江蘇省專轉(zhuǎn)本高數(shù)真題及答案

1、江蘇省2012年普通高?！皩＾D(zhuǎn)本”選拔考試高等數(shù)學試題卷(二年級)注意事項：出卷人：江蘇建筑大學-張源教授1、考生務必將密封線內(nèi)的各項目及第2頁右下角的座位號填寫清楚.2、考生須用鋼筆或圓珠筆將答案直接答在試卷上，答在草稿紙上無效.120分鐘.3、本試卷共8頁，五大題24小題，滿分150分，考試時間、選擇題(本大題共6小題，每小題4分，滿分24分)1、極限 lim (2xsin sn");x立 x xB. 2A.C. 3D.2、f(x)(x -2) sin x L2，則函數(shù)x(x1 2 -4)f (x)的第一類間斷點的個數(shù)為3、A.f(x)A.只有B. 113= 2x2 -5x2 ,

2、則函數(shù) 個最大值C.f(x)(D.C.既有極大值又有極小值B.D.)只有一個極小值 沒有極值8、設函數(shù) y =x(x2 2x，1)2 - e2x,貝U y(0)二4、設z=ln(2x)+-在點(1,1)處的全微分為(yA. dx -3dyB. dx 3dy1 ,C. 3 dx 3dy1，D. - dx-3dy5、A.sec?04d!f(cosi'sin*dPB.sec?o'd二！f(Pcosi”sin)D.,sec1C.北d0f(Pcos日，Psin日)dP4,sec11我叫f(*cos日，Psin)PdP46、卜列級數(shù)中條件收斂的是QOnnA.(-1)-:nd2n1B(7)n

3、(3)n12C.O0Znl(-1)n2nDOnD.nw-n二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共124分)f(0) =7要使函數(shù)f(x)=(1-2x)x在點x=0處連續(xù)，則需補充定義9、設y=xx(x>0),則函數(shù)y的微分dy=T TT10、設向量a, b互相垂直，且 a3,ba 2b二x111、設反常積分edx=,則常數(shù)a=a2二(_1)nn12、哥級數(shù)£-一"-3)n的收斂域為n4n3三、計算題(本大題共8小題，每小題8分，共64分)13、求極限2x2cosx-2x3ln(1x)14、設函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程*12Xt所確定，求,-yy=t221ntdxd

4、x15、求不定積分2x12cos一dxx17、已知平面口通過M(1,2,3)與x軸，求通過N(1,1,1)且與平面n平行，又與x軸垂直的直線方程.18、設函數(shù)z=f(x,xy)+中(x2+y2),其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，函數(shù)中具有二階2z連續(xù)導數(shù)，求.：:x：:y19、已知函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)為xex,求微分方程y"+4y'+4y=f(x)的通解.一120、計算二重積分JJydxdy,其中D是由曲線y=<x-1,直線y=x及x軸所圍成的平d2面閉區(qū)域.四、綜合題(本大題共2小題，每小題10分，共20分)221、在拋物線y=x(xa0)上求一點P,使該拋物線與其

5、在點P處的切線及x軸所圍成的2平面圖形的面積為2,并求該平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.3x_322、已知定義在(，,一)上的可導函數(shù)f(x)滿足方程xf(x)-41f(t)dt=x3,試求:(1)函數(shù)f(x)的表達式；(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(3)曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間與拐點.五、證明題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)1323、證明：當0<x<1時，arcsinx>x+-x.0 g(t)dt24、設 f (x) = <2,g(0)6x#0,其中函數(shù)g(x)在(q,+=c)上連續(xù)，且limg(x)=3x101一cosxx=0一.一.1

6、證明：函數(shù)f(x)在x=0處可導，且f(0)=1一.選擇題1-5 B C C A B D二.填空題7-12 e 128xn(1 ln x)dx 5 1n 2 (0,6三.計算題13、求極限史)2 ccx 2cosx -2x3 ln(1 x)原式=limx_02x 2cosx -22x-2sin xx - sin x4x32x3=limx_01 - cosx6x2=limxQ 6x1214、設函數(shù)= y(x)由參數(shù)方程=t42 一 .y =t +2lnt所確定，求%d2ydx2dy原式=一dxdydtdxdt22t - t1±t22td俘)dxdtdxdt21 t22t2t2 12x

7、1 .15、求不定積分 2一 dx. cos x 2x 1-原式= 2 dx = (2x 1)d tanx = (2x 1) tanx - tanxd(2x 1) cos x= (2x +1)tanx -2 Jtanxdx = (2x+1)tanx + 2ln cosx + C16、計算定積分21/哀t13冗原式二令v2x-1=t,則原式=f2dt=2f2dt=2arctant=11+t2.11+t216217、已知平面口通過M(1,2,3)與x軸，求通過N(1,1,1)且與平面n平行，又與x軸垂直的直線方程.S = n i -(0,-2,-3),解：平面n的法向量n=oM又不=(0,3,2)

8、,直線方向向量為4Ts-工口x-1y-1z-1直線萬程：=2=0-2-318、設函數(shù)z=f(x,xy)+邛(x2+y2),其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，函數(shù)中具有二階“一：2z連續(xù)導數(shù)，求.；x2y_2解：工=f1f2y+：濘2x-z=f12xf2xyf222x2y;；xFx：:y19、已知函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)為xex,求微分方程y"+4y'+4y=f(x)的通解.x-x2斛：f(x)=(xe)=(x+1)e,先求y+4y+4y=0的通解，特征萬程：r+4r+4=0,味2=2,齊次方程的通解為Y=(Ci+C2x)e".令特解為y*=(Ax+B)ex,代入原方程得

9、：9Ax+6A+9B=x+1,有待定系數(shù)法得:9A =1 丘/口,解得6A+9B =1A=111、,9，所以通解為Y=(Ci+C2x)e+(-x+)exB=19272720、計算二重積分JJydxdy,其中D是由曲線y=Jxi,直線y='x及x軸所圍成的平d2面閉區(qū)域.1y2 11原式=10ydy.2ydx = -四.綜合題221、在拋物線y=x(xa0)上求一點P,使該拋物線與其在點P處的切線及x軸所圍成的2平面圖形的面積為2,并求該平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.322斛：設P點(,5)(x0A0),則k切=2x0,切線：，y%=2x0(x%)即，y +x0 =2%x,

10、x02由題意o (2yx02x07;)dy =2 ,得 x0 =23P(2,4)16n152422Vx-.xdx-二(4x-4)dx=x_322、已知定義在(,")上的可導函數(shù)f(x)滿足方程xf(x)-4(f(t)dt=x-3,試求：(1)函數(shù)f(x)的表達式；(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(3)曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間與拐點.x32斛：(1)已知xf(x)-4f(t)dt=x-3兩邊同時對x求導得：f(x)+xf(x)-4f(x)=3x323.23即.y-y=3x則y=-3x+cx由題息得：f(1)=-2,c=1,則f(x)=-3x+xx，(2) f(x)=3x26x=Q

11、x=0,x2=2列表討論得在(-°o,0)u(2,+)單調(diào)遞增，在(0,2)單調(diào)遞減。極大值f(0)=0,極小值f(2)=4(3) f“(x)=6x-6=0,x=1列表討論得在(8,1)凹，在(1,十至)凸。拐點(1-2)五、證明題1323、證明：當0<x<1時，arcsinx>x+x.613,112一.解：令f(x)=arcsinx-xx,f(0)=0f(x)：1x,f(0)=06.1.x22-一.，、x.1，、一一，fXx)=,x-x=x(.1-1)>0,在0cx<1,f'(x)單調(diào)遞增,(1-x2)3(1-x2)3；g(t)dt24、設 f (x) = «2國(0)f'(x)>f(0)=0,所以在0<x<1,f(x)單調(diào)遞增，則有f(x)>f(0)=0,得證。x#0,其中函數(shù)g(x)在(q,)上連續(xù)，且limg(x)=3x01-cosxx=0證明：函數(shù)f(x)