用空間向量解立體幾何問題方法歸納學(xué)生版

1、用空間向量解立體幾何題型與方法一平行垂直問題基礎(chǔ)知識直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)平面，的法向量u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)線面平行：lauau0a1a3b1b3c1c30(2)線面垂直：lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3(3)面面平行：uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4(4)面面垂直：uvuv0a3a4b3b4c3c40例1、如圖所示，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PAAB1，BC2.(1)求證：EF平面PAB；(2)求證：平面PAD平面PDC.使用空間向量方法證明線面平行時(shí)，既可以證

2、明直線的方向向量和平面內(nèi)一條直線的方向向量平行，然后根據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，也可以證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明面面垂直既可以證明線線垂直，然后使用判定定理進(jìn)行判定，也可以證明兩個(gè)平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB11，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)求證：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.二利用空間向量求空間角基礎(chǔ)知識(1)向量法求異面直線所成的角：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為，則cos |cosa，b|.(2)向量法求線面所成

3、的角：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為，則sin |cosn，a|.(3)向量法求二面角：求出二面角l的兩個(gè)半平面與的法向量n1，n2，若二面角l所成的角為銳角，則cos |cosn1，n2|；若二面角l所成的角為鈍角，則cos |cosn1，n2|.例1、如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值例2、如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)證明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，

4、ABCB，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值(1)運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；寫出向量坐標(biāo)；結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論(2)求空間角應(yīng)注意：兩條異面直線所成的角不一定是直線的方向向量的夾角，即cos |cos |.兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補(bǔ)角為所求例3、如圖，在四棱錐SABCD中，ABAD，ABCD，CD3AB3，平面SAD平面ABCD，E是線段AD上一點(diǎn)，AEED，SEAD.(1)證明：平面SBE平面SEC；(2)若SE1，求直線CE與平面SBC所成角的正弦值例4、如圖是多面

5、體ABCA1B1C1和它的三視圖 (1)線段CC1上是否存在一點(diǎn)E，使BE平面A1CC1？若不存在，請說明理由，若存在，請找出并證明；(2)求平面C1A1C與平面A1CA夾角的余弦值三利用空間向量解決探索性問題例1、如圖1，正ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如圖2)(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由(1)空間向量法最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、

6、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷.(2)解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法.例2、.如圖所示，在直三棱柱ABCA1B 1C1中，ACB90，AA1BC2AC2.(1)若D為AA1中點(diǎn)，求證：平面B1CD平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一點(diǎn)D，使得二面角B1CDC1的大小為60？四空間直角坐標(biāo)系建立的創(chuàng)新問題空間向量在處理空間問題時(shí)具有很大的優(yōu)越性，能把“非運(yùn)算”問題“運(yùn)算”化，即通過直線的方向向量和平面的法向量解決立體幾何問題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一就是建立

7、空間直角坐標(biāo)系，因而建立空間直角坐標(biāo)系問題成為近幾年試題新的命題點(diǎn)一、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好例1、如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AFPB.(1)求PA的長；(2)求二面角BAFD的正弦值建立空間直角坐標(biāo)系的基本思想是尋找其中的線線垂直關(guān)系(本題利用ACBD)，若圖中存在交于一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，則以該點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.在沒有明顯的垂直關(guān)系時(shí)，要通過其他已知條件得到垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇一個(gè)合理的位置建立空間直角坐標(biāo)系，注意建立的空間直角坐標(biāo)系是右手系，正確確定坐標(biāo)軸的名稱.例2、如圖，在空間幾何體中，平面ACD平面ABC，A

8、BBCCADADCBE2.BE與平面ABC所成的角為60，且點(diǎn)E在平面ABC內(nèi)的射影落在ABC的平分線上(1)求證：DE平面ABC；(2)求二面角EBCA的余弦值專題訓(xùn)練1.如圖所示，在多面體ABCDA1B1C1D1中，上、下兩個(gè)底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，ABA1B1，AB2A1B12DD12a.(1)求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中點(diǎn)，求證：FB1平面BCC1B1.3如圖(1)，四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DB2，DC1，BC，ABAD.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角ABDC為60，如圖(2)(1)求證

9、：AE平面BDC；(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值4如圖所示，在矩形ABCD中，AB3，AD6，BD是對角線，過點(diǎn)A作AEBD，垂足為O，交CD于E，以AE為折痕將ADE向上折起，使點(diǎn)D到點(diǎn)P的位置，且PB.(1)求證：PO平面ABCE；(2)求二面角EAPB的余弦值5.如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PAPD，PAPD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O為AD中點(diǎn)(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；(2)求B點(diǎn)到平面PCD的距離；(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角QACD的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說

10、明理由6如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SAABBC2，AD1.M是棱SB的中點(diǎn)(1)求證：AM平面SCD；(2)求平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值；(3)設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，MN與平面SAB所成的角為，求sin 的最大值7、如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，F(xiàn)ABDAB90，AFABBC2，AD1，F(xiàn)ACD.(1)證明：在平面BCE上，一定存在過點(diǎn)C的直線l與直線DF平行；(2)求二面角FCDA的余弦值8、.如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC2，BD2，E是PB上任意一點(diǎn)(1)求證：ACDE；(2)已知二面角APBD的余弦值為，若E為PB的中點(diǎn)，求EC與平面PAB所成角的正弦值9、如圖1，A，D分別是矩