得：，是介于與之間的某個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即。所以，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，。終上所述，存在一點(diǎn)使。利用公式證明函數(shù)不等式步驟：(1)、構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，選一個(gè)展開(kāi)點(diǎn)，然后寫(xiě)出在處的帶有拉格朗日余項(xiàng)的公式；那么我們?cè)撨x擇哪個(gè)點(diǎn)處展開(kāi)呢？函數(shù)在一個(gè)區(qū)間性質(zhì)常?？捎蓞^(qū)間中的一些特殊點(diǎn)來(lái)反映，如

10、端點(diǎn)、分點(diǎn)、零點(diǎn)、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、拐點(diǎn)等。此外，區(qū)間中的任意點(diǎn)也是分析函數(shù)性質(zhì)不可或缺的點(diǎn)，運(yùn)用時(shí)，就是將這些點(diǎn)中導(dǎo)數(shù)信息相對(duì)較充分的點(diǎn)選作展開(kāi)中心。（2）根據(jù)所給的最高階導(dǎo)數(shù)的大小，函數(shù)的界或三角形不等式對(duì)進(jìn)行放縮。2.6 求近似值誤差估計(jì)例10、計(jì)算的值，使其誤差不超過(guò)。解：由公式得故，當(dāng)時(shí)，便有略去求得的近似解為2.7 研究函數(shù)的極值例11、求函數(shù)f(x,y)=x4+y4-x2-2xy-y2的極值解fx(x,y)=4x3-2x-2y=0，fy(x,y)=4y3-2x-2y=0，得駐點(diǎn)（1，1），（-1，-1），（0，0）。 判斷：求二階偏導(dǎo) fxx(x,y)=12x2-2, fxy(x,

11、y)=-2, fyy(x,y)=12y2-2，在點(diǎn)（1，1）處，A=fxx(1,1)=10, B=fxy(1,1)=-2，C=fyy(1,1)=10因B2AC<0，且A>0，故f(1,1)=-2為極小值類(lèi)似可得f(-1,-1)= -2為極小值在點(diǎn)（0，0）處，A=B=C= -2，B2-AC=0，此時(shí)應(yīng)用極值定義判斷f(0,0)=0是否為極值對(duì)足夠小的正數(shù)e，有f(e，0)=e2（e2-1）<0, f(e，-e)=2e4>0這說(shuō)明在點(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)，既有函數(shù)值大于f(0,0)的點(diǎn)，又有函數(shù)值小于f(0，0)的點(diǎn)，故f(0，0)非極值.3. 我對(duì)公式的認(rèn)識(shí)3.1公式

12、的幾種形式在前面的證明和運(yùn)用中我對(duì)其進(jìn)行了具體的單獨(dú)運(yùn)用?，F(xiàn)在我來(lái)討論下這幾種形式中的一些特點(diǎn)。首先帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式才需要函數(shù)N+1階可導(dǎo)，而帶皮亞羅余項(xiàng)的泰勒公式只需要函數(shù)N階可導(dǎo)。這就說(shuō)明了兩者在具體的運(yùn)用上存在著必然的聯(lián)系和差異，兩者在在數(shù)學(xué)中的可以把Lagrange余項(xiàng)看做Peano余項(xiàng)的進(jìn)一步發(fā)展，但前提是Lagrange余項(xiàng)此時(shí)的可導(dǎo)條件更加的嚴(yán)格。因此這兩者在學(xué)習(xí)是可以相互結(jié)合學(xué)習(xí)，和運(yùn)用。3.2 在學(xué)習(xí)了冪級(jí)數(shù)之后我們對(duì)公式的更深一步的了解認(rèn)識(shí)到在將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)時(shí)就是在n->，從而導(dǎo)致在不確定因素得以消除，而公式也變成了精確的冪級(jí)數(shù)等式。但前提的考慮冪級(jí)數(shù)的收斂域等問(wèn)題。3.3 公式中的展開(kāi)是函數(shù)的另一種表達(dá)形式，而不是固定的而是看要求展開(kāi)的級(jí)數(shù)而定，在數(shù)學(xué)中展開(kāi)的函數(shù)肯定是無(wú)限項(xiàng)的，而最關(guān)建的是函數(shù)的具體級(jí)數(shù)收斂性決定的，因?yàn)楹瘮?shù)并不是在每一點(diǎn)都收斂因此才決定了泰勒展開(kāi)的限制?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1 華東師范大學(xué)