第五章積分計算

1、第五章積分計算教學(xué)要求： 1.積分法是微分法的逆運(yùn)算。要求學(xué)生：深刻理解不定積分的概念，掌握原函數(shù)與不定積分的概念及其之間的區(qū)別；掌握不定積分的線性運(yùn)算法則，熟練掌握不定積分的基本積分公式。2.換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學(xué)生：牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)（或湊微分）的原則，并能恰當(dāng)?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應(yīng)用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數(shù)的不定積分運(yùn)用分部積分公式，并能恰當(dāng)?shù)貙⒈环e表達(dá)式分成兩部分的乘積，熟練地應(yīng)用分部積分公式；獨(dú)立地完成一定數(shù)量的不定積分練習(xí)題，從而逐步達(dá)到快而準(zhǔn)的求出不定積分。3.有理函數(shù)的不定積分是求無理函數(shù)和三

2、角函數(shù)有理式不定積分的基礎(chǔ)。要求學(xué)生：掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；會求四種有理最簡真分式的不定積分，知道有理函數(shù)的不定積分（原函數(shù)）還是初等函數(shù)；學(xué)會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；掌握求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認(rèn)識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。教學(xué)重點：深刻理解不定積分的概念；熟練地應(yīng)用換元積分公式；熟練地應(yīng)用分部積分公式；教學(xué)時數(shù)：18學(xué)時§5.1 原函數(shù)與不定積分教學(xué)要求： 積分法是微分法的逆運(yùn)算。要求學(xué)生：深刻理解不定積分的概念，掌握原函數(shù)與不定積分的概念及其之間的區(qū)別；掌握不定積分的線性運(yùn)算法則，熟練掌握不定積分的基本積分公

3、式。教學(xué)重點：深刻理解不定積分的概念。一、新課引入： 微分問題的反問題，運(yùn)算的反運(yùn)算.二、講授新課： （一）不定積分的定義:1、原函數(shù)定義  設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義，存在函數(shù)，若，有，則稱函數(shù)是在區(qū)間的原函數(shù)，或簡稱是的原函數(shù)。定理  若是函數(shù)在區(qū)間的一個原函數(shù)，則函數(shù)的無限多個原函數(shù)僅限于的形式。2、不定積分定義函數(shù)的所有原函數(shù)稱為函數(shù)的不定積分。表為：。其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分常數(shù)?？梢?，若有原函數(shù)，則的全體原函數(shù)所成集合為.例1 填空: ; ( ; ; ; ;. （二）基本積分表及其使用1.運(yùn)算法則：（1）或；（2）或；（3）（）；（4）。2.積分公式：

4、1、，其中為常數(shù)。特別地：；2、，其中是常數(shù)，且；3、；4、，其中，且；特別地；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、。3.例題例2求。例3求。例4求。例5求.例6求。（三）不定積分的基本性質(zhì): 以下設(shè)和有原函數(shù).（1）.(先積分后求導(dǎo), 形式不變應(yīng)記牢！).（2）. (先求導(dǎo)后積分, 多個常數(shù)需當(dāng)心！)（3）時， （被積函數(shù)乘系數(shù)，積分運(yùn)算往外挪?。?（4）由（3）（4）可見, 不定積分是線性運(yùn)算, 即對, 有 ( 當(dāng)時,上式右端應(yīng)理解為任意常數(shù). )例7. 求 . (=2 ). （四）利用初等化簡計算不定積分:  例8. 求.例9.例10.例11.例12.

5、例13 .三、小結(jié)練習(xí)P202 1 (1,3,5,7,9,11,13,15) 2 3作業(yè)P202 1 (2,4,6,8,10) 4 §5.2換元積分法教學(xué)要求： 換元積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學(xué)生：牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)（或湊微分）的原則，并能恰當(dāng)?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應(yīng)用換元積分公式；獨(dú)立地完成一定數(shù)量的不定積分練習(xí)題，從而逐步達(dá)到快而準(zhǔn)的求出不定積分。教學(xué)重點：熟練地應(yīng)用換元積分公式;一、新課引入：由直接積分的局限性引入 二、講授新課： （一）. 第一類換元法 湊微分法：定理1 （第一換元積分法）若函數(shù)在可導(dǎo)，且。有，則函數(shù)存在原函數(shù)，即。常見微

6、分湊法：湊法1例1  求。例2  求。例3  求。例4求。例5求。湊法2 . 特別地, 有和 . 例6求。例7求。例8求。湊法3 例9（1）（2）例10其他湊法舉例: 例11.例12 例13.例14. 例15. （二）第二類換元法 拆微法：從積分出發(fā)，從兩個方向用湊微法計算，即 = = =引出拆微原理.定理2（第二換元積分法）若函數(shù)在可導(dǎo)，且，函數(shù)在有定義，有，則函數(shù)在存在原函數(shù)，且。例16求。例17求。例18求。例19求，  常用代換有所謂無理代換, 三角代換, 雙曲代換, 倒代換, 萬能代換, Euler代換等.我們著重介紹三角代

7、換和無理代換.1. 三角代換:（1） 正弦代換: 正弦代換簡稱為“弦換”. 是針對型如 的根式施行的, 目的是去掉根號. 方法是: 令, 則例20 解法一 直接積分; 解法二 用弦換.例21.  例22 .（2） 正切代換: 正切代換簡稱為“切換”. 是針對型如的根式施行的, 目的是去掉根號. 方法是: 利用三角公式即 令 . 此時有 變量還原時, 常用所謂輔助三角形法.例23. 解 令 有. 利用例22的結(jié)果, 并用輔助三角形, 有= =例24 （3）正割代換: 正割代換簡稱為“割換”. 是針對型如 的根式施行的, 目的是去掉根號. 方法是: 利用三角

8、公式 令有變量還愿時, 常用輔助三角形法.例25解.例26.解法一 （ 用割換 ）解法二 （ 湊微 ）   2. 無理代換:若被積函數(shù)是的有理式時, 設(shè)為的最小公倍數(shù),作代換, 有.可化被積函數(shù)為 的有理函數(shù).例27.例28.若被積函數(shù)中只有一種根式或可試作代換或. 從中解出來.例29. 例30例31 (給出兩種解法)例32. 本題還可用割換計算, 但較繁. 3.  雙曲代換: 利用雙曲函數(shù)恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式. . 化簡時常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式, 如:例33 .本題可用切換計算,但

9、歸結(jié)為積分, 該積分計算較繁. 參閱后面習(xí)題課例3.例34  解.例35 . 解4. 倒代換: 當(dāng)分母次數(shù)高于分子次數(shù), 且分子分母均為“因式”時, 可試用倒代換例36 .5.  萬能代換: 萬能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分(參1P261). 令，就有， ，例37 .解法一 ( 用萬能代換 ) .解法二 ( 用初等化簡 ) .解法三 ( 用初等化簡, 并湊微 )例38解=.代換法是一種很靈活的方法.三、小結(jié) 練習(xí)P213 1 2 3 作業(yè)P213 2(2,4,6,8,10) 3 (1,3,5,7)

10、67;5.3分部積分法教學(xué)重點：分部積分的應(yīng)用。教學(xué)難點：分部積分適用的條件?；緝?nèi)容：分部積分；基本要求：記住分部積分公式，知道求哪些函數(shù)的不定積分應(yīng)用分部積分公式；并能適當(dāng)?shù)倪x取換元函數(shù)，熟練地應(yīng)用換元公式。一、分部積分法設(shè)、是的可導(dǎo)函數(shù)，則，因此或，稱為分部積分公式。一般來說，被積函數(shù)形式為：，等都用分部積分法。二. 分部積分法的形式:導(dǎo)出分部積分公式.介紹使用分部積分公式的一般原則. 1. 冪 X 型函數(shù)的積分: 分部積分追求的目標(biāo)之一是: 對被積函數(shù)兩因子之一爭取求導(dǎo), 以使該因子有較大簡化, 特別是能降冪或變成代數(shù)函數(shù). 代價是另一因子用其原函數(shù)代替( 一般會變繁 ),

11、但總體上應(yīng)使積分簡化或能直接積出. 對“冪” 型的積分, 使用分部積分法可使“冪”降次, 或?qū)Α啊鼻髮?dǎo)以使其成為代數(shù)函數(shù).例1 (冪對搭配，取對為u) 例2 (冪三搭配，取冪為u) 例3 (冪指搭配，取冪為u) 例4 (冪指搭配，取冪為u) 例5 例6 (冪反搭配，取反為u) 2   建立所求積分的方程求積分: 分部積分追求的另一個目標(biāo)是: 對被積函數(shù)兩因子之一求導(dǎo), 進(jìn)行分部積分若干次后, 使原積分重新出現(xiàn), 且積分前的符號不為 1. 于是得到關(guān)于原積分的一個方程. 從該方程中解出原積分來. 例7例8求和  解 解得 例9解= （參閱例41）

12、解得 例10=，解得 .例11 = =,解得 .三、小結(jié) （略）練習(xí)P217 1(1,3,5,7) 2(2,4,6,8)作業(yè)P217 1(2,4,6,8) 2(1,3,5,7)§5.4廣義積分 教學(xué)重點：無窮積分的性質(zhì)及斂散性判別。教學(xué)難點：無窮積分的斂散性判別。主要內(nèi)容：1、三種無窮積分（）的概念以及它們收斂與發(fā)散的概念；2、無窮積分與級數(shù)收斂性的關(guān)系；3、無窮積分的性質(zhì)，包括Cauchy準(zhǔn)則、收斂的線性性、分部積分公式；4、無窮積分的絕對收斂于條件收斂的概念及判別法，優(yōu)函數(shù)的絕對收斂判別法，條件收斂的判別法。基本要求：1、掌握無窮積分收斂與發(fā)散的判別法，基本上會用收斂定

13、義和性質(zhì)計算無窮積分和證明無窮積分的有關(guān)問題；2、基本會用斂散性定義和各種斂散性判別法判別無窮積分的斂散性。基本方法：無窮積分的計算方法與斂散性判別方法。一、無窮積分定義：設(shè)函數(shù)在上有定義，并且對任意b，在a,b上可積，如果當(dāng)時，極限存在，那么就稱此極限為函數(shù)在上的無窮積分。記作：.例1 （1） 討論積分  ,  , 的斂散性 .（2）  計算積分 .      例 2   討論以下積分的斂散性 :（1）   

14、60;       （2）   .例3 討論積分的斂散性 . 二、無窮積分的性質(zhì):（1） 在區(qū)間 上可積 , Const , 則函數(shù)在區(qū)間 上可積 , 且.                      （2） 和在區(qū)間 上可積 ,  在區(qū)間 上可積 , 且  .  三、無界函數(shù)的積分瑕積分的定義: 以點為瑕點給出定義. 然后就點為瑕點、點為瑕點以及有多個瑕點的情況給出說明.例4   判斷積分的斂散性