2020屆河南省名校聯(lián)盟高三尖子生第七次調(diào)研考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2020屆河南省名校聯(lián)盟高三尖子生第七次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題、單選題1 1已知集合A x|x 0，集合B2x|x ln x2x 12，則AI BC C0,3D D 2,3x2x 12 03,4，故選： A.A.【點(diǎn)睛】 本題主要考查集合的交集運(yùn)算，涉及一元二次不等式的解法，以及具體函數(shù)的定義域， 化簡(jiǎn)集合為最簡(jiǎn)形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng) . .2 2復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P 1,2，Q 2,1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，則z1z2（ ）A A5iB B 5i5iC C5 iD D5 i【答案】 B B【解析】 先寫出z1，z2，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求z1z2. .【詳解】故選： B

2、.B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，由點(diǎn)的坐標(biāo)表示出復(fù)數(shù)是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的 核心素養(yǎng) . .3 3某自媒體為了了解公眾網(wǎng)上購物的情況， 收集并整理了 20182018 年全年每月甲、 乙兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)購物平臺(tái)點(diǎn)擊量（單位：萬次）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖：第 1 1 頁 共 2020 頁A A 0,4B B4,3【答案】A A【解析】先化簡(jiǎn)集合B，再求解AI B. .【詳解】因?yàn)锽x|y ln x2x12 xx| x2x 12 0 x|3x4又A x|x 0，所以AIB 0,4. .依題意z11 2i，z22 i，所以z1z21 2i 2 i2 i 4i 2 5i. .有漏解的情況，

3、側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)第 2 2 頁共 2020 頁根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A A 全年甲平臺(tái)的點(diǎn)擊量要大于乙平臺(tái)的點(diǎn)擊量B B 全年各月甲平臺(tái)點(diǎn)擊量的中位數(shù)是2828C C .全年各月乙平臺(tái)點(diǎn)擊量的極差為3838D D. 8 8 月份甲、乙兩個(gè)平臺(tái)的點(diǎn)擊量相差最多【答案】C C【解析】 結(jié)合圖表及數(shù)據(jù)計(jì)算出平均數(shù)，中位數(shù)，極差等，再結(jié)合選項(xiàng)可求結(jié)果 【詳解】計(jì)算可知全年甲、乙平臺(tái)的點(diǎn)擊量分別為301301、341341，故選項(xiàng) A A 錯(cuò)誤；全年各月甲平臺(tái)20 28點(diǎn)擊量的中位數(shù)是24，故選項(xiàng) B B 錯(cuò)誤；全年各月乙平臺(tái)點(diǎn)擊量的極差為249 11 38，故選項(xiàng) C C 正確；

4、7 7 月份甲、乙兩個(gè)平臺(tái)的點(diǎn)擊量相差為3232, 8 8 月份相差3030，故選項(xiàng) D D 錯(cuò)誤 故選：C.C.【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)別，明確統(tǒng)計(jì)量的求解方法是本題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)據(jù)處理的核心素養(yǎng) 4 4已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為 2 2,前 3 3 項(xiàng)和S36，則其公比q等于（）A A . 1 1B B. -2-2C C. 2 2D D . 1 1 或-2-2【答案】D D【解析】利用首項(xiàng)和公比表示前三項(xiàng)的和，解方程可求公比【詳解】2由題意知S3印a2a36, 2 2q 2q 6，解得q 1或q 2. .故選：D.D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的和，利用等比數(shù)列的和求解公比時(shí)要

5、注意公式的選擇，否則會(huì)甲22第3 3頁共 2020 頁【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率， 利用共用雙曲線的漸進(jìn)線求出雙曲線的方程是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng) 6 6 燈籠是傳統(tǒng)的照明工具，在傳統(tǒng)節(jié)日各家庭院中掛上各種彩燈更顯得吉祥喜慶，某庭院掛著一盞表面積為 4 4 平方尺西瓜燈（看成球），燈籠中蠟燭的燈焰可以近似看成底面半徑為 2 2 寸高為 4 4 寸的圓錐，現(xiàn)向該燈籠內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自燈焰內(nèi)的概率為 （注:1 1 尺=1010 寸）（）A A . 0.0040.004B B. 0.0120.012C C. 0.0240.024D D . 0.0360.036【答案】A

6、A【解析】分別計(jì)算燈籠的體積和燈籠內(nèi)的燈焰的體積，結(jié)合幾何概型的求解方法可求結(jié)果 【詳解】設(shè)該燈籠的半徑為R，則4 R24，解得R 1，所以該燈籠的體積4144000V立方尺立方寸，該燈籠內(nèi)的燈焰的體積333VI-2 4色 立方寸，所以該點(diǎn)取自燈焰內(nèi)的概率為335 5 與雙曲線Ci:1 1 有相同的漸近線，且過點(diǎn).2,2.3的雙曲線C2的離心率是（）A A 衛(wèi)3B B.153D D 玄3 3【答【解設(shè)出雙曲線利用所過點(diǎn)求出雙曲線C2的方程, 然后求解離心率【詳設(shè)雙曲線x2C2的方程為4k2y3k1，將點(diǎn)2、2,2：3代入得4k121，解得3k所以雙曲線C2的方程為2y_6X21，則離心率8故選

7、：D.D.0.004,第4 4頁共 2020 頁16ViWV 40003故選：A.A.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型，明確所求事件和事件空間蘊(yùn)含的幾何度量是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng) 2 27 7 .過原點(diǎn)的直線I與橢圓C : -y1交于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn),42卄uur uuu右FA FB的最大值與最小值分別為A A .2 2B B.,2,2C C. 2 2【答案】C C數(shù)知識(shí)求解最值【詳解】依題意，可設(shè)A小0Bx,y, ,又F.2,0uuu-，則FAx。、.2, y。,uuufuuu uuu2 x22y，F(xiàn)Bx 2 ,y。，所以FA FB因?yàn)閥2 4x4 xouuu，所

8、以FAuuuFB 2xo22XQy0422因?yàn)? x 4，所以FAFB的最大值與最小值分別為M 0,m 2，所以Mm2Mm2 . .故選：C.C.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓中的最值問題， 綜合了向量數(shù)量積的運(yùn)算， 表示出目標(biāo)式， 結(jié)合目標(biāo) 式的特點(diǎn)選擇合適的方法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng) 8 8. “ 20202020 含有兩個(gè)數(shù)字 0 0,兩個(gè)數(shù)字 2 2,“ 21212121 含有兩個(gè)數(shù)字 1 1,兩個(gè)數(shù)字 2 2,則含有兩個(gè)數(shù)字 0 0,兩個(gè)數(shù)字 2 2 的四位數(shù)的個(gè)數(shù)與含有兩個(gè)數(shù)字1 1,兩個(gè)數(shù)字 2 2 的四位數(shù)的個(gè)數(shù)之和為（）A A. 8 8B B. 9 9C C. 1010D D

9、. 1212【答案】B B【解析】 先求含有兩個(gè)數(shù)字 0 0，兩個(gè)數(shù)字 2 2 的四位數(shù)，再求兩個(gè)數(shù)字1 1,兩個(gè)數(shù)字 2 2 的M,m，則M m(【解析】設(shè)出點(diǎn)A x0, y0,Burn uurx, y,表示出FA FB2 x；y；,利用二次函第5 5頁共 2020 頁四位數(shù)，可得答案【詳解】2第一類，含有兩個(gè)數(shù)字 o o，兩個(gè)數(shù)字 2 2 的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為C33；第二類，含有兩個(gè)數(shù)字 1 1，兩個(gè)數(shù)字 2 2 的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為C4 6，由分類加法計(jì)數(shù)原理 得，滿足題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為3 6 9. .故選: :B.B.【點(diǎn)睛】本題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意特殊元素的優(yōu)先考慮，屬于基

10、礎(chǔ)題 9 9 閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果是（）3A A B B. -2-2C C 0 0D D 2 22【答案】B B【解析】結(jié)合程序框圖，明確該程序是求數(shù)列n 1ancos的前 20192019 項(xiàng)的和，結(jié)3合數(shù)列的周期性可求和【詳解】因?yàn)閍n是以 6 6 為周期的數(shù)列，且a1a2a3a6設(shè)ann 1cos-，該程序是求數(shù)列an的前 20192019 項(xiàng)的和,所以S2019336 0 a2017a2018a2019a1a2a32. .第6 6頁共 2020 頁故選：B.B.【點(diǎn)本題主綜合了數(shù)列的性質(zhì)，明確程序框圖的含義是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng)第7 7

11、頁共 2020 頁【答案】D D可求單調(diào)遞減區(qū)間【詳解】T 2119由圖知，周期T滿足1，所以T 4，4222又T，所以，則f x Acos x2 221010 .函數(shù)f x Acos xA 0,0,0的部分圖象如圖所示，且13 12C.2,27 112,2【解析】結(jié)合圖象可得函數(shù)的周期，進(jìn)而可得2 2，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得-，然后廠,1919因?yàn)閒一A,所以cos 2223即cos1，所以，所以44因?yàn)锳 0,所以由2kx2k24711k 1得一x一.22故選：D.D.f xAcos x 24，得4k1x 4k - k Z，取2 2【點(diǎn)睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)解析式,同時(shí)求解單

12、調(diào)區(qū)間， 明確各個(gè)參數(shù)的求解方法是解決本題的關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng)1111.已知數(shù)列an滿足a11,an 13an，則數(shù)列4an1anan 1的前 1010 項(xiàng)和SoA A.2,2B B.2f x的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是(第8 8頁共 2020 頁【答案】C C稱，結(jié)合直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)系可求實(shí)數(shù)k的取值范圍. .【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f X滿足f 1 X f 1 X 0,所以函數(shù)f X的圖象關(guān)于點(diǎn)1,0成中心對(duì)稱【答案】C C1B B.131012911D D141【解析】先對(duì)已知條件變形可得進(jìn)而可得法可求 SwSw 【詳因?yàn)閍n 1話，所以1an 1an所以數(shù)列1是首項(xiàng)為an3 3、公

13、差為所以4n 1 4n 3anan11，利用裂項(xiàng)相消4n 1的等差數(shù)列,所以4n 1，所以anan所以So111故選：C.【點(diǎn)本題主查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)1212 .函數(shù)f X滿足f 1 XA A.2,3 414n14根據(jù)條件求解出數(shù)列的通項(xiàng)公式是求解的關(guān)鍵,X 0，當(dāng)X 1時(shí)，f X6x側(cè)重考8 若函數(shù)x 1有 5 5 個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（2,3 4B B.2,3 4 kD D.k2.3 4【解析】先根據(jù)f0得出函數(shù)f x的圖象關(guān)于點(diǎn)1,0成中心對(duì)第9 9頁共 2020 頁函數(shù)F x fXkX1有五個(gè)零點(diǎn)，即方程f x kX10有五個(gè)實(shí)數(shù)根,第1010頁共

14、2020 頁即函數(shù)y f x的圖象與直線y k x 1有 5 5 個(gè)交點(diǎn). .因?yàn)橹本€y k x 1過點(diǎn)1,0，且 f(1)=of(1)=o,只需直線y k x 1與2f x x 6x 8 x 1的圖象有 2 2 個(gè)交點(diǎn)即可. .故選：C.C.【點(diǎn)睛】問題，結(jié)合函數(shù)圖象容易得出結(jié)論，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)二、填空題r rrr r rrr1313 已知向量 a a 1,11,1 ,b 5,2,c 2a b，則a在c方向上的投影是 _15先求出向量c的坐標(biāo)，利用公式1故答案為：-. .5【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的投影，明確平面向量的投影的求解方法是關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). .將ykx

15、 1代入y2x 6x 8x 1設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為P X,Q X2,y2，則6 k24 8k06 k2，解得k2.38 k6k 1 0，整理得2x6 kx 8 k 0,62k4 8 k0 xX22即% %1X21 04.4.本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)問題,零點(diǎn)個(gè)【答案】rr可得a在c方向上的投影r2a3,4，則a在c方向上的投影是15. .第1111頁共 2020 頁x 2y 01414 .已知實(shí)數(shù)x,y滿足x y 5 0，則z x 3y的取值范圍是_. .3x y 7 0第1212頁共 2020 頁【答案】1,11【解析】根據(jù)約束條件作出可行域，平移Io找到z x 3y取最值的點(diǎn)，然后可得范圍 【

16、詳解】由線性約束條件作出可行域，如下圖三角形ABC陰影部分區(qū)域(含邊界)，作直線Io:x 3y 0，平移直線Io，當(dāng)過點(diǎn)A 1,4時(shí)取得最大值z(mì) 13 4 11,當(dāng)過點(diǎn)B 2,1時(shí)取得最小值z(mì) 2 3 11，所以z x 3y的取值范圍是1,11. . 故答案為：1,11. .【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃，利用線性規(guī)劃求解最值時(shí)，準(zhǔn)確作出圖形是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng) 1515.已知函數(shù)f xexacosx 1在點(diǎn)A 0, f 0處的切線方程為y kx 4，則a k的值為_. .【答案】3 3【解析】先求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合f (0) k和f 0 2 a 4可得a k的值 【詳解】由題知，f

17、 (x) exasinx，因?yàn)楹瘮?shù)f x exacosx 1在點(diǎn)A 0, f 0處的切線方程為y kx 4，所以f (0)1 k,a k 3. .故答案為：3.3.【點(diǎn)睛】2 a，切點(diǎn)A 0,2 a在切線上，所以2a 1 0 4，所以a 2，所以第1313頁共 2020 頁本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用曲線的切線求解參數(shù)時(shí)，主要從兩個(gè)方面建立方程第1414頁共 2020 頁組，一是切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率；二是切點(diǎn)既在曲線上又在切線上，側(cè)重考查數(shù) 學(xué)抽象的核心素養(yǎng) 1616.已知四棱錐P ABCD中，PA平面ABCD,PA 2，底面ABCD是邊長(zhǎng)為 2 2的正方形，用與直線PA、BD都平行

18、的平面截此四棱錐，截面與AB、AD、PD、PC、PB分別交于F、G、H、M、E,則截面EFGHM面積的最大值為 _ . .【答案】4LZ3【解析】先根據(jù)題意明確截面的形狀，然后表示出截面的面積，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)求解最值. .【詳解】AF設(shè)01，連接AC,BD,AC交BD,FG分別于0,N，連接NM,ABPA平面ABCD, PA BD, PA/平面EFGHM, EF / /PA, MNMN / / /PA/PA ,AB AF 1,EF /GH /MNAB故答案為：乞2. .EF BFPA ABGH /PA, EF 2 1 BD/平面EFGHM，連接EH, -FG/BD,EH /BD,AN FG

19、AO BDAFAB,FG/EH,MN CNAP AC2 AO四邊形EFGH為矩形,FGBD2 2，MN2,MNFG,S截面 EFGHMS矩形EFGHSMEH，當(dāng)32時(shí)3時(shí)，S截面 EFGHM max4.23第1515頁共 2020 頁3【點(diǎn)睛】本題主要考查立體圖形中的最值問題,動(dòng)態(tài)最值的確定的關(guān)鍵是明確目標(biāo)的關(guān)系式，側(cè)第1616頁共 2020 頁重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)三、解答題(2)利用余弦定理求出AD 1，進(jìn)而利用面積公式可求【詳解】1_(1)Tasi n AcosC csi n 2Ax3b cos A2，二a sin AcosC csin A cos A 3b cos A,由正

20、弦定理得sin A sin AcosC cosAsinC. 3sin BcosA, sin Asi n A C ,3s inBcosA，即si n As in B.3si n BcosA,T0 B, si nB 0, si nA . 3 cosA,顯然cosA 0, tan A 0 A , A -. .3(2 2)在ADC中，由余弦定理知，DC2AD2AC22AD AC cos A,即.7 AD2322 3 AD1,2解得AD 1或AD 2(舍), AB 2AD, BD AD 1,S S11 33SBDCSACD13224【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，三角形中邊角進(jìn)行轉(zhuǎn)

21、化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng) 1717 .已知a,b,c分別是ABC內(nèi)角A,B，C所對(duì)的邊,1asin AcosC csin 2A2, 3b cosA. .(1(1)求角(2(2)已知D是AB上一點(diǎn)，AB2ADAC，CD、.7，AC 3，求 BDCBDC 的面【答案】(1 1)A；( 2 2)3SBDC334【解析】(1 1)利用正弦定理化邊為角，可得tan A, 3，進(jìn)而可得角A；第1717頁共 2020 頁1818 .在如圖所示的多面體中， 四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為 2 2 的菱形，BADBAD 6060 ,DM平面ABCD,AN/DM,DM 2,AN 1. .（1 1）證明：

22、AC/平面BMN;（2 2）求直線MC與平面BMN所成角的正弦值 1【答案】（1 1）見解析；（2 2）-4【解析】（1 1）作輔助線，證明線線平行，從而得到線面平行；（2 2）建立直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，結(jié)合線面角的公式可求【詳解】（1 1）證明：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為Q，則Q為BD的中點(diǎn)，取BM的中點(diǎn)P，連接PQ，則PQ/DM，又AN/DM，所以PQ/AN，1因?yàn)镻Q DM 1，AN 1，2所以四邊形PQAN是平行四邊形，則AQ/PN，因?yàn)镻N平面BMN，AQ平面BMN，所以AQ/平面BMN，即AC/平面BMN. .（2 2）取AD的中點(diǎn)0，連接BO，貝V BO AD，易得BO、.3，

23、因?yàn)镈M平面ABCD，所以平面ADMN平面ABCD,所以B0平面ADMN. .建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則0 0,0,0,B . 3,0,0,C,C 3,2,03,2,0,M 0,1,2,N 0, 1,1. .UULTLujun所以MB .3, 1, 2,MNUULUl0, 2, 1,MC .3,1, 2設(shè)平面BMN的一個(gè)法向量為mx,y,z,0，即3X02yy 2zz 0第1818頁共 2020 頁UULVvMBm貝 yUULUIvMNm第1919頁共 2020 頁取y 1，得x 3,z 2，所以m .3 1,2設(shè)直線MC與平面BMN所成角為uuuir -ULUD LT、I IMC則si

24、ncos（MC,m）、;L|MC【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面平行的證明及線面角的求解，線面平行一般利用線線平行或者面面平行來證明，線面角一般利用法向量進(jìn)行求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng) 1919 . .某教輔公司近年重點(diǎn)打造出版了一套高考一輪復(fù)習(xí)資料，為了調(diào)查讀者對(duì)這套教輔的滿意程度，該公司組織了免費(fèi)送書活動(dòng)，并邀請(qǐng)了部分接受贈(zèng)送的讀者參與了問卷調(diào)查，其相關(guān)評(píng)分(滿分 100100 分)情況統(tǒng)計(jì)如下圖所示：為了判斷今年該套教輔的銷售情況，公司將該教輔前五年銷售數(shù)量和年份情況統(tǒng)計(jì)如下：年份代碼t1 12 23 34 45 5銷售量y(萬冊(cè))5.65.65.75.76 66.26.26.56.5

25、(1)(1) 求參加問卷調(diào)查的讀者所給分?jǐn)?shù)的平均分；(2)(2)以頻率估計(jì)概率，若在參加問卷調(diào)查的所有讀者中隨機(jī)抽取3 3 人，記給分在40,50或80,100的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)(3)根據(jù)上表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于 t t 的線性回歸方程$. .1 - 443第2020頁共 2020 頁附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)ti，y,i 1,2,3, ,n，其回歸直線$ b $的斜率和截距的計(jì)n._tit yiy算公式：$_n，$ y $t. .titi 19水【答案】（1 1）65；（ 2 2）X的分布列見解析，E X ；（ 3 3）$0 2盤531107 【解析】（1 1）利用頻率分布直方圖

26、區(qū)間中點(diǎn)代表區(qū)間平均數(shù)進(jìn)行求解；（2 2） 利用二項(xiàng)分布的概率求解可求分布列，結(jié)合二項(xiàng)分布期望公式可求期望；（3 3）根據(jù)公式，分別求解相關(guān)量，然后可得直線方程【詳解】（1 1）依題意，所求平均分x 35 0.02545 0.15 55 0.265 0.2575 0.22585 0.195 0.050.875 6.7511 16.25 16.875 8.54.7565. .（2 2）隨機(jī)抽取 1 1 人, 給分在40,50或80,100的概率p3，故X:B3?1010327343173441則P X 0，P X :1C310100010 1010001 23273189327P X 2C；，P

27、 X 310101000101000故X的分布列為:X0 01 12 23 3P34344118927100010001000100039故E X 3 -.10 105.6 5.75_tit yriy20.41（3 3） 由題意可知:t510.30 1 0.2 2 0.5 2.3，5- 2tit22222 1 0 122210，5第2121頁共 2020 頁 y關(guān)于t的線性回歸方程為$ o.23t 5.31. .【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的分布列期望及回歸直線方程的求解，綜合性較強(qiáng)，難度適中，回歸直線求解時(shí)要計(jì)算準(zhǔn)確，側(cè)重考查數(shù)據(jù)處理的核心素養(yǎng)22020 .拋物線C:x py p 0的焦點(diǎn)為

28、F 0,1，直線I的傾斜角為且經(jīng)過點(diǎn)F,直線I與拋物線C交于兩點(diǎn)A,B. .(1)若AB 16，求角；(2)分別過A,B作拋物線C的切線h,I2，記直線I1,I2的交點(diǎn)為E，直線EF的傾斜角為 . .試探究是否為定值，并說明理由. .2【答案】(1)或；(2 2)為定值，理由見解析33【解析】(1 1)先根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)確定拋物線的方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可求角；(2 2)通過導(dǎo)數(shù)，表示出切線的斜率，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式求出EF的斜率,【詳解】2(1)由拋物線x py p 0的焦點(diǎn)為F 0,1,可得p 4,所以拋物線C的方程為x24y. .t$titi 15yiyti2

29、.3106 0.23 3 5.31，進(jìn)而可得為定值. .設(shè)直線I的方程為ykx 1k tan，代入2x 4y，消去x,得y224k2y1y22 4k,所以ABy1y24k22 16,得k23,x3，所以tan(2)設(shè)直線l方程為y kx亍tan或32X1x1,一p2X2x2,_,p2第2222頁共 2020 頁將直線l的方程ykxp代入 x x2pypy，消去y，得x2pkx 0,442則x1X2pk，x-|x2p4 由y2x2求導(dǎo)，得yx,pp所以直線li,I2的斜率分別為ki2x-i則li,I2的方程分別為y-x p所以90為定值. .【點(diǎn)睛】 本題主要考查拋物線中的定值問題，設(shè)出直線，聯(lián)

30、立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出目標(biāo)式，是這類問題的常用求解方向，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)312121 .已知函數(shù)f x x ax,g x In x. .41(1)若函數(shù)f x的極小值不小于a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；4(2) 用max m, n表示m,n中的最大值，設(shè)h x max f x ,g x x 1，討論h x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)27【答案】(1 1)a 0； (2 2)見解析4【解析】(1 1)求解導(dǎo)數(shù)，討論a，求出極小值，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2(2)分類討論a的值，確定h x max f x , g x x 1的表達(dá)式，結(jié)合單調(diào)性,得出零點(diǎn)個(gè)數(shù) 【詳解】2X1.k22x2ppx；，y2x

31、2x2X2,ppp解組成的方程組，結(jié)合 ，得xpk，y_p衛(wèi)因?yàn)镕 0,衛(wèi)，所以kEF444pk2-，所以kEFk 1，所以EF l. .k2第2323頁共 2020 頁(1)f (x) 3x2a,第2424頁共 2020 頁當(dāng)a 0時(shí)，f(x)f(x)0 0,函數(shù)f x在R上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意;的零點(diǎn);x的零點(diǎn);a a 0 0 時(shí)，令f (x)0，解得xf f (x)(x)故函數(shù)fx在區(qū)間上單調(diào)遞增,故函數(shù)f解得(2)274當(dāng)a 0. .1時(shí),0,即a彳，則h1max f 1 , g0,則x0,即a-，則h 14max f 1 , g0，則x5， 即a4上無零點(diǎn)；彳時(shí)，方程21x4

32、xa在 1,1, 上無解，所以函數(shù)h x在 1,1,方程x2丄4xa在 1,1,上有一個(gè)解，所以函數(shù)-或x -a0 0，解得-a x a上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)在區(qū)間x有極小值f第2525頁共 2020 頁當(dāng)x 1,時(shí)，g xIn x0，故只需研究f x在 1,1,上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),只需研究方程21十xa在1,1,上的解的個(gè)數(shù)問題. .4x2118x31設(shè)t x x，則t x2x4x4x24x2，當(dāng)x 1,時(shí)，t x 0，t x在 1,1,上單調(diào)遞增， 所以tx t1夕即第2626頁共 2020 頁1,1,上有一個(gè)零點(diǎn)55綜上，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)h x有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)h x有一個(gè)零點(diǎn);44t5當(dāng)a時(shí)，函數(shù)h x無零點(diǎn). .4【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究極值問題時(shí)，要注意單調(diào)性的判定，利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題時(shí)，一般是利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，借助圖象變化研究零點(diǎn)，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素