高等數(shù)學(xué)的極限教學(xué)策略

1、高等數(shù)學(xué)的極限教學(xué)策略周繼振，許峰基金項(xiàng)目 本文受到安徽省教學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(基于網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)的公共數(shù)學(xué)課發(fā)展性評價(jià)機(jī)制)資助，第二作者受到安徽省精品資源共享課程(概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì))資助。作者簡介 周繼振(1976)，男，安徽合肥人，安徽理工大學(xué)理學(xué)院副教授，研究方向：函數(shù)空間和算子理論。(安徽理工大學(xué)理學(xué)院，安徽淮南，232001)摘要 通過分析高等數(shù)學(xué)教材上極限教學(xué)策略的不足和-語言的復(fù)雜性，針對理工學(xué)生的教學(xué)要求，提出了一個(gè)新的極限教學(xué)的方案，這一新方案能有效提高教學(xué)效率，促使學(xué)生理解極限的-語言。關(guān)鍵詞 極限 潛無限 實(shí)無限 中圖分類號(hào) G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A一、引言微積分主要研究

2、兩類分析運(yùn)算微分和積分運(yùn)算。這兩類運(yùn)算分析運(yùn)算是以極限概念作為基礎(chǔ)的，所以極限概念是微積分的一個(gè)重要的、基礎(chǔ)性的概念。可以說微積分中幾乎每一個(gè)概念都和它有關(guān)！然而，極限概念又是微積分教學(xué)中一個(gè)很難處理的概念。每一個(gè)初學(xué)者對-語言都視為畏途。許多數(shù)學(xué)家都回憶說當(dāng)他真正懂得極限的-語言時(shí)，他便成為一個(gè)數(shù)學(xué)家了。事實(shí)上，極限概念的-語言是微積分的精華，是歷史選擇的結(jié)果，它具有統(tǒng)一性、簡潔性等數(shù)學(xué)美的特征，具有豐富的辯證思想1。極限概念教學(xué)的難點(diǎn)體現(xiàn)在兩個(gè)地方，一是-語言具有辯證的抽象思維，帶有邏輯推理模式，是一個(gè)非常規(guī)的高等級抽象過程。對于剛從高中畢業(yè)，習(xí)慣于無辯證的簡單思維的大學(xué)生來說，接受這樣的

3、高等級抽象思維模式無疑是困難的。二是學(xué)生沒有正確的無窮觀，在極限的概念中混淆了潛無限與實(shí)無限?？傊瑢W(xué)生不明白在許多在有限的情況下，難以做到的事情，在無限的過程中則可以由此達(dá)彼2。對大學(xué)生來說，不明白為什么要用這套-語言來刻畫極限。二、極限的教學(xué)策略高等學(xué)校的文科生，不需要掌握嚴(yán)格的極限理論，只需要會(huì)求導(dǎo)、求積分運(yùn)算。理科學(xué)生對極限的要求是需要能夠用-語言求一些簡單數(shù)列和函數(shù)的極限，能夠應(yīng)用-語言作一些簡單的證明，例如證明正項(xiàng)級數(shù)收斂的比值法和根植法時(shí)，就需要用到語言。但相對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，理科學(xué)生也不需要對數(shù)列和函數(shù)極限有深入的認(rèn)識(shí)，僅要求會(huì)作一些簡單的運(yùn)用即可。極限教學(xué)策略已在多篇文

4、章中討論，見14。理工科的高等數(shù)學(xué)教材常采用如下的方式講授極限，一般是先讓學(xué)生學(xué)好嚴(yán)格的極限理論，打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，例如同濟(jì)版的高等數(shù)學(xué)5。極限的教學(xué)策略一般如下：引入數(shù)列.觀察到自然數(shù)n越來越大時(shí)，越來越接近1。教材上言，可以用絕對值刻畫兩者之間距離的大小，根據(jù)絕對值的大小，可以找出滿足條件的自然數(shù)n。由此引出數(shù)列極限的定義。后面函數(shù)的極限定義類似可得。上面的教學(xué)策略存在著不足，一是實(shí)例的幾何意義不明顯；二是語言的必要性沒有說清楚。三、極限的教學(xué)策略針對上述理科高等數(shù)學(xué)極限教學(xué)存在的問題，本文設(shè)計(jì)了一套適合理工科學(xué)生學(xué)習(xí)極限的教學(xué)策略。第一、理解的含義，它是一個(gè)辯證的，矛盾的過程。本身沒有什么意

5、思，僅僅是一個(gè)記號(hào)，它指的是變量的絕對值越來越大。符號(hào)是指自然數(shù)n越來越大，那么這個(gè)過程能否讓n取到無窮呢？理解符號(hào)涉及到對無限持有什么樣的觀點(diǎn)。具體的，無限觀點(diǎn)可分為潛無限和實(shí)無限。若把1、2、3等自然數(shù)分別寫在一個(gè)紙片上相繼放進(jìn)一個(gè)袋子里，持潛無限觀的人認(rèn)為這一個(gè)過程是無窮無限的，不可能完成的；持實(shí)無限觀點(diǎn)的人認(rèn)為，所有的紙片是可以全部放進(jìn)袋子里的，從而過程是可以結(jié)束的。潛無限觀，是動(dòng)態(tài)的，不斷突破、不斷延伸的過程，實(shí)無限的觀點(diǎn)是靜止的，有限的3。在集合論沒有出現(xiàn)以前，人們僅承認(rèn)潛無窮觀。但康托爾的集合論誕生后，人們更愿意相信實(shí)無窮觀。極限的含義既包含潛無窮也包括實(shí)無窮。在自然數(shù)n不斷增大

6、的過程中，應(yīng)用潛無窮的觀點(diǎn)，取到極限則是過程已經(jīng)結(jié)束，用實(shí)無窮的觀點(diǎn)。第二、設(shè)計(jì)豐富的實(shí)例，讓學(xué)生觀察、歸納、抽象極限概念，相信極限存在。古希臘人用窮竭法求曲邊梯形的面積就包含著原始的極限思想。物理上也有很多例子可以說明極限是存在的，第一個(gè)例子是愛因斯坦在光速是一切速度的極限的基礎(chǔ)上建立了狹義相對論；第二個(gè)例子是宇宙中恒星的質(zhì)量不可能無限大。幾何上可以列下面的兩個(gè)例子。例1、考察數(shù)列 . (1)（1）式是將一個(gè)長度為2的線段利用二分法劃分為段，去掉一個(gè)長度為的線段后剩下的長度。容易看到，當(dāng)n越來越大時(shí)，sn與2越來越接近。當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為sn是線段的長度。例2、如圖1，過的直線記為，其中P的坐標(biāo)

7、為，Q為在圓上且橫坐標(biāo)為1/n的點(diǎn)。直線y=1為圓在點(diǎn)P的切線。容易看到，當(dāng)n越來越大時(shí)，與直線y=1的夾角會(huì)越來越小，從而當(dāng)時(shí)，ln就是直線y=1。第三、引導(dǎo)學(xué)生作出總結(jié)，給出極限的描述性定義。例1和例2是用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來看極限的，共同點(diǎn)是隨著n增大時(shí)，變量逐漸趨向于一個(gè)常量。如何來刻畫動(dòng)態(tài)的無限過程是擺在數(shù)學(xué)家面前的一個(gè)首要任務(wù)了?？挛鞒晒Φ慕鉀Q了這一問題，柯西在分析教程6中，給出了這樣的極限定義：如果一個(gè)變量逐次所取得的值無限趨向于一個(gè)定值，最終使這個(gè)變量的值與該定值之差要多小就有多小，那么就稱該定值為所有其他值的極限。美中不足的是，柯西的定義僅僅是一個(gè)描述性的定義，不能成為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析

8、的基礎(chǔ)。第四、化動(dòng)態(tài)過程為靜態(tài)過程，給出-語言。典型的分析思想是由結(jié)果推測條件。按照分析思想來分析極限的描述性定義。極限的描述性定義的結(jié)果是變量的值與該定值之差要多小就有多小，需要的條件是變量無限趨向于一個(gè)定值。對此作如下的分析。首先是變量與該定值之差，可以用兩個(gè)值差的絕對值來表示；其次，要多小就多小，應(yīng)理解為差是變化的且變化的趨勢是無限小，故可以給差設(shè)定一個(gè)上限，這里用來表示，即；再其次，對于結(jié)果，尋找滿足結(jié)果條件的，因?yàn)閿?shù)列可以看做自然數(shù)n的函數(shù)，故只要給出n的范圍即可。實(shí)際給出的定義的時(shí)候，需要再將條件寫在結(jié)果的前面。這就獲得了外爾斯托拉斯的極限定義如下5：若對任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得對滿足的所有，不等式均成立，則稱為數(shù)列的極限或稱數(shù)列收斂于，記為或。該極限簡寫為：.若理解了外爾斯托拉斯的極限定義后，可以得出證明極限的關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)給出的，證明的存在性。外爾斯托拉斯的極限定義沒有了運(yùn)動(dòng)和幾何的痕跡，完全依靠數(shù)學(xué)的邏輯力量，這一定義成為了數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)。這正應(yīng)了道德經(jīng)上的一句話：“歸根曰靜”。參 考 文 獻(xiàn)1 王庚. 論極限教學(xué)的解決方案J. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2004， 20(3)，54-58.2 常瑞玲用數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)極限概念教學(xué)的嘗試J數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000，9（1）：78803 顧光輝，呂朝陽實(shí)無限與潛無限視角下的極限概念J數(shù)學(xué)教