地基應(yīng)力計(jì)算

1、根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)貫入試驗(yàn)錘擊數(shù)測(cè)定各類砂的地基承載力（公斤/平方厘米），一般為：       當(dāng)擊數(shù)大于30時(shí)，密實(shí)的礫砂、粗砂、中砂（孔隙比均小于0.60）為4公斤/平方厘米；       當(dāng)擊數(shù)小于或等于30而大于15時(shí)，中密的礫砂、粗砂、中砂（孔隙比均大于0.60而小于0.75）為3公斤/平方厘米，細(xì)砂、粉砂（孔隙比均大于0.70而小于0.85）為1.52公斤/平方厘米；       當(dāng)擊數(shù)小于或等于15而大于或等于10時(shí)，稍密的礫砂、粗砂、中砂（孔隙比均大于0.75而小于0.

2、85）為2，細(xì)砂、粉砂（孔隙比均大于0.85而小于0.95）為11.5。對(duì)于老粘土和一般粘性土的容許承載力，當(dāng)錘擊數(shù)分別為3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23時(shí)，則其相應(yīng)的容許承載力分別為1.2、1.6、2.0、2.4、2.8、3.2、3.6、4.2、5.0、5.8、6.6公斤/平方厘米。第三章 地基應(yīng)力計(jì)算第一節(jié) 概 述 建（構(gòu)）筑物的建造使地基土中原有的應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生了變化，如同其它材料一樣，地基土受力后也要產(chǎn)生應(yīng)力和變形。在地基土層上建造建（構(gòu)）筑物，基礎(chǔ)將建（構(gòu)）筑物的荷載傳遞給地基，使地基中原有的應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生變化，從而引起地基變形，其垂向變形即為沉降。如果地基應(yīng)力變

3、化引起的變形量在建（構(gòu)）筑物容許范圍以內(nèi)，則不致對(duì)建（構(gòu)）筑物的使用和安全造成危害；但是，當(dāng)外荷載在地基土中引起過(guò)大的應(yīng)力時(shí)，過(guò)大的地基變形會(huì)使建（構(gòu)）筑物產(chǎn)生過(guò)量的沉降，影響建（構(gòu)）筑物的正常使用，甚至可以使土體發(fā)生整體破壞而失去穩(wěn)定。因此，研究地基土中應(yīng)力的分布規(guī)律是研究地基和土工建（構(gòu)）筑物變形和穩(wěn)定問(wèn)題的理論依據(jù)，它是地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)中的一個(gè)十分重要的問(wèn)題。地基中的應(yīng)力按其產(chǎn)生的原因不同，可分為自重應(yīng)力和附加應(yīng)力。二者合起來(lái)構(gòu)成土體中的總應(yīng)力。由土的自重在地基內(nèi)所產(chǎn)生的應(yīng)力稱為自重應(yīng)力；由建筑物的荷載或其它外荷載(如車輛、堆放在地面的材料重量等)在地基內(nèi)所產(chǎn)生的應(yīng)力稱為附加應(yīng)力。因地震而引

4、起的慣性力也屬于外荷載的范圍。對(duì)于形成年代比較久遠(yuǎn)的土，在自重應(yīng)力的長(zhǎng)期作用下，其變形已經(jīng)穩(wěn)定，因此，除了新填土外，一般來(lái)說(shuō)，土的自重不再會(huì)引起地基土的變形。而附加應(yīng)力則不同，因?yàn)樗堑鼗行略黾拥膽?yīng)力，將引起地基土的變形。地基土的變形導(dǎo)致基礎(chǔ)沉降、傾斜和相鄰基礎(chǔ)出現(xiàn)沉降差。所以，附加應(yīng)力是引起地基土變形的主要原因。除上述二種應(yīng)力外，地基土中水的滲流引起的滲透力也是土中的一種應(yīng)力。當(dāng)然，環(huán)境條件的改變也會(huì)引起土中應(yīng)力的變化。本章重點(diǎn)介紹自重應(yīng)力和附加應(yīng)力的計(jì)算方法，反映土中應(yīng)力特點(diǎn)的有效應(yīng)力原理以及土中應(yīng)力變化的描述方法，即應(yīng)力路徑等內(nèi)容。根據(jù)土樣的單軸壓縮試驗(yàn)資料，當(dāng)應(yīng)力很大時(shí),土的應(yīng)力應(yīng)變

5、關(guān)系就不是一條直線了，即土的變形是非線性的。然而，考慮到一般建筑物荷載作用下地基中應(yīng)力的變化范圍(應(yīng)力增量)還不太大，如果用一條割線來(lái)近似地代替相應(yīng)的曲線，其誤差可能不超過(guò)實(shí)用的允許范圍。這樣，我們就可以把土看成是一種線性變形體，即土為線彈性體。求解土中應(yīng)力的方法有很多，本章只介紹目前生產(chǎn)實(shí)踐中使用最多的古典彈性力學(xué)方法。利用彈性力學(xué)方法求解土中應(yīng)力會(huì)遇到一些專用名詞，下面先加以介紹： 一、理想彈性體從力學(xué)的概念來(lái)講，理想彈性體就是符合虎克定律的物體，即物體受荷載作用時(shí)，其應(yīng)力與應(yīng)變成直線關(guān)系，卸荷時(shí)仍沿此直線回彈，如圖3-1中的(a)、(b)為彈性體模型。 二、無(wú)限大平面與半無(wú)限空間向兩邊無(wú)

6、限延伸的平面稱為為無(wú)限大平面；無(wú)限大平面以下的無(wú)限空間稱半無(wú)限空間， 圖3-1 理想彈性體 圖3-2 半無(wú)限空間如圖3-2所示。當(dāng)?shù)鼗鄬?duì)于基礎(chǔ)尺寸而言大很多時(shí)，就可以把地基看作是半無(wú)限空間體。圖3-2的坐標(biāo)系統(tǒng)是地基計(jì)算中通常采用的。 三、平面與空間問(wèn)題當(dāng)受力物體中任一點(diǎn)的應(yīng)力和變形是三個(gè)坐標(biāo)值的函數(shù)，即時(shí)，為空間問(wèn)題或三維問(wèn)題；若應(yīng)力和變形只是二個(gè)坐標(biāo)值的函數(shù)，即時(shí)為平面或二維問(wèn)題；如果它們只隨一個(gè)坐標(biāo)值而變化，即，則變?yōu)橐痪S問(wèn)題。另外，土力學(xué)中應(yīng)力的符號(hào)也有相應(yīng)的規(guī)定。由于土是散粒體，一般不能承受拉應(yīng)力作用，在土中出現(xiàn)拉應(yīng)力的情況很少，因此，在土力學(xué)中對(duì)土中應(yīng)力的正負(fù)符號(hào)常作如下規(guī)定：圖

7、3-3 關(guān)于應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定在應(yīng)用彈性理論進(jìn)行土中應(yīng)力計(jì)算時(shí)，應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定法則與彈性力學(xué)相同，但正負(fù)與彈性力學(xué)相反。即當(dāng)某一個(gè)截面上的外法線方向是沿著坐標(biāo)軸的正方向時(shí)，這個(gè)截面就稱為正面，正面上的應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?。在用摩爾圓進(jìn)行土中應(yīng)力狀態(tài)分析時(shí)，法向應(yīng)力仍以壓為正，剪應(yīng)力方向的符號(hào)規(guī)定則與材料力學(xué)相反。土力學(xué)中規(guī)定剪應(yīng)力以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，與材料力學(xué)中規(guī)定的剪應(yīng)力方向正好相反。見圖3-3所示。第二節(jié) 自重應(yīng)力在計(jì)算地基中的應(yīng)力時(shí)，一般假定地基為均質(zhì)的線性變形半無(wú)限空間，應(yīng)用彈性力學(xué)公式來(lái)求解其中的應(yīng)力。 由于地基是半無(wú)限空間彈性變形體，因而在土體自重應(yīng)力作用下

8、，任一豎直平面均為對(duì)稱面。因此，在地基中任意豎直平面上，土的自重不會(huì)產(chǎn)生剪應(yīng)力。根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，在任意水平面上的剪應(yīng)力也應(yīng)為零。因此豎直和水平面上只有主應(yīng)力存在，豎直和水平面為主平面?，F(xiàn)研究由于土的自重在水平面和豎直平面上產(chǎn)生的法向應(yīng)力的計(jì)算。一、 均勻地基情況 (一)豎直向自重應(yīng)力圖3-4 均質(zhì)土中豎向自重應(yīng)力(a)任意水平面上的分布；(b)沿深度的分布；(c)水平自重應(yīng)力 以天然地面任一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o，坐標(biāo)軸z豎直向下為正。設(shè)均質(zhì)土體的天然重度為，故地基中任意深度z處的豎直向自重應(yīng)力就等于單位面積上的土柱重量。若z深度內(nèi)土的天然重度不發(fā)生變化，那么，該處土的自重應(yīng)力為 （3-1）式中：

9、天然地面以下z深度處土的 自重應(yīng)力(kN/m2)； G面積A上高為z的土柱重量(kN)； A土柱底面積(m2)。由式(3-1)可知，均質(zhì)土的自重應(yīng)力與深度Z成正比，即隨深度按直線分布(圖3-4(b)，而沿水平面上則成均勻分布(圖3-4()。 (二)水平向自重應(yīng)力sx、由于沿任一水平面上均勻地?zé)o限分布，既為側(cè)限條件(側(cè)向應(yīng)變?yōu)榱愕囊环N應(yīng)力狀態(tài))。所以，地基土在自重應(yīng)力作用下只能產(chǎn)生豎向變形，而不能有側(cè)向變形和剪切變形。故有，且=。根據(jù)廣義虎克定律 (3-2)將側(cè)限條件代入式(3-2) 得 令 (3-3)則 (3-4)式中：、分別為沿x軸和y軸方向的水平自重應(yīng)力(kN/m2)； K0土的靜止土壓力

10、系數(shù)，是側(cè)限條件下土中水平向有效應(yīng)力與豎直向有效應(yīng)力 之比，故側(cè)限狀態(tài)又稱K0狀態(tài)； 土的泊松比。K0和依據(jù)土的種類、密度不同而異，可由試驗(yàn)確定或查相應(yīng)表格。 在上述公式中，豎向自重應(yīng)力和水平向自重應(yīng)力、一般均指有效自重應(yīng)力。因此，對(duì)處于地下水位以下的土層必須以有效重度代替天然重度。為簡(jiǎn)便，以后各章把常用的豎向自重應(yīng)力簡(jiǎn)稱為自重應(yīng)力。 二、成層地基情況地基土往往是成層的，各層天然土層具有不同的重度，所以需要分層來(lái)計(jì)算。第一土層下邊界(即第二層土頂面)土的自重應(yīng)力為 (3-5)式中：、h1第一層土的重度和厚度。在第二層土和第三層土交界面處的自重應(yīng)力可寫成下面形式： (3-6)式中：第二層土下邊界

11、面處土的自重應(yīng)力； 、h2分別為第二層土的重度和厚度。 其余符號(hào)同前。同理，第n層土中任一點(diǎn)處的自重應(yīng)力公式可以寫成 (3-7)式中：第n層土的重度； hn第n層土(從地面起算)中所計(jì)算應(yīng)力的那一點(diǎn)到該土層頂面的距離。應(yīng)當(dāng)指出，在求地下水位以下土的自重應(yīng)力時(shí)，對(duì)地下水位以下的土應(yīng)按有效重度代入公式(3-7)。圖3-5是按照公式(3-7)的計(jì)算結(jié)果繪出的成層地基土自重應(yīng)力分布圖，該圖也稱為土的自重應(yīng)力分布曲線。圖3-5 成層地基土中自重應(yīng)力(a)地基剖面圖；(b)豎向自重應(yīng)力沿深度分布分析成層土的自重應(yīng)力分布曲線的變化規(guī)律，可以得到下面三點(diǎn)結(jié)論： （1）土的自重應(yīng)力分布曲線是一條折線，拐點(diǎn)在土層

12、交界處(當(dāng)上下兩個(gè)土層重度不同時(shí))和地下水位處； （2）同一層土的自重應(yīng)力按直線變化；（3）自重應(yīng)力隨深度的增加而增大。此外，地下水位的升降也會(huì)引起土中自重應(yīng)力的變化。例如在軟土地區(qū)，常因大量抽取地下水而導(dǎo)致地下水位長(zhǎng)期大幅度下降，使地基中原水位以下土的自重應(yīng)力增加(圖3-6)，造成地表大面積下沉的嚴(yán)重后果。至于地下水位的長(zhǎng)期上升(圖3-6)，常發(fā)生在人工抬高蓄水水位地區(qū)(如筑壩蓄水)或工業(yè)用水大量滲入地下的地區(qū)，如果該地區(qū)土質(zhì)具有遇水后發(fā)生濕陷或膨脹的性質(zhì)，則必須引起足夠的注意。圖3-6 地下水位升降對(duì)土中自重應(yīng)力的影響(0-1-2線為原來(lái)的自重應(yīng)力分布曲線；0-1-線為地下水位升降后的自重

13、應(yīng)力分布曲線) 三、土壩的自重應(yīng)力土壩、土堤是具有斜坡的土體，它是一種比較特殊的情況。為計(jì)算土壩壩身和壩基的沉降，必須知道壩身中和壩底面上的應(yīng)力分布。由于此時(shí)土壩土體的自重應(yīng)力已不是一維問(wèn)題，嚴(yán)格求解較困難。對(duì)于簡(jiǎn)單的中小型土壩、土堤，工程中常近似用上述自重應(yīng)力計(jì)算公式，即假設(shè)壩體中任何一點(diǎn)因自重所引起的豎向應(yīng)力均等于該點(diǎn)上面土柱的重量，故任意水平面上自重應(yīng)力的分布形狀與壩斷面形狀相似，見圖3-7()。對(duì)較重要的高土石壩，近年來(lái)多采用有限元法計(jì)算其自重應(yīng)力，可參考專門文獻(xiàn)。圖3-7()表示某均質(zhì)土壩用有限元法與簡(jiǎn)化法計(jì)算得到的基底豎直應(yīng)力的比較，其最大誤差約為15%。圖3-7 土壩中的豎直自重

14、應(yīng)力分布【例題3-1】 按照?qǐng)D3-8()給出的資料，計(jì)算并繪制出地基中的自重應(yīng)力沿深度的分布曲線。 解： 141.0m高程處(地下水位處)H144.0-41.0=3.0m =17.0×3.0=51kN/m2 240.0m高程處H241.0-40.0=1.0m 51+(19.0-9.8)×=60.2kN/m2 338.0m高程處H340.0-38.0=2.0m =60.2+(18.5-9.8)×277.6kN/m2圖3-8 例題3-1圖435.0m高程處H438.0-35.0=3.0m =77.6+(20-9.8)×3=108.2kN/m2自重應(yīng)力沿深度的

15、分布如圖3-8()所示。第三節(jié) 地基附加應(yīng)力地基附加應(yīng)力是指外荷載作用下地基中增加的應(yīng)力。常見的外荷載有建筑物荷重等。建筑物荷重通過(guò)基礎(chǔ)傳遞給地基。當(dāng)基礎(chǔ)底面積是圓形或矩形時(shí)，求解地基附加應(yīng)力屬于空間問(wèn)題；當(dāng)基礎(chǔ)底面積是長(zhǎng)條形時(shí)，常將其近似為平面問(wèn)題。地基中的附加應(yīng)力是地基發(fā)生變形，引起建筑物沉降的主要原因。在計(jì)算地基中的附加應(yīng)力時(shí),把地基看成是均質(zhì)的彈性半空間，應(yīng)用彈性力學(xué)理論求解。下面介紹當(dāng)?shù)乇砩献饔貌煌愋偷暮奢d時(shí)，在地基中引起的附加應(yīng)力計(jì)算。 一、豎向集中荷載作用下地基中的附加應(yīng)力在地基表面作用有豎向集中荷載P時(shí)，在地基內(nèi)任意一點(diǎn)M(r, z)的應(yīng)力分量及位移分量由法國(guó)數(shù)學(xué)家布辛奈斯克

16、(J.Boussinesq)在1885年用彈性理論求解得出(圖3-9)，其中應(yīng)力分量為：圖3-9 豎向集中荷載作用下的應(yīng)力 (3-8) (3-9) (3-10) (3-11) (3-12)在集中荷載p的作用下，其徑向位移和豎向位移分別按下列公式計(jì)算 (3-13) (3-14) 在地基表面上任一點(diǎn)(z=0)的豎向位移為： (3-15)式中：p 作用在坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)的豎向集中荷載； z M點(diǎn)的深度； r M點(diǎn)與集中荷載作用線之間的距離，； R M點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，； 土的泊松比。 由公式(3-8)可知豎向附加應(yīng)力與地基土的性質(zhì)(E,)無(wú)關(guān)。為了計(jì)算方便，可令 （3-16）則公式(3-8)變成 (3

17、-17)式中稱為集中荷載作用下的地基豎向附加應(yīng)力系數(shù)，其數(shù)值可按r/z值由表3-1查得。 表3-1 集中荷載下豎向附加應(yīng)力系數(shù)0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170.180.190.200.210.220.230.240.250.260.270.280.290.300.310.320.330.340.350.360.370.380.390.47750.47730.47700.47640.47560.47450.47320.47170.46990.46790.46570.46330.460

18、70.45790.45480.45160.44820.44460.44090.43700.43290.42860.42420.41970.41510.41030.40540.40040.39540.39020.38490.37960.37420.36870.36320.35770.35210.34650.34080.33510.400.410.420.430.440.450.460.470.480.490.500.510.520.530.540.550.560.570.580.590.600.610.620.630.640.650.660.670.680.690.700.710.720.730

19、.740.750.760.770.780.790.32940.32380.31830.31240.30680.30110.29550.28990.28430.27880.27330.26790.26250.25710.25180.24660.24140.23630.23130.22630.22140.21650.21170.20700.20240.19980.19340.18890.18460.18040.17620.17210.16810.16410.16030.15650.15270.14910.14550.14200.800.810.820.830.840.850.860.870.880

20、.890.900.910.920.930.940.950.960.970.980.991.001.011.021.031.041.051.061.071.081.091.101.111.121.131.141.151.161.171.181.190.13860.13530.13200.12880.12570.12260.11960.11660.11380.11100.10830.10570.10310.10050.09810.09560.09330.09100.08870.08650.08440.08230.08030.07830.07640.07440.07270.07090.06910.0

21、6740.06580.06410.06260.06100.05950.05810.05670.05530.03590.05261.201.211.221.231.241.251.261.271.281.291.301.311.321.331.341.351.361.371.381.391.401.411.421.431.441.451.461.471.481.491.501.511.521.531.541.551.561.571.581.590.05130.05010.04890.04770.04660.04540.04430.04330.04220.04120.04020.03930.038

22、40.03740.03650.03570.03480.03400.03320.03240.03170.03090.03020.02950.02880.02820.02750.02690.02630.02570.02510.02450.02400.02340.02290.02240.02190.02140.02090.02041.601.611.621.631.641.651.661.671.681.691.701.721.741.761.781.801.821.841.861.881.901.921.941.961.982.002.102.202.302.402.502.602.702.802

23、.903.003.504.004.505.000.02000.01950.01910.01870.01830.01790.01750.01710.01670.01630.01600.01530.01470.01410.01350.01290.01240.01190.01140.01090.01050.01010.00970.00930.00890.00850.00700.00580.00480.00400.00340.00290.00240.00210.00170.00150.00070.00040.00020.0001【例題3-2】 在地面作用一集中荷載p =200kN，試確定：(1)在地基

24、中z=2m的水平面上，水平距離r=1、2、3和4m各點(diǎn)的豎向附加應(yīng)力值，并繪出分布圖；(2)在地基中r=0的豎直線上距地面z=0、1、2、3和4m處各點(diǎn)的值，并繪出分布圖；(3)取=20、10、4和2kN/2，反算在地基中z=2m的水平面上的r值和在r=0的豎直線上的z值，并繪出相應(yīng)于該四個(gè)應(yīng)力值的等值線圖。 解：(1)在地基中z=2m的水平面上指定點(diǎn)的附加應(yīng)力的計(jì)算數(shù)據(jù)，見例表3-1；的分布圖見圖3-10。（2）在地基中r=0的豎直線上，指定點(diǎn)的附加應(yīng)力的計(jì)算數(shù)據(jù)見例表3-2；分布圖見圖3-11。例表3-1 例題3-2附表z(m)r(m)(查表3-1)(kN/m2)222220123400.

25、51.01.52.00.47750.27330.08440.02510.008523.813.74.21.20.4圖3-10 例題3-2附圖圖3-11 例題3-2附圖 圖3-12 例題3-2附圖例表3-2 例題3-2附表z(m)r(m)(查表3-1)(kN/m2)0123400000000000.47750.47750.47750.47750.477595.523.810.56.0（3）當(dāng)指定附加應(yīng)力時(shí)，反算z=2m的水平面上的r值和在r=0的豎直線上的z值的計(jì)算數(shù)據(jù)，見例表3-3；附加應(yīng)力的等值線繪于圖3-12。例表3-3 例題2-2附表 (kN/m2)z(m) (查表)r(m)201042

26、22220.40000.20000.08000.04000.270.651.021.300.541.302.042.60 (kN/m2)r(m) (查表)201042000000000.47750.47750.47750.47752.193.094.886.91由于豎直向集中力作用下地基中的附加應(yīng)力是軸對(duì)稱的空間問(wèn)題，再通過(guò)上面的例題分析，可知地基土中附加應(yīng)力分布的特征如下： (1)在集中力p作用線上，r=0，由公式(3-16)及(3-8)可知，。在地面下同一深度處,該水平面上的附加應(yīng)力不同，沿豎直向集中力作用線上的附加應(yīng)力最大，向兩邊則逐漸減??；(2)離地表愈深，應(yīng)力分布范圍愈大，在同一鉛直

27、線上的附加應(yīng)力隨深度的增加而減小。如果在空間將相同的點(diǎn)連接起來(lái)形成曲面，就可以得到如圖3-12所示的等值線，其空間曲面的形狀如泡狀，所以也稱為應(yīng)力泡。通過(guò)上述對(duì)附加應(yīng)力分布圖形的討論，應(yīng)該建立起土中應(yīng)力分布的正確概念：即集中力P在地基中引起的附加應(yīng)力的分布是向下、向四周無(wú)限擴(kuò)散的，其特性與桿件中應(yīng)力的傳遞完全不一樣。當(dāng)?shù)鼗砻孀饔糜袔讉€(gè)集中力時(shí)，可以分別算出各集中力在地基中引起的附加應(yīng)力，然后根據(jù)彈性體應(yīng)力疊加原理求出地基的附加應(yīng)力的總和。在實(shí)際工程應(yīng)用中，當(dāng)基礎(chǔ)底面形狀不規(guī)則或荷載分布較復(fù)雜時(shí)，可將基底劃分為若干個(gè)小面積，把小面積上的荷載當(dāng)成集中力，然后利用上述公式計(jì)算附加應(yīng)力。如果小面積的

28、最大邊長(zhǎng)小于計(jì)算應(yīng)力點(diǎn)深度的1/3，用此法所得的應(yīng)力值與正確應(yīng)力值相比，誤差不超過(guò)5%。 二、矩形面積承受豎直均布荷載作用時(shí)的附加應(yīng)力地基表面有一矩形面積，寬度為B，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其上作用著豎直均布荷載，荷載強(qiáng)度為P，求地基內(nèi)各點(diǎn)的附加應(yīng)力。軸心受壓柱基礎(chǔ)的底面附加壓力即屬于均布的矩形荷載。這類問(wèn)題的求解方法是：先求出矩形面積角點(diǎn)下的附加應(yīng)力，再利用“角點(diǎn)法”求出任意點(diǎn)下的附加應(yīng)力。 (一)角點(diǎn)下的附加應(yīng)力角點(diǎn)下的附加應(yīng)力是指圖3-13中O、A、C、D四個(gè)角點(diǎn)下任意深度處的附加應(yīng)力。只要深度z一樣，則四個(gè)角點(diǎn)下的附加應(yīng)力都相同。將坐標(biāo)的原點(diǎn)取在角點(diǎn)O上，在荷載面積內(nèi)任取微分面積dA = dx

29、83;dy，并將其上作用的荷載以集中力dP代替，則dP = P·dA= P·dxdy。利用式(3-8)即可求出該集中力在角點(diǎn)O以下深度z處M點(diǎn)所引起的豎直向附加應(yīng)力d： (3-18)將式(3-18)沿整個(gè)矩形面積OACD積分，即可得出矩形面積上均布荷載P在M點(diǎn)引起的附加應(yīng)力： (3-19)式中，；，其中L為矩形的長(zhǎng)邊，B為矩形的短邊。圖3-13 矩形面積均布荷載作用時(shí)角點(diǎn)下點(diǎn)的附加應(yīng)力為了計(jì)算方便，可將式(3-19)簡(jiǎn)寫成 (3-20)稱為矩形豎直向均布荷載角點(diǎn)下的應(yīng)力分布系數(shù)，=f（m，n），可從表3-2中查得。表3-2 矩形面積受豎直均布荷載作用時(shí)角點(diǎn)下的應(yīng)力系數(shù) m=

30、L/Bn=z/B1.01.21.41.61.82.03.04.05.06.010.00.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.62.83.03.23.43.63.84.04.24.44.64.85.06.07.08.09.010.00.25000.24860.24010.22290.19990.17520.15160.13080.11230.09690.08400.07320.06420.05660.05020.04470.04010.03610.03260.02960.02700.02470.02270.02090.01930.01790.01270.

31、00940.00730.00580.00470.25000.24890.24200.22750.20750.18510.16260.14230.12410.10830.09470.08320.07340.06510.05800.05190.04670.04210.03820.03480.03180.02910.02680.02470.02290.02120.01510.01120.00870.00690.00560.25000.24900.24290.23000.21200.19110.17050.15080.13290.11720.10340.09170.08120.07250.06490.

32、05830.05260.04770.04330.03950.03620.03330.03060.02830.02620.02430.01740.01300.01010.00800.00650.25000.24910.24340.23510.21470.19550.17580.15690.14360.12410.11030.09840.08790.07880.07090.06400.05800.05270.04800.04390.04030.03710.03430.03170.02940.02740.01960.01470.01140.00910.00740.25000.24910.24370.

33、23240.21650.19810.17930.16130.14450.12940.11580.10390.09340.08420.07610.06900.06270.05710.05230.04790.04410.04070.03760.03480.03240.03020.02180.01640.01270.01020.00830.25000.24910.24390.23290.21760.19990.18180.16440.14820.13340.12020.10840.09790.08870.08050.07320.06680.06110.05610.05160.04740.04390.

34、04070.03780.03520.03280.02330.01800.01400.01120.00920.25000.24920.24420.23390.21960.20340.18700.17120.15670.14340.13140.12050.11080.10200.09420.08700.08060.07470.06940.06450.06030.05630.05270.04930.04630.04350.03250.02510.01980.01610.01320.25000.24920.24430.23410.22000.20420.18820.17300.15900.14630.

35、13500.12480.11560.10730.09990.09310.08700.08140.07630.07170.06740.06340.05970.05640.05330.05040.03880.03060.02460.02020.01670.25000.24920.24430.23420.22020.20440.18850.17350.15980.14740.13630.12640.11750.10950.10240.09590.09000.08470.07990.07530.07120.06740.06390.06060.05760.05470.04310.03460.02830.

36、02350.01980.25000.24920.24430.23420.22020.20450.18870.17380.16010.14780.13680.12710.11840.11060.10360.09730.09160.08640.08160.07730.07330.06960.06620.06300.06010.05730.04600.03760.03110.02620.02220.25000.24920.24430.23420.22020.20460.18880.17400.16040.14820.13740.12770.11920.11160.10480.09870.09330.

37、08820.08370.07960.07580.07240.06960.06630.06350.06100.05060.04280.03670.03190.0280圖3-14 用角點(diǎn)法計(jì)算M點(diǎn) 以下的附加應(yīng)力(二)任意點(diǎn)的附加應(yīng)力角點(diǎn)法利用矩形面積角點(diǎn)下的附加應(yīng)力計(jì)算公式(3-19)和應(yīng)力疊加原理，推求地基中任意點(diǎn)的附加應(yīng)力的方法稱為角點(diǎn)法。角點(diǎn)法的應(yīng)用可以分下列兩種情況。第一種情況：計(jì)算矩形面積內(nèi)任一點(diǎn)M深度為z的附加應(yīng)力(圖3-14()。過(guò)M點(diǎn)將矩形荷載面積abcd分成、4個(gè)小矩形，M點(diǎn)為4個(gè)小矩形的公共角點(diǎn)，則M點(diǎn)下任意z深度處的附加應(yīng)力為 (3-21a)第二種情況：計(jì)算矩形面積外任意點(diǎn)

38、M下深度為z的附加應(yīng)力。思路是：仍然設(shè)法使M點(diǎn)成為幾個(gè)小矩形面積的公共角點(diǎn)，如圖3-14()所示。然后將其應(yīng)力進(jìn)行代數(shù)疊加。 (3-21b)圖3-15 例題3-3圖 以上兩式中、分別為矩形Mhbe、Mfce、Mhag、Mfdg的角點(diǎn)應(yīng)力分布系數(shù)，P為荷載強(qiáng)度。必須注意，在應(yīng)用角點(diǎn)法計(jì)算每一塊矩形面積的c值時(shí)，B恒為短邊，L恒為長(zhǎng)邊?！纠}3-3】 今有均布荷載P=100kN/m2，荷載面積為2×m2，如圖3-15所示，求荷載面積上角點(diǎn)A、邊點(diǎn)E、中心點(diǎn)O以及荷載面積外F點(diǎn)和G點(diǎn)等各點(diǎn)下z=1m深度處的附加應(yīng)力。并利用計(jì)算結(jié)果說(shuō)明附加應(yīng)力的擴(kuò)散規(guī)律。解：1.A點(diǎn)下的附加應(yīng)力A點(diǎn)是矩形A

39、BCD的角點(diǎn)，且m=L/B=2/1=2；n=z/B=1，查表3-2得=0.1999，故 kN/m2 2.E點(diǎn)下的附加應(yīng)力通過(guò)E點(diǎn)將矩形荷載面積劃分為兩個(gè)相等的矩形EADI和EBCI。求EADI的角點(diǎn)應(yīng)力系數(shù)： ；查表3-2得=0.1752，故 =2×0.1752×100=35kN/m23O點(diǎn)下的附加應(yīng)力通過(guò)O點(diǎn)將原矩形面積分為4個(gè)相等的矩形OEAJ，OJDI，OICK和OKBE。求OEAJ角點(diǎn)的附加應(yīng)力系數(shù)：；查表3-2得=0.1202，故=4×0.1202×100=48.1kN/m24F點(diǎn)下附加應(yīng)力過(guò)F點(diǎn)作矩形FGAJ，F(xiàn)JDH，F(xiàn)GBK和FKCH。假

40、設(shè)為矩形FGAJ和FJDH的角點(diǎn)應(yīng)力系數(shù)；為矩形FGBK和FKCH的角點(diǎn)應(yīng)力系數(shù)。求： ；查表3-2得=0.1363求： ；查表3-2得=0.0840故 =2（0.1363-0.0840）×100=10.5kN/m25G點(diǎn)下附加應(yīng)力通過(guò)G點(diǎn)作矩形GADH和GBCH分別求出它們的角點(diǎn)應(yīng)力系數(shù)和。求： ；查表3-2得=0.2016。求： ；查表3-2得=0.1202。故 =（0.2016-0.1202）×100=8.1kN/m2將計(jì)算結(jié)果繪成圖3-16，可以看出，在矩形面積受均布荷載作用時(shí)，不僅在受荷面積垂直下方的范圍內(nèi)產(chǎn)生附加應(yīng)力，而且在荷載面積以外的地基土中(F、G點(diǎn)下方)

41、也會(huì)產(chǎn)生附加應(yīng)力。另外，在地基中同一深度處(例如z=1m)，離受荷面積中線愈遠(yuǎn)的點(diǎn)，其值愈小，矩形面積中點(diǎn)處最大。將中點(diǎn)O下和F點(diǎn)下不同深度的求出并繪成曲線，如圖3-16()所示。本例題的計(jì)算結(jié)果證實(shí)了上面所述的地基中附加應(yīng)力的擴(kuò)散規(guī)律。圖3-16 例題3-3計(jì)算結(jié)果 三、矩形面積承受水平均布荷載作用時(shí)的附加應(yīng)力如果地基表面作用有水平的集中力Ph時(shí)，求解地基中任意點(diǎn)M (x, y, z) 所產(chǎn)生的附加應(yīng)力可由彈性理論的西羅提(V.Cerruti)公式求得，其與沉降計(jì)算關(guān)系最大的垂直壓應(yīng)力的表達(dá)式為： (3-22) 當(dāng)矩形面積上作用有水平均布荷載Ph(圖3-18)時(shí)，即可由式(3-22)對(duì)矩形面

42、積積分，從而求出矩形面積角點(diǎn)下任意深度z處的附加應(yīng)力，簡(jiǎn)化后由下式表示：圖3-18 矩形面積作用水平均布荷載時(shí)角點(diǎn)下的 (3-23)式中： , B、L分別為平行于、垂直于水平荷載的矩形面積邊長(zhǎng)。稱為矩形面積承受水平均布荷載作用時(shí)角點(diǎn)下的附加應(yīng)力分布系數(shù)，可查表3-3求得。經(jīng)過(guò)計(jì)算可知，在地面下同一深度處，四個(gè)角點(diǎn)下的附加應(yīng)力的絕對(duì)值相同，但應(yīng)力符號(hào)不同，圖3-18中表3-3 矩形面積受水平均布荷載作用時(shí)角點(diǎn)下的附加應(yīng)力系數(shù)值 m=L/Bn=z/B1.01.21.41.61.82.03.04.06.08.010.00.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.02.53.05.

43、07.010.00.15920.15180.13280.10910.08610.06660.05120.03950.03080.02420.01920.01130.00700.00180.00070.00020.15920.15230.13470.11210.09000.07080.05530.04330.03410.02700.02170.01300.00830.00210.00080.00030.15920.15260.13560.11390.09240.07350.05820.04600.03660.02930.02370.01450.00930.00240.00090.00030.15

44、920.15280.13620.11500.09390.07530.06010.04800.03850.03110.02530.01570.01020.00270.00100.00040.15920.15290.13650.11560.09480.07660.06150.04940.04000.03250.02660.01670.01100.00300.00120.00040.15920.15290.13670.11600.09550.07740.06240.05050.04100.03360.02770.01760.01170.00320.00130.00050.15920.15300.13

45、710.11680.09670.07900.06450.05280.04360.03620.03030.02020.01400.00430.00180.00070.15920.15300.13720.11690.09690.07940.06500.05340.04430.03700.03120.02110.01500.00500.00220.00080.15920.15300.13720.11700.09700.07950.06520.05370.04460.03740.03170.02170.01560.00570.00270.00110.15920.15300.13720.11700.09700.07960.06520.05370.04470.03750.03180.02190.01580.00590.00290.00130.15920.15300.13720.11700.09700.07960.06520.05380.04470.03750.03180.02190