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文檔簡介
1、第9章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 重點與難點一、基本概念1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 (1)狀態(tài)空間概念狀態(tài) 反映系統(tǒng)運動狀況,并可用以確定系統(tǒng)未來行為的信息集合。狀態(tài)變量 確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨立(數(shù)目最少)變量,它對于確定系統(tǒng)的運動狀態(tài)是必需的,也是充分的。狀態(tài)向量 以狀態(tài)變量為元素構(gòu)成的向量。狀態(tài)空間 以狀態(tài)變量為坐標所張成的空間。系統(tǒng)某時刻的狀態(tài)可用狀態(tài)空間上的點來表示。狀態(tài)方程 狀態(tài)變量的一階導數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量之間的數(shù)學關(guān)系,一般是關(guān)于系統(tǒng)的一階微分(或差分)方程組。輸出方程 輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量之間的數(shù)學關(guān)系。狀態(tài)方程與輸出方程合稱為狀態(tài)空間描述或狀態(tài)空間表達式。線性定
2、常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式一般用矩陣形式表示: (9.1)(2)狀態(tài)空間表達式的建立。系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式可以由系統(tǒng)微分方程、結(jié)構(gòu)圖、傳遞函數(shù)等其他形式的數(shù)學模型導出。(3)狀態(tài)空間表達式的線性變換及規(guī)范化。描述某一系統(tǒng)的狀態(tài)變量個數(shù)(維數(shù))是確定的,但狀態(tài)變量的選擇并不唯一。某一狀態(tài)向量經(jīng)任意滿秩線性變換后,仍可作為狀態(tài)向量來描述系統(tǒng)。狀態(tài)變量選擇不同,狀態(tài)空間表達式形式也不一樣。利用線性變換的目的在于使系統(tǒng)矩陣規(guī)范化,以便于揭示系統(tǒng)特性,利于分析計算。滿秩線性變換不改變系統(tǒng)的固有特性。根據(jù)矩陣的特征根及相應(yīng)的獨立特征向量情況,可將矩陣化為三種規(guī)范形式:對角形、約當形和模式矩陣。(4)線性定常系統(tǒng)狀
3、態(tài)方程解。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(即矩陣指數(shù))及其性質(zhì):i iiiii.iv.v.vi.vii.求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的常用方法:拉氏變換法L1 (9.2)級數(shù)展開法 (9.3)齊次狀態(tài)方程求解 (9.4)非齊次狀態(tài)方程式(9.1)求解 (9.5)(5)傳遞函數(shù)矩陣及其實現(xiàn)傳遞函數(shù)矩陣:輸出向量拉氏變換式與輸入向量拉氏變換式之間的傳遞關(guān)系 (9.6)傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn):已知傳遞函數(shù)矩陣,找一個系統(tǒng)使式(9.6)成立,則將系統(tǒng)稱為的一個實現(xiàn)。當系統(tǒng)階數(shù)等于傳遞函數(shù)矩陣階數(shù)時,稱該系統(tǒng)為的最小實現(xiàn)。傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)并不唯一。實現(xiàn)的常用標準形式有可控標準形實現(xiàn)、可觀測標準形實現(xiàn)、對角形實現(xiàn)和約當形實現(xiàn)等。(6)線性
4、定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化及其求解對式(9.1)表示的線性定常數(shù)連續(xù)系統(tǒng)進行離散化,導出的系統(tǒng)離散狀態(tài)空間描述為(9.8)其中 離散狀態(tài)方程式(9.1)的解為 (9.9)2. 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性(1)系統(tǒng)的(狀態(tài))可控性。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,若在有限時間間隔內(nèi)存在無約束的分段連續(xù)控制函數(shù),能使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意的終止狀態(tài),則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的,簡稱可控。線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控性常用判據(jù):1) rank (9.10)2)當A為對角矩陣且特征根互異時,輸入矩陣B中無全零行(當矩陣A有相同特征根時不適用)。當A為約當矩陣且相同特征根分布在一個約當塊內(nèi)時,輸入矩陣中與約當塊最后一行對應(yīng)的行
5、中不全為零,且輸入矩陣中與相異特征根對應(yīng)的行不全為零(當相同特征根分布在兩個或兩個以上約當塊時不適用)。3)的行向量線性無關(guān)。4)單輸入系統(tǒng)為可控標準形。5)單輸入單輸出系統(tǒng),當由狀態(tài)空間表達式導出的傳遞函數(shù)沒有零極點對消時,系統(tǒng)可控、可觀測(對多輸入多輸出系統(tǒng)不適用)。連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化后的可控性:連續(xù)系統(tǒng)不可控,離散化的系統(tǒng)一定不可控;連續(xù)系統(tǒng)可控,離散化后的系統(tǒng)不一定可控(與采樣周期的選擇有關(guān))。(2)系統(tǒng)輸出可控性。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為式(9.1),若在有限時間間隔內(nèi),存在無約束的分段連續(xù)控制函數(shù),能使系統(tǒng)從任意初始輸出轉(zhuǎn)移到最終內(nèi)測量到的輸出,則稱系統(tǒng)是輸出完全可控的,簡稱輸出
6、可控。輸出可控性判據(jù)為rank狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個不同的概念,其間沒有必然聯(lián)系。單輸入單輸出系統(tǒng),若輸出不可控,則系統(tǒng)或不可控或不可觀測。(3)系統(tǒng)狀態(tài)可觀測性。已知輸出及有限時間間隔內(nèi)測量到的輸出,若能唯一確定初始狀態(tài),則稱系統(tǒng)是完全可觀測的,簡稱可觀測。常用可觀測性判據(jù):1) rank (9.11)2)當為對角矩陣且有相異特征值時,輸出矩陣無全零列(陣有相同特征值時不適用)。當為約當陣且相同特征值分布在一個約當塊時,輸出矩陣中與約當塊最前一列對應(yīng)的列不全為零,輸出矩陣中與相異特征值對應(yīng)的列不全為零(相同特征值分布在兩個或更多個約當塊時不適用)。3)的列向量線性無關(guān)。4)單輸出系統(tǒng)為
7、可觀測標準形。連續(xù)系統(tǒng)離散化后的可觀測性:連續(xù)系統(tǒng)不可觀測,離散化后一定不可觀測;連續(xù)系統(tǒng)可觀測,離散化后不一定可觀測(與采樣周期的選擇有關(guān))。對偶原理:線性系統(tǒng)與互為對偶系統(tǒng)。若系統(tǒng)可控,則可觀測;若系統(tǒng)可觀測,則可控。(4)線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解。從可控性、可觀測性出發(fā),狀態(tài)變量可分解為可控可觀測、可控不可觀測、不可控可觀測和不可控不可觀測四類。以此對應(yīng)將狀態(tài)空間劃分為四個子空間,系統(tǒng)也對應(yīng)分解為四個子系統(tǒng),這稱為系統(tǒng)的規(guī)范分解。研究規(guī)范分解能更明顯地提示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性和傳遞特性。3. 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器(1)狀態(tài)反饋與極點配置。用狀態(tài)反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點任意配置的充要條件是被控
8、系統(tǒng)可控。狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點,只改變系統(tǒng)的極點。在引入狀態(tài)反饋后,系統(tǒng)可控性不變,但其可觀測性不一定與原系統(tǒng)一致。單輸入無零點系統(tǒng)在引入狀態(tài)反饋后不會出現(xiàn)零極點對消,故其可觀測性與原系統(tǒng)保持一致。(2)輸出反饋(到狀態(tài)微分處)與極點配置。用輸出反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點任意配置的充要條件是被控系統(tǒng)可觀測。輸出反饋不改變系統(tǒng)的零點。在引入輸出反饋后不改變系統(tǒng)的可觀測性,但其可控性不一定與原系統(tǒng)保持一致。(3)輸出到輸入?yún)⒖键c的常值增益反饋可以配置的閉環(huán)極點數(shù)為,式中,故一般情況下不能像輸出到狀態(tài)微分處反饋那樣任意配置系統(tǒng)閉環(huán)極點。(4)狀態(tài)觀測器及其設(shè)計。若被控系統(tǒng)可觀測,則其狀態(tài)可用形如 (9.1
9、2)的全維狀態(tài)觀測器給出估值。矩陣按任意配置極點的需要來選擇,以決定狀態(tài)誤差衰減的速率。分離定理:若被控系統(tǒng)可控可觀測,當用狀態(tài)觀測器估值形成狀態(tài)反饋時,其系統(tǒng)的極點配置和觀測器設(shè)計可分別獨立進行。即矩陣與的設(shè)計可分別獨立進行。4. 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(1)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性:平衡狀態(tài):在無外部激勵的條件下,系統(tǒng)能維持在某個狀態(tài)而不變化,即則稱為一個平衡狀態(tài)。零狀態(tài)是線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài),且當系統(tǒng)矩陣非奇異時,零狀態(tài)是唯一的平衡狀態(tài)。李雅普諾夫穩(wěn)定性:若要求,存在,只要,上述條件更可滿足,則稱系統(tǒng)在處穩(wěn)定。(2)李雅普諾夫第二法(直接法):標量函數(shù)(如二次型函數(shù))的定號性:正定、正半定、
10、負定、負半定、不定。李雅普諾夫穩(wěn)定性定理:設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,其平衡狀態(tài)滿足,并設(shè)在原點鄰域存在對的連續(xù)一階偏導數(shù),則有定理1:若正定,負定,則原點是漸近穩(wěn)定的。定理2:若正定,負半定,在非零狀態(tài)不恒為零,則原點是漸近穩(wěn)定的。定理3:若正定,負半定,在非零狀態(tài)存在恒為零,則原點是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。定理4:若正定,正定,則原點是不穩(wěn)定的。當平衡狀態(tài)不在原點時,可通過坐標變換將其置于原點上,坐標變換不改變系統(tǒng)的固有性質(zhì)。(3)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為為非奇異矩陣,故原點是唯一平衡狀態(tài)。取二次型函數(shù)作為可能的李雅普諾夫函數(shù),即則 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是:給定一正
11、定實對稱矩陣,有唯一的正定實對稱矩陣,成立。是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。線性定常離散系統(tǒng),零平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是:任意給定一個正定實對稱矩陣,存在一個正定實對稱矩陣,滿足李雅普諾夫方程。純量函數(shù)是該離散系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。如果沿系統(tǒng)任一狀態(tài)軌跡運動(除外),其0,則可取正半定矩陣。二、基本要求1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(1)正確理解狀態(tài)空間有關(guān)概念。(2)熟練掌握建立元件、系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的方法。(3)掌握狀態(tài)空間表達式向可控、可觀測標準形、對角形、約當形等規(guī)范形式變換的基本方法。(4)熟練掌握系統(tǒng)實現(xiàn)的常用方法。(5)熟練掌握依狀態(tài)空間表達式求系統(tǒng)傳遞矩陣的方法。(6)熟練掌握
12、線性系統(tǒng)狀態(tài)方程求解方法。特別要掌握狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)及求取方法。2線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性(1)正確理解可控性、可觀測性的基本概念。(2)熟練掌握判定系統(tǒng)可控、可觀測性的充要條件及有關(guān)方法。(3)理解可控性、可觀測性與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的關(guān)系。(4)理解線性系統(tǒng)規(guī)范分解的作用和意義,了解規(guī)范分解的一般方法。3線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器(1)正確理解利用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)極點的有關(guān)概念,熟練掌握按系統(tǒng)指標要求確定狀態(tài)反饋矩陣的方法。(2)正確理解利用輸出反饋任意配置系統(tǒng)極點的有關(guān)概念,熟練掌握指標要求確定輸出反饋矩陣的方法。(3)正確理解分離定理,熟練掌握依狀態(tài)觀測器要求設(shè)計觀測器的方法,并會用之構(gòu)成狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)。4李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(1)正確理解李雅普諾夫穩(wěn)定性的有關(guān)
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